5、根據(jù)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱的關(guān)系，它們的定義域與值域正好交換，它們的對應(yīng)法則是互逆的這些特征.我們已理解指數(shù)函數(shù)y=ax中a＞0且a≠1，所以對數(shù)函數(shù)y=logax中也必須a＞0且a≠1.
典題精講
例1 下圖是對數(shù)函數(shù)y=logax當(dāng)?shù)讛?shù)a的值分別取，，，時所對應(yīng)的圖象，則相應(yīng)于C1，C2，C3，C4的a的值依次是( )
A.,,, B.,,, C.,,, D.,,,
思路解析 因為底數(shù)a大于1時，對數(shù)函數(shù)的圖象自左向右呈上升趨勢，且a越大，圖象就越靠近x軸；底數(shù)a大于0且小于1時，對數(shù)函數(shù)的圖象自左向右呈下降趨
6、勢，且a越小，圖象就越靠近x軸.
答案:A
例2 比較大?。?
(1)log0.27和log0.29；(2)log35和log65；(3)(lgm)1.9和(lgm)2.1(m＞1)；(4)log85和lg4.
思路解析 (1)log0.27和log0.29可看作是函數(shù)y=log0.2x當(dāng)x=7和x=9時對應(yīng)的兩函數(shù)值，由y=log0.2x在(0，+∞)上單調(diào)遞減，得log0.27＞log0.29.
(2)考察函數(shù)y=logax底數(shù)a＞1的底數(shù)變化規(guī)律，函數(shù)y=log3x(x＞1)的圖象在函數(shù)y=log6x(x＞1)的上方，故log35＞log65.
(3)把lgm看作指數(shù)函數(shù)的
7、底數(shù)，要比較兩數(shù)的大小，關(guān)鍵是比較底數(shù)lgm與1的關(guān)系.若lgm＞1即m＞10，則(lgm)x在R上單調(diào)遞增，故(lgm)1.9＜(lgm)2.1.若0＜lgm＜1即1＜m＜10，則(lgm)x在R上單調(diào)遞減，故(lgm)1.9＞(lgm)2.1.若lgm=1即m=10，則(lgm)1.9=(lgm)2.1.
(4)因為底數(shù)8、10均大于1，且10＞8，
所以log85＞lg5＞lg4，即log85＞lg4.
解答:(1)log0.27＞log0.29；(2)log35＞log65；
(3)m＞10時，(lgm)1.9＜(lgm)2.1，m=10時，lgm=1，(lgm)1.9=(lg
8、m)2.1，1＜m＜10時，(lgm)1.9＞(lgm)2.1；(4)log85＞lg4.
例3 已知函數(shù)y=lg(-x)，求其定義域，并判斷其奇偶性、單調(diào)性.
思路解析 注意到+x=，即有l(wèi)g（-x）=-lg（+x），從而f（-x）=lg（+x）=-lg（-x）=-f（x），可知其為奇函數(shù).又因為奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，所以我們只需研究（0，+∞）上的單調(diào)性.
解:由題意-x＞0，解得x∈R，即定義域為R.
又f（-x）=lg［-（-x）］=lg（+x）=lg=lg（-x）-1=-lg（-x）=-f（x）,∴y=lg（-x）是奇函數(shù).任取x1、x2∈（0，+∞）
9、且x1＜x2，
則＜+x1＜+x2>，
即有-x1＞-x2＞0，
∴l(xiāng)g（-x1）＞lg（-x2），即f（x1）＞f（x2）成立.
∴f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù).
又f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，故f（x）在（-∞，0）上也為減函數(shù).
例4 作出下列函數(shù)的圖象：
(1)y=|log4x|-1；(2)y=|x+1|.
思路解析 (1)y=|log4x|-1的圖象可以看成由y=log4x的圖象經(jīng)過變換而得到：將函數(shù)y=log4x的圖象在x軸下方部分以x軸為對稱軸翻折上去，得到y(tǒng)=|log4x|的圖象，再將y=|log4x|的圖象向下平移1個單位，橫坐標(biāo)不變，就得到了y=|
10、log4x|-1的圖象.
思路解析 (2)y=|x+1|的圖象可以看成由y=x的圖象經(jīng)過變換而得到：將函數(shù)y=x的圖象作出右邊部分關(guān)于y軸的對稱圖象，即得到函數(shù)y=|x|的圖象，再將所得圖象向左平移一個單位，就得到所求的函數(shù)y=|x+1|的圖象.
答案:函數(shù)(1)的圖象作法如圖①—③所示.
函數(shù)(2)的圖象作法如圖④—⑥所示.
例5 設(shè)a≠0，對于函數(shù)f(x)=log3(ax2-x+a)，
(1)若x∈R，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)若f(x)∈R，求實數(shù)a的取值范圍.
思路解析 f(x)的定義域是R，等價于ax2-x+a＞0對一切實數(shù)都成立，而f(x)的值域為R，等價
11、于其真數(shù)ax2-x+a能取遍大于0的所有實數(shù)值，(1)與(2)雖只有一字之差，但結(jié)果卻大不相同.
解答:(1)f(x)的定義域為R，則ax2-x+a＞0對一切實數(shù)x恒成立，其等價條件是解得a＞.
(2)f(x)的值域為R，則真數(shù)ax2-x+a能取遍大于0的所有實數(shù)，其等價條件是解得0＜a≤.
知識導(dǎo)學(xué)
1.對數(shù)函數(shù)的圖象
作對數(shù)函數(shù)的圖象一般有兩種方法：一是描點法，即通過列表、描點、連線的方法作出對數(shù)函數(shù)的圖象；二是通過觀察它和指數(shù)函數(shù)圖象之間的關(guān)系，并利用它們之間的關(guān)系作圖.
2.應(yīng)用對數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較大小
比較大小是對數(shù)函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用的常見題型.當(dāng)?shù)讛?shù)相同時，可利
12、用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較；當(dāng)?shù)讛?shù)和指數(shù)不同時，要借助于中間量進行比較.比較兩個對數(shù)式的大小，底相同時，可利用對數(shù)性質(zhì)進行比較.不同類的函數(shù)值的大小常借助中間量0、1等進行比較.
3.圖象平移
圖象平移在教材中是通過例題引出的，并由這個特殊的例子得出了一般結(jié)論：一般地，當(dāng)a＞0時，將y=log2x的圖象向左平移a個單位長度便得到了函數(shù)y=log2(x+a)的圖象；當(dāng)a＞0時，將函數(shù)y=log2x的圖象向右平移a個單位長度便可得到函數(shù)y=log2(x-a)的圖象.
4.反函數(shù)的圖象和性質(zhì)
對數(shù)函數(shù)y=logax(a＞0且a≠1)與指數(shù)函數(shù)y=ax(a＞0且a≠1)互為反函數(shù)，這
13、兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱.
疑難導(dǎo)析
1.對數(shù)函數(shù)的概念
由于指數(shù)函數(shù)y=ax在定義域(-∞，+∞)上是單調(diào)函數(shù)，所以它存在反函數(shù).
我們把指數(shù)函數(shù)y=ax(a＞0，a≠1)的反函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)，并記為y=logax(a＞0，a≠1).
因為指數(shù)函數(shù)y=ax的定義域為(-∞，+∞)，值域為(0，+∞)，所以對數(shù)函數(shù)y=logax的定義域為(0，+∞)，值域為(-∞，+∞).
2.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，因此它們的圖象對稱于直線y=x.據(jù)此即可以畫出對數(shù)函數(shù)的圖象，并推知它的性質(zhì).
利用函數(shù)的單調(diào)性可進行對數(shù)
14、大小的比較.比較對數(shù)大小的常用方法有：
(1)若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進行判斷.
(2)若底數(shù)為同一字母，則按對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對底數(shù)進行分類討論.
(3)若底數(shù)不同、真數(shù)相同，則可用換底公式化為同底再進行比較.
(4)若底數(shù)、真數(shù)都不相同，則常借助1、0、-1等中間量進行比較.
問題導(dǎo)思
充分體會互為反函數(shù)的兩個函數(shù)之間的關(guān)系.
典題導(dǎo)考
綠色通道 由對數(shù)函數(shù)的圖象間的相對位置關(guān)系判斷底數(shù)a的相互關(guān)系，應(yīng)根據(jù)對數(shù)函數(shù)圖象與底數(shù)間的變化規(guī)律來處理.在指數(shù)函數(shù)y=ax中，底數(shù)a越接近1，相應(yīng)的圖象就越接近直線y=1，對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)是一對反函數(shù)，其圖
15、象是關(guān)于直線y=x對稱的，直線y=1關(guān)于直線y=x的對稱直線是x=1，所以我們有結(jié)論：對數(shù)函數(shù)y=logax，底數(shù)a越接近1，其圖象就越接近直線x=1.
典題變式
函數(shù)f(x)=|log2x|的圖象是( )
答案:A
綠色通道 兩數(shù)(式)大小的比較主要是找出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),把要比較的兩數(shù)作為此函數(shù)的函數(shù)值,然后利用函數(shù)的單調(diào)性等來比較兩數(shù)的大小,一般采用的方法有:(1)直接法:由函數(shù)的單調(diào)性直接作答;(2)作差法:把兩數(shù)作差變形,然后判斷其大于、等于、小于零來確定;(3)作商法:若兩數(shù)同號,把兩數(shù)作商變形,判斷其大于、等于、小于1來確定;(4)轉(zhuǎn)化法:把要比較的兩數(shù)適
16、當(dāng)轉(zhuǎn)化成兩個新數(shù)大小的比較;(5)媒介法:選取適當(dāng)?shù)摹懊浇椤睌?shù)，分別與要比較的兩數(shù)比較大小，從而間接地求得兩數(shù)的大小.
典題變式
若loga2＜logb2＜0，則a、b滿足的關(guān)系是( )
A.1＜a＜b B.1＜b＜a C.0＜a＜b＜1 D.0＜b＜a＜1
答案:D
綠色通道 研究函數(shù)的性質(zhì)一定得先考慮定義域，在研究函數(shù)單調(diào)性時，注意奇偶性對函數(shù)單調(diào)性的影響，即偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性；奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性.
典題變式
已知函數(shù)f(x)=loga(
17、a＞1且b＞0).
(1)求f(x)的定義域；
(2)判斷函數(shù)的奇偶性.
解:(1)由解得x＜-b或x＞b.
∴函數(shù)f(x)的定義域為(-∞，-b)∪(b，+∞).
(2)由于f(-x)=loga()=loga()=loga()-1=-loga()=-f(x)，
∴f(x)為奇函數(shù).
綠色通道 畫函數(shù)圖象是研究函數(shù)變化規(guī)律的重要手段.畫函數(shù)圖象通常有兩種方法：列表法和變換法.變換法有如下幾種：
平移變換：y=f(x+a)，將y=f(x)的圖象向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|個單位而得到；y=f(x)+a，將y=f(x)的圖象向上(a＞0)或向下(a＜0)平移|
18、a|個單位而得到.
翻折變換：y=|f(x)|，將y=f(x)的圖象在x軸下方部分沿x軸翻折到x軸的上方，其他部分不變；y=f(|x|)，它是一個偶函數(shù)，x≥0時圖象與y=f(x)的圖象完全一樣；當(dāng)x≤0時，其圖象與x≥0時的圖象關(guān)于y軸對稱.
對稱變換：y=-f(x)，它的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱；y=f(-x)，它的圖象與y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱；y=-f(-x)，它的圖象與y=f(x)的圖象關(guān)于原點成中心對稱.
伸縮變換：y=f(ax)(a＞0)，將y=f(x)圖象上各點的橫坐標(biāo)壓縮(a＞1)或伸長(0＜a＜1)到原來的a倍，縱坐標(biāo)不
19、變；y=af(x)(a＞0)，將y=f(x)圖象上各點的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)壓縮 (0＜a＜1)或伸長(a＞1)到原來的a倍.
典題變式
函數(shù)y=lg|x|( )
A.是偶函數(shù)，在區(qū)間(-∞，0)上單調(diào)遞增
B.是偶函數(shù)，在區(qū)間(-∞，0)上單調(diào)遞減
C.是奇函數(shù)，在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞增
D.是奇函數(shù)，在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞減
答案:B
綠色通道 解對數(shù)不等式，在轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式時，不僅要結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性脫去對數(shù)符號，還要注意使每個對數(shù)式都有意義.
典題變式
設(shè)函數(shù)f(x)=x2-x+b，且f(log2a)=b，log2［f(a)］=2(
20、a≠1)，求f(log2x)的最小值及對應(yīng)的x的值.
解答: 由已知得即
由①得log2a=1，∴a=2.
代入②得b=2.∴f（x）=x2-x+2.
∴f（log2x）=log22x-log2x+2=（log2x-）2+.
∴當(dāng)log2x=時，f（log2x）取得最小值，
此時x=.
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
高中數(shù)學(xué) 第三章 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù) 3.2 對數(shù)函數(shù) 3.2.2 對數(shù)函數(shù)名師導(dǎo)航學(xué)案 蘇教版必修1
