《高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 不等式選講 第二節(jié) 不等式證明的基本方法教師用書(shū) 理 選修45》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 不等式選講 第二節(jié) 不等式證明的基本方法教師用書(shū) 理 選修45（7頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第二節(jié)不等式證明的基本方法2017考綱考題考情考綱要求真題舉例命題角度了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法。2016，全國(guó)卷，24,10分(比較法證明不等式)2015，全國(guó)卷，24,10分(分析法、綜合法證明不等式)2014，全國(guó)卷，24,10分(放縮法、反證法證明不等式)本部分主要考查比較法、綜合法、分析法證明不等式，往往應(yīng)用完全平方式、基本不等式等知識(shí)點(diǎn)，有時(shí)與函數(shù)、數(shù)列相結(jié)合。微知識(shí)小題練自|主|排|查1比較法作差比較法與作商比較法的基本原理：(1)作差法：ab0ab。(2)作商法：1ab(a0，b0)。2綜合法與分析法(1)綜合法：證明不等式時(shí)，從已知條件出發(fā)，利用定義、公

2、理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過(guò)推理論證而得出命題成立，綜合法又叫順推證法或由因?qū)Чā?2)分析法：證明命題時(shí)，從待證不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立。這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法。3反證法先假設(shè)要證的命題不成立，以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論，以說(shuō)明假設(shè)不正確，從而證明原命題成立，我們把它稱為反證法。4放縮法證明不等式時(shí)，通過(guò)把所證不等式的一邊適當(dāng)?shù)胤糯蠡蚩s小，以利于化簡(jiǎn)，并使

3、它與不等式的另一邊的不等關(guān)系更為明顯，從而得出原不等式成立，這種方法稱為放縮法。5柯西不等式設(shè)a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)adbc時(shí)成立。微點(diǎn)提醒1作差比較法的實(shí)質(zhì)是把兩個(gè)數(shù)或式子的大小判斷問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)(或式子)與0的大小關(guān)系。2用分析法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要注意書(shū)寫(xiě)格式的規(guī)范性，常常用“要證(欲證)”“即要證”“就要證”等分析到一個(gè)明顯成立的結(jié)論，再說(shuō)明所要證明的數(shù)學(xué)問(wèn)題成立。小|題|快|練1設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且abc1，證明：(1)abbcac；(2)1。【證明】(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得a2b2c2abb

4、cca。由題設(shè)得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1。所以3(abbcca)1，即abbcca。(2)因?yàn)閎2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc。所以1。2設(shè)a0，|x1|，|y2|，求證：|2xy4|a?！咀C明】因?yàn)閨x1|，|y2|，所以|2xy4|2(x1)(y2)|2|x1|y2|2a。微考點(diǎn)大課堂考點(diǎn)一 比較法證明不等式【典例1】(2016全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)，M為不等式f(x)2的解集。(1)求M；(2)證明：當(dāng)a，bM時(shí)，|ab|1ab|?！窘馕觥?1)f(x)當(dāng)x時(shí)，由f(x)2得2x1；當(dāng)x時(shí)，f(x)2；當(dāng)x時(shí)，由f(x)2得2x2，解

5、得x1。所以f(x)2的解集Mx|1x1。(2)證明：由(1)知，當(dāng)a，bM時(shí)，1a1，1b1，從而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0。因此|ab|1ab|。【答案】(1)Mx|1x1(2)見(jiàn)解析反思?xì)w納作差比較法證明不等式的步驟1作差；2.變形；3.判斷差的符號(hào)；4.下結(jié)論。其中“變形”是關(guān)鍵，通常將差變形成因式連乘積的形式或平方和的形式，再結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷出差的正負(fù)?！咀兪接?xùn)練】設(shè)a，b是非負(fù)實(shí)數(shù)，求證：a3b3(a2b2)?！咀C明】由a，b是非負(fù)實(shí)數(shù)，作差得a3b3(a2b2)a2()b2()()()5()5。當(dāng)ab時(shí)，從而()5()5，得()()5()5

6、0；當(dāng)ab時(shí)，從而()50。所以a3b3(a2b2)?？键c(diǎn)二 綜合法、分析法證明不等式【典例2】(1)已知x，y均為正數(shù)，且xy，求證：2x2y3。(2)設(shè)a，b，c0且abbcca1，求證：abc?！咀C明】(1)因?yàn)閤0，y0，xy0，2x2y2(xy)(xy)(xy)33，(當(dāng)且僅當(dāng)xy1時(shí)，等號(hào)成立)所以2x2y3。(2)因?yàn)閍，b，c0，所以要證abc，只需證(abc)23。即證：a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需證明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca)。即證：a2b2c2abbcca。而abbccaa2b2c2(當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)等號(hào)成立)成立。所以

7、原不等式成立。反思?xì)w納用綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч?，用分析法證明不等式是“執(zhí)果索因”，它們是兩種思路截然相反的證明方法。綜合法往往是分析法的逆過(guò)程，表述簡(jiǎn)單、條理清楚，所以在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，往往用分析法找思路，用綜合法寫(xiě)步驟，由此可見(jiàn)，分析法與綜合法相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，互為前提，充分利用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開(kāi)闊視野?！咀兪接?xùn)練】(1)已知n2，求證：。(2)(2016銀川質(zhì)檢)已知a，b，c全為正數(shù)，且abc1，求證：1；a2b2c2?！咀C明】(1)要證，只需證。即，只需證 ，只需證0，只需證n1，因?yàn)閚21，所以。(2)a，b，c全為正數(shù)，且abc1，ab2(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成

8、立)；bc2(當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)等號(hào)成立)；ca2(當(dāng)且僅當(dāng)ca時(shí)等號(hào)成立)，2(abc)222(當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)等號(hào)成立)。1(當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)等號(hào)成立)。a2b2c2a2b2c2a2b2c2abbcca。2(a2b2c2)2ab2bc2aca2b2c2abbcac，a2b2c2(當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)等號(hào)成立)。考點(diǎn)三 柯西不等式的應(yīng)用【典例3】(2015陜西高考)已知關(guān)于x的不等式|xa|b的解集為x|2x4。(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)求的最大值?！窘馕觥?1)由|xa|b，得bax0，y0，aR，bR。求證：2。證明因?yàn)閤0，y0，所以xy0。所以要證2，即證(axby)2(xy)(a2xb

9、2y)，即證xy(a22abb2)0，即證(ab)20，而(ab)20顯然成立。故2。3設(shè)a0，b0，且ab。證明：(1)ab2；(2)a2a2與b2b0，b0，得ab1。(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2，當(dāng)且僅當(dāng)ab1時(shí)等號(hào)成立。(2)假設(shè)a2a2與b2b2同時(shí)成立，則由a2a0得0a1；同理，0b1，從而ab1，這與ab1矛盾。故a2a2與b2b2不可能同時(shí)成立。我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式，改變粗放式增長(zhǎng)模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)健康可持續(xù)發(fā)展進(jìn)區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化，推動(dòng)城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實(shí)挑戰(zhàn)。