《高中數(shù)學 第三章 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù) 3.2 對數(shù)函數(shù) 3.2.1 對數(shù)名師導(dǎo)航學案 蘇教版必修1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學 第三章 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù) 3.2 對數(shù)函數(shù) 3.2.1 對數(shù)名師導(dǎo)航學案 蘇教版必修1（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 3.2.1 對數(shù) 名師導(dǎo)航 知識梳理 一、對數(shù)與對數(shù)運算 1.對數(shù)的定義 一般地，如果ax=N(a>0,a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作__________，其中a叫做對數(shù)的__________，N叫做對數(shù)的__________. 對數(shù)恒等式為________________________________________. 2.對數(shù)的運算法則 指數(shù)的運算法則： 對數(shù)的運算法則： （1）aman=am+n;→ （1）______________; （2）=ama-

2、n=am-n;→ （2）______________; （3）(am)n=amn;→ （3）_______________. 二、對數(shù)運算法則的證明 (學會證明方法) 1.正因數(shù)的積的對數(shù)等于同一底數(shù)各個因數(shù)的對數(shù)的_______________； loga(MN)=logaM+logaN. 設(shè)logaM=p,logaN=q, 則ap=M,aq=N, ∴MN=apaq=ap+q. ∴l(xiāng)oga(MN)=p+q=logaM+logaN. 2.兩個正數(shù)的商的對數(shù)等于被除數(shù)的對數(shù)___________除數(shù)的對數(shù)； l

3、oga=logaM-logaN.∵==ap-q, ∴l(xiāng)oga=p-q=logaM-logaN. 3.正數(shù)的冪的對數(shù)等于冪的底數(shù)的對數(shù)____________冪指數(shù)； loga(Nn)=nlogaN. 根據(jù)對數(shù)恒等式:=N, ∴Nn=(N)n=.∴l(xiāng)oga(Nn)=nlogaN. 4.正數(shù)的正的方根的對數(shù)等于被開方數(shù)的對數(shù)______________根指數(shù). logalogaN.∵=, ∴由法則3得loga=loga=logaN. 三、對數(shù)的性質(zhì) 1.__________和__________沒有對數(shù). 因為a＞0，所以不論b是什么數(shù)，都有ab＞0，即不論b是什么數(shù)

4、，N=ab永遠是正數(shù)，這說明在相應(yīng)的對數(shù)式 b=logaN中真數(shù)N永遠是正數(shù)，換句話說負數(shù)和零沒有對數(shù). 2.1的對數(shù)是__________. 因為a0=1(a＞0，且a≠1)，所以根據(jù)對數(shù)的定義可得loga1=0. 3.底數(shù)的對數(shù)等于__________. 因為a1=a，根據(jù)對數(shù)的定義知logaa=1. 四、一組重要的對數(shù)公式——換底公式 1.logab=,即有l(wèi)ogcalogab=logcb; 2.logba=，即有l(wèi)ogablogba=1； 3.=logab. 疑難突破 如何將給出的對數(shù)式換成指定底數(shù)的對數(shù)？ 《考試大綱》要求知道用換底公式將一般對數(shù)

5、轉(zhuǎn)化成指定底數(shù)的對數(shù). 對數(shù)換底公式：logbN=(a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，N＞0)， 推論：logab=，logab. 更特別地有l(wèi)ogaan=n. 問題探究 問題1 對數(shù)式與指數(shù)式有何關(guān)系？在對數(shù)符號logaN中，為什么規(guī)定a＞0，a≠1，N＞0呢？ 探究思路：對數(shù)的概念是這么說的：一般地，如果a(a＞0且a≠1)的b次冪等于N，即ab=N，那么就稱b是以a為底N的對數(shù)，記作logaN=b，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).從定義不難發(fā)現(xiàn)無論是指數(shù)式ab=N，還是對數(shù)式logaN=b都反映的是a、b、N三數(shù)之間的關(guān)系. 在對數(shù)符號logaN中，若a＜0，則N

6、為某些值時，logaN不存在，如log(-2)8不存在. 若a=0，則N不為0時，logaN不存在；N為0時，logaN可以為任何正數(shù)，不唯一. 若a=1，則N不為1時，logaN不存在；N為1時，logaN可以為任何實數(shù)，不唯一.因此規(guī)定a＞0且a≠1.因為logaN=bab=N，在實數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，因此N＞0. 問題2 對于對數(shù)，除了對數(shù)的定義，還有對數(shù)的性質(zhì)，你能說說這些相關(guān)的內(nèi)容嗎？ 探究思路：對數(shù)部分，我們首先應(yīng)當掌握對數(shù)的意義，即對數(shù)式與指數(shù)式之間的對應(yīng)關(guān)系.另外對于對數(shù)我們應(yīng)該掌握一些常用的性質(zhì)：如(1)loga1=0(1的對數(shù)是0)； (2)log

7、aa=1(底數(shù)的對數(shù)是1)； (3)N=N(對數(shù)恒等式)； (4)logaN=(b＞0且b≠1)(換底公式)； (5)logaM+logaN=logaMN； (6)logaM-logaN=loga； (7)nlogaN=logaNn； (8)logaN=logamNn. 以上各式均有條件a＞0且a≠1. 問題3 初學對數(shù)運算性質(zhì)，容易犯下面的錯誤： loga(MN)=logaMlogaN，loga(MN)=logaMlogaN，loga=，logaNn=(logaN)n.應(yīng)該如何解決呢？ 探究思路：首先應(yīng)把握對數(shù)運算的本質(zhì)特征，運算性質(zhì)是把真數(shù)的乘、除、乘方降級為

8、對數(shù)的加、減、乘運算，是降級運算；其次，對數(shù)記號logaN整體上才有意義，不能誤把對數(shù)符號當作表示數(shù)的字母進行運算. 典題精講 例1 (1)將下列指數(shù)式寫成對數(shù)式： ①210=1 024；②10-3=； ③0.33=0.027；④e0=1. (2)將下列對數(shù)式寫成指數(shù)式： ①log0.46.25=-2；②lg2=0.301 0； ③log310=2.095 9；④ln23.14=x. 思路解析 應(yīng)用指數(shù)式與對數(shù)式的等價關(guān)系求解. 答案:(1)①log21 024=10；②lg=-3；③log0.30.027=3；④ln1=0. (2)①0.4-2=6.25；②100.3

9、01 0=2；③32.095 9=10；④ex=23.14. 例2 計算：log2+log212-log242. 思路解析 這是幾個對數(shù)式的加減運算，注意到每個對數(shù)式是同底的，則可以利用同底數(shù)的對數(shù)的運算公式化為一個對數(shù)式.當然也可以反其道而行之，即把每個對數(shù)的真數(shù)寫成積或商的形式，再利用積或商的對數(shù)的運算性質(zhì)化為同底對數(shù)的和與差，然后進行約簡. 解法一：原式=(log27-log248)+log23+2log22-(log27+log22+log23) =log27-log23-log216+log23+2-log27-=-. 解法二：原式=log2(12)=-. 例3 求

10、下列各式的值： (1)； (2)7lg20()lg0.7； (3)log2(1+)+log2(1+)； (4)lg(). 思路解析 (1)由冪的運算法則把其化成同底，用對數(shù)恒等式N=N化簡計算. (2)通過取對數(shù)，先算出對數(shù)值，再求值. (3)運用對數(shù)運算法則化成一個對數(shù)，然后利用底數(shù)與真數(shù)的特殊關(guān)系求解. (4)運用對數(shù)運算法則巧去根號. 解答:(1). (2)設(shè)x=7lg20()lg0.7，則lgx=lg20lg7+lg0.7lg()=(lg2+1)lg7+(lg7-1)(-lg2)=lg7+lg2=lg14， ∴x=14，即7lg20()lg0.7=14. (3

11、)log2(1+)+log2(1+)=log2［(1+)2-()2］=log22=log2=. (4)lg()=lg()2=lg(3++3-+2)=lg10=. 例4 已知11.2a=1 000，0.011 2b=1 000，那么-等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 思路解析 本題有兩種解題方法. 解法一：用指數(shù)解.由題意11.2=，0.011 2=， ∴兩式相除得==1 000. ∴-=1. 解法二：用對數(shù)解. 由題意，得alg11.2=3，blg0.011

12、 2=3， ∴-= (lg11.2-lg0.011 2)=1. 答案:A 例5 方程lg(4x+2)=lg2x+lg3的解是_____________. 思路解析 把方程兩邊化為同底的對數(shù)式，然后比較真數(shù)得含有求知數(shù)的方程，解之即可. 解:把兩邊化成同底的對數(shù)式為lg(4x+2)=lg(2x3)， 比較真數(shù)，得方程4x+2=2x3， 利用換元法，解得2x=1或2x=2. 所以x=0或x=1. 答案:x1=0，x2=1 知識導(dǎo)學 1.對數(shù)的概念 在實際應(yīng)用中，一定要注意指數(shù)式與對數(shù)式的等價性，即logaN=bab=N. 2.換底公式 一般地，我們稱

13、logaN=為對數(shù)的換底公式.換底公式是對數(shù)中一個非常重要的公式，這是因為它是對一個對數(shù)進行變形運算的主要依據(jù)之一，是對數(shù)的運算性質(zhì).對數(shù)運算性質(zhì)應(yīng)用的前提是式子中對數(shù)的底相同.若底不同則需要利用換底公式化為底相同的.我們在應(yīng)用換底公式時，一方面要證明它和它的幾個推論；另一方面要結(jié)合構(gòu)成式子的各對數(shù)的特點選擇一個恰當?shù)臄?shù)作為對數(shù)的底，不要盲目地換底，以簡化我們的解題過程. 3.常用對數(shù)與自然對數(shù)的概念 有了對數(shù)的概念后，要求log0.840.5的值，我們需要引入兩個常用的對數(shù)：常用對數(shù)和自然對數(shù).常用對數(shù)是指以10為底的對數(shù)；自然對數(shù)是指以e(e=2.718 28…，是一個無理數(shù))

14、為底的對數(shù). 有了常用對數(shù)和自然對數(shù)再利用對數(shù)的運算性質(zhì)，我們就可以求log0.840.5的值了. 4.對數(shù)恒等式 對數(shù)恒等式：=N. 它的證明也很簡單，只要緊扣對數(shù)式的定義即可證明. ∵ab=N， ∴b=logaN. ∴ab==N， 即=N. 如=5、=6等.要熟記對數(shù)恒等式的形式，會使用這一公式化簡對數(shù)式. 疑難導(dǎo)析 對數(shù)換底公式口訣： 換底公式真神奇，換成新底可任意， 原底加底變分母，真數(shù)加底變分子. 問題導(dǎo)思 指數(shù)式與對數(shù)式之間可以相互轉(zhuǎn)化，它們之間可以理解為就像加法與減法一樣的關(guān)系.后面我們會學習反

15、函數(shù)，指數(shù)式與對數(shù)式之間的轉(zhuǎn)化可以通過反函數(shù)進行. 這些常用的性質(zhì)在指數(shù)運算中非常有用，需要記牢. 有的性質(zhì)可以用口訣來幫助記憶，比如，性質(zhì)(5)(6)(7)可以這樣來記： 積的對數(shù)變?yōu)榧樱? 商的對數(shù)變?yōu)闇p， 冪的乘方取對數(shù)， 要把指數(shù)提到前. 典題導(dǎo)考 綠色通道 指數(shù)式與對數(shù)式之間的換算，就是利用logaN=bab=N. 典題變式 已知loga2=m，loga3=n，則a2m-n=____________. 解答：∵loga2=m，loga3=n， ∴am=2，an=3. ∴a2m-n=. 綠色通道 解決

16、求值問題一般有兩種解法：一是將式中的真數(shù)的積、商、冪、方根運用對數(shù)的運算法則化為對數(shù)的和、差、積、商，即“化整為零”，然后合并、消項、化簡求值；二是將式中的對數(shù)的和、差、積、商運用對數(shù)運算法則將它們化為真數(shù)的積、商、冪、方根，即“化零為整”，然后“相約”，化簡求值. 典題變式 計算2log525+3log264-8log71的值為( ) A.14 B.8 C.22 D.27 答案:C 綠色通道 有關(guān)對數(shù)式的運算，除了要用到對數(shù)運算性質(zhì)外，還要注意代數(shù)運算的其他性質(zhì)的運用

17、.如遇到不能直接運用對數(shù)運算法則進行運算的問題，有兩種解決辦法：一是取對數(shù)，先求出對數(shù)值，再求出真數(shù)的值，即為原式的值；二是運用對數(shù)恒等式N=N把任何正數(shù)N化成含所需要的正數(shù)為底數(shù)的對數(shù)的一個冪，即可轉(zhuǎn)化為用冪的運算法則和對數(shù)運算法則解決問題. 典題變式 1.lg5lg8 000+(lg)2+lg0.06-lg6=______________. 解答:原式=lg5(3+3lg2)+3lg22+lg=3(1-lg2)(1+lg2)+3lg22-2=3-2=1. 2.計算2lg5+lg8+lg5lg20+lg22的值. 解答:原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+lg22

18、 =lg25+2lg2lg5+lg22+2(lg5+lg2) =(lg5+lg2)2+2(lg5+lg2) =lg210+2lg10 =1+2=3. 綠色通道 因為指數(shù)與對數(shù)存在著互逆的運算關(guān)系，因而反映在具體問題中就一定從指數(shù)式、對數(shù)式兩條思路分別運用冪的運算法則和對數(shù)運算法則解決問題.這就是對立統(tǒng)一的原則在具體思路上的指導(dǎo)和體現(xiàn). 典題變式 已知a=lg(1+)，b=lg(1+)，試用a、b的式子表示lg1.4. 答案:lg1.4=(a-4b+1). 黑色陷阱 如果誤以為原方程lg(4x+2)=lg2x+lg3可化為lg4x+lg2=lg2x+lg3，將導(dǎo)致解

19、題錯誤.這也說明數(shù)學思維的嚴密性，如果百密一疏，則后悔莫及! 典題變式 已知函數(shù)f(x)=則f［f()］的值是( ) A.9 B. C.-9 D.- 答案:B 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375