《高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機變量及其分布 2.3 離散型隨機變量的均值與方差 2.3.1 離散型隨機變量的均值學(xué)案 新人教A版選修23》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機變量及其分布 2.3 離散型隨機變量的均值與方差 2.3.1 離散型隨機變量的均值學(xué)案 新人教A版選修23（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2.3.1離散型隨機變量的均值學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解離散型隨機變量的均值的意義和性質(zhì)，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出均值(重點)2.掌握兩點分布、二項分布的均值(重點)3.會利用離散型隨機變量的均值解決一些相關(guān)的實際問題(難點)自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知1離散型隨機變量的均值(1)定義：若離散型隨機變量X的分布列為：Xx1x2xixnPp1p2pipn則稱E(X)x1p1x2p2xipixnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(2)意義：它反映了離散型隨機變量取值的平均水平(3)性質(zhì)：如果X為(離散型)隨機變量，則YaXb(其中a，b為常數(shù))也是隨機變量，且P(Yaxib)P(Xxi)，i1,2,3，

2、n.E(Y)E(aXb)aE(X)b.2兩點分布和二項分布的均值(1)若X服從兩點分布，則E(X)p；(2)若XB(n，p)，則E(X)np.3隨機變量的均值與樣本平均值的關(guān)系隨機變量的均值是一個常數(shù)，它不依賴于樣本的抽取，而樣本的平均值是一個隨機變量，它隨樣本抽取的不同而變化對于簡單隨機樣本，隨著樣本容量的增加，樣本的平均值越來越接近于總體的均值基礎(chǔ)自測1判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)是個變量，其隨X的變化而變化；()(2)隨機變量的均值反映樣本的平均水平；()(3)若隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)2，則E(2X)4；()(4)隨機變量X的均值E(X).(

3、)解析(1)隨機變量的數(shù)學(xué)期望E(X)是個常量，是隨機變量X本身固有的一個數(shù)字特征(2)隨機變量的均值反映隨機變量取值的平均水平(3)由均值的性質(zhì)可知(4)因為E(X)x1p1x2p2xnpn.答案(1)(2)(3)(4)2若隨機變量X的分布列為X101p則E(X)()A0B1C DCE(X)ipi(1)01.3設(shè)E(X)10，則E(3X5)_.35E(3X5)3E(X)5310535.4若隨機變量X服從二項分布B，則E(X)的值為_.【導(dǎo)學(xué)號：95032178】E(X)np4.合 作 探 究攻 重 難求離散型隨機變量的均值某地最近出臺一項機動車駕照考試規(guī)定：每位考試者一年之內(nèi)最多有4次參加考

4、試的機會，一旦某次考試通過，即可領(lǐng)取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止如果李明決定參加駕照考試，設(shè)他每次參加考試通過的概率依次為0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年內(nèi)李明參加駕照考試次數(shù)X的分布列和X的均值解X的取值分別為1,2,3,4.X1，表明李明第一次參加駕照考試就通過了，故P(X1)0.6.X2，表明李明在第一次考試未通過，第二次通過了，故P(X2)(10.6)0.70.28.X3，表明李明在第一、二次考試未通過，第三次通過了，故P(X3)(10.6)(10.7)0.80.096.X4，表明李明第一、二、三次考試都未通過，故P(X4)(10.6)(10.7)(10.

5、8)0.024.所以李明實際參加考試次數(shù)X的分布列為Xk1234P(Xk)0.60.280.0960.024所以X的均值為E(X)10.620.2830.09640.0241.544.規(guī)律方法求離散型隨機變量X的均值步驟(1)理解X的實際意義，并寫出X的全部取值(2)求出X取每個值的概率(3)寫出X的分布列(有時也可省略)(4)利用定義公式E(X)x1p1x2p2xnpn求出均值其中第(1)、(2)兩條是解答此類題目的關(guān)鍵，在求解過程中要注重運用概率的相關(guān)知識跟蹤訓(xùn)練1盒中裝有5節(jié)同牌號的五號電池，其中混有兩節(jié)廢電池現(xiàn)在無放回地每次取一節(jié)電池檢驗，直到取到好電池為止，求抽取次數(shù)X的分布列及均值

6、解X可取的值為1,2,3，則P(X1)，P(X2)，P(X3)1.抽取次數(shù)X的分布列為X123PE(X)123.離散型隨機變量的均值公式及性質(zhì)已知隨機變量X的分布列如下：X21012Pm(1)求m的值；(2)求E(X)；(3)若Y2X3，求E(Y). 【導(dǎo)學(xué)號：95032179】解(1)由隨機變量分布列的性質(zhì)，得m1，解得m.(2)E(X)(2)(1)012.(3)法一：(公式法)由公式E(aXb)aE(X)b，得E(Y)E(2X3)2E(X)323.法二：(直接法)由于Y2X3，所以Y的分布列如下：Y75311P所以E(Y)(7)(5)(3)(1)1.規(guī)律方法1該類題目屬于已知離散型分布列求

7、均值，求解方法是直接套用公式，E(X)x1p1x2p2xnpn求解2對于aXb型的隨機變量，可利用均值的性質(zhì)求解，即E(aXb)aE(X)b；也可以先列出aXb的分布列，再用均值公式求解，比較兩種方式顯然前者較方便跟蹤訓(xùn)練2已知隨機變量X的分布列為X123P且YaX3，若E(Y)2，則a的值為_3E(X)123.YaX3，E(Y)aE(X)3a32.解得a3.兩點分布與二項分布的均值某運動員投籃命中率為p0.6.(1)求投籃1次時命中次數(shù)X的均值；(2)求重復(fù)5次投籃時，命中次數(shù)Y的均值. 【導(dǎo)學(xué)號：95032180】思路探究(1)利用兩點分布求解(2)利用二項分布的數(shù)學(xué)期望公式求解解(1)投

8、籃1次，命中次數(shù)X的分布列如下表：X01P0.40.6則E(X)0.6.(2)由題意，重復(fù)5次投籃，命中的次數(shù)Y服從二項分布，即YB(5,0.6)，則E(Y)np50.63.母題探究：1.(變換條件)求重復(fù)10次投籃時，命中次數(shù)的均值解E()100.66.2(改變問法)重復(fù)5次投籃時，命中次數(shù)為Y，命中一次得3分，求5次投籃得分的均值解設(shè)投籃得分為變量，則3Y.所以E()E(3Y)3E(Y)339.規(guī)律方法1常見的兩種分布的均值設(shè)p為一次試驗中成功的概率，則(1)兩點分布E(X)p；(2)二項分布E(X)np.熟練應(yīng)用上述公式可大大減少運算量，提高解題速度2兩點分布與二項分布辨析(1)相同點：

9、一次試驗中要么發(fā)生要么不發(fā)生(2)不同點：隨機變量的取值不同，兩點分布隨機變量的取值為0,1，二項分布中隨機變量的取值x0,1,2，n.試驗次數(shù)不同，兩點分布一般只有一次試驗；二項分布則進(jìn)行n次試驗離散型隨機變量均值的實際應(yīng)用探究問題1某籃球明星罰球命中率為0.7，罰球命中得1分，不中得0分，則他罰球一次的得分X可以取哪些值？X取每個值時的概率是多少？提示隨機變量X可能取值為0,1.X取每個值的概率分別為P(X0)0.3，P(X1)0.7.2在探究1中，若該球星在一場比賽中共罰球10次，命中8次，那么他平均每次罰球得分是多少？提示每次平均得分為0.8.3在探究1中，你能求出在他參加的各場比賽中

10、，罰球一次得分大約是多少嗎？為什么？提示在球星的各場比賽中，罰球一次的得分大約為00.310.70.7(分)因為在該球星參加各場比賽中平均罰球一次的得分只能用隨機變量X的數(shù)學(xué)期望來描述他總體得分的平均水平具體到每一場比賽罰球一次的平均得分應(yīng)該是非常接近X的均值的一個分?jǐn)?shù)隨機抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元，設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(單位：元)為X.(1)求X的分布列；(2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(即X的均值)；(3)經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個等級的產(chǎn)品，但次品率降

11、為1%，一等品率提高為70%，如果此時要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？ 【導(dǎo)學(xué)號：95032181】思路探究 解(1)X的所有可能取值有6,2,1，2.P(X6)0.63，P(X2)0.25，P(X1)0.1，P(X2)0.02.故X的分布列為：X6212P0.630.250.10.02(2)E(X)60.6320.2510.1(2)0.024.34.(3)設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x，則此時1件產(chǎn)品的平均利潤為E(X)60.72(10.70.01x)1x(2)0.014.76x(0x0.29)依題意，E(X)4.73，即4.76x4.73，解得x0.03，所以三

12、等品率最多為3%.規(guī)律方法1實際問題中的均值問題均值在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如對體育比賽的成績預(yù)測，消費預(yù)測，工程方案的預(yù)測，產(chǎn)品合格率的預(yù)測，投資收益的預(yù)測等方面，都可以通過隨機變量的均值來進(jìn)行估計2概率模型的三個解答步驟(1)審題，確定實際問題是哪一種概率模型，可能用到的事件類型，所用的公式有哪些(2)確定隨機變量的分布列，計算隨機變量的均值(3)對照實際意義，回答概率，均值等所表示的結(jié)論跟蹤訓(xùn)練3在一次射擊比賽中，戰(zhàn)士甲得1分、2分、3分的概率分別為0.4,0.1,0.5；戰(zhàn)士乙得1分、2分、3分的概率分別為0.1,0.6,0.3，那么兩名戰(zhàn)士獲勝希望較大的是誰？解設(shè)這次射擊比賽戰(zhàn)士

13、甲得X1分，戰(zhàn)士乙得X2分，則分布列分別如下：X1123P0.40.10.5X2123P0.10.60.3根據(jù)均值公式得E(X1)10.420.130.52.1；E(X2)10.120.630.32.2；因為E(X2)E(X1)，故這次射擊比賽戰(zhàn)士乙得分的均值較大，所以戰(zhàn)士乙獲勝的希望較大當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基1若隨機變量XB(5,0.8)，則E(X)()A0.8B4C5 D3BE(X)np50.84.故選B.2設(shè)隨機變量X的分布列為P(Xk)，k1,2,3,4，則E(X)的值為() 【導(dǎo)學(xué)號：95032182】A2.5 B3.5C0.25 D2AE(X)12342.5.3袋中裝有6個紅球，

14、4個白球，從中任取1個球，記下顏色后再放回，連續(xù)摸取4次，設(shè)X是取得紅球的次數(shù)， 則E(X)_.每一次摸得紅球的概率為，由XB，則E(X)4.4已知XB，則E(2X3)_.103E(X)10050，E(2X3)2E(X)3103.5袋中有4個黑球，3個白球，2個紅球，從中任取2個球，每取到1個黑球記0分，每取到1個白球記1分，每取到1個紅球記2分，用X表示取得的分?jǐn)?shù)求：(1)X的分布列；(2)X的均值. 【導(dǎo)學(xué)號：95032183】解(1)由題意知，X可能取值為0,1,2,3,4.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).故X的分布列為X01234P(2)E(X)01234.我國經(jīng)濟發(fā)展進(jìn)入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟發(fā)展方式，改變粗放式增長模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)經(jīng)濟健康可持續(xù)發(fā)展進(jìn)區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化，推動城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國經(jīng)濟發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實挑戰(zhàn)。