《高中數(shù)學(xué) 第三章 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù) 3.1 指數(shù)函數(shù) 3.1.1 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪學(xué)案 蘇教版必修1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第三章 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù) 3.1 指數(shù)函數(shù) 3.1.1 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪學(xué)案 蘇教版必修1（5頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 3．1　指數(shù)函數(shù) 3．1．1　分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 1．理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的含義． 2．了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，理解n次方根與n次根式的概念，熟練掌握用根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示一個正實(shí)數(shù)的算術(shù)根． 3．能運(yùn)用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算和化簡，會進(jìn)行根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的相互轉(zhuǎn)化． 1．根式 (1)方根的概念： 我們知道，如果x2＝a，那么x稱為a的平方根；如果x3＝a，那么x稱為a的立方根． 一般地，如果一個實(shí)數(shù)x滿足xn＝a(n＞1，n∈N*)，那么稱x為a的n次實(shí)數(shù)方根． 當(dāng)n是奇數(shù)時，正數(shù)的n次實(shí)數(shù)方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次實(shí)數(shù)方根是一個負(fù)數(shù)．此時，a的n次方根只有一個，記為x

2、＝． 當(dāng)n是偶數(shù)時，正數(shù)的n次實(shí)數(shù)方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù)．此時，正數(shù)a的正的n次實(shí)數(shù)方根用符號表示，負(fù)的n次實(shí)數(shù)方根用符號－表示．正的n次實(shí)數(shù)方根與負(fù)的n次實(shí)數(shù)方根可以合并成(a＞0)． 由此可得：負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作＝0． (2)根式的概念： 式子叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)． (3)根式的性質(zhì)： ①當(dāng)n是奇數(shù)時，＝a； ②當(dāng)n是偶數(shù)時，＝|a|＝ 正數(shù)開方要分清，根指奇偶大不同， 根指為奇根一個，根指為偶雙胞生． 負(fù)數(shù)只有奇次根，算術(shù)方根零或正， 正數(shù)若求偶次根，符號相反值相同． 負(fù)數(shù)開方要慎重，根指為奇才可行，

3、根指為偶無意義，零取方根仍為零． 【做一做1－1】在，，，中，屬于最簡根式的個數(shù)是__________． 解析：根據(jù)最簡根式的定義判斷．＝3，＝，＝2，＝2． 答案：0 【做一做1－2】當(dāng)8＜x＜9時，化簡－＝__________． 答案：2x－17 2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 (1)正數(shù)a的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪： 我們規(guī)定：(a＞0，m，n∈N*)． (2)正數(shù)a的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪： ＝＝(a＞0，m，n∈N*)． (3)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義． 在最簡結(jié)果中，不能既有根式又有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，同時，也不能既有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪又有分母的形式．如、都不是最簡形式．應(yīng)該注

4、意，分?jǐn)?shù)指數(shù)的分子和分母與根式的根指數(shù)和被開方式的指數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系不可顛倒． 【做一做2－1】下列等式中，一定成立的是______． ①；②； ③；④． 答案：④ 【做一做2－2】將化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式為__________． 答案： 3．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) (1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 【做一做3－1】＋0．1－2＋－3x0＋＝__________． 答案：100 【做一做3－2】8＝__________． 答案：128 ()n

5、和有什么區(qū)別？它們分別等于什么？ 剖析：分析這兩個式子的含義和成立的條件，多舉例子來體會它們的區(qū)別． ()n是實(shí)數(shù)a的n次方根的n次冪，其中實(shí)數(shù)a的取值由n的奇偶性來決定： ①當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時，a∈R．例如，()3＝27，()5＝－32，()7＝0； ②當(dāng)n為大于1的偶數(shù)時，a≥0．例如，()4＝27，()2＝3，()6＝0；若a＜0，式子()n無意義，例如，()2、()4均無意義，也就不能說它們的值了． 由此看只要()n有意義，其值就恒等于a，即()n＝a． 是實(shí)數(shù)an的n次方根，是一個恒有意義的式子，a的取值不受n的奇偶性限制，a∈R．但是這個式子的值受n的奇偶性限制：

6、①當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時，其值為a，即＝a，例如，＝－2，＝6．1； ②當(dāng)n為大于1的偶數(shù)時，其值為|a|，即＝|a|，例如，＝3，＝|－3|＝3． 由此看＝ 題型一 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算 【例1】計算： (1)；(2)；(3)； (4)(2a＋1)0；(5)． 分析：在冪的運(yùn)算中，首先觀察冪的底數(shù)，如果冪的底數(shù)能化成冪的形式時〔如(1)(2)(3)〕，就先把冪的底數(shù)寫成冪的形式，再進(jìn)行冪的乘、除、乘方、開方運(yùn)算，這樣比較簡便． 在冪的運(yùn)算中，對于形如m0的式子，要注意對底數(shù)m是否為零進(jìn)行討論，因為只有在m≠0時，m0才有意義；而對于形如的式子，我們一般是先變形為，然后再進(jìn)行運(yùn)

7、算． 解：(1)＝＝＝； (2)＝＝0.2－2＝＝52＝25； (3)＝＝＝； (4)(2a＋1)0＝1； (5) ＝－1＝－． 反思：在進(jìn)行有關(guān)冪的運(yùn)算時，要注意化歸思想的運(yùn)用；另外化繁為簡一直是我們解題的一條基本原則．熟悉冪的運(yùn)算條件和冪的運(yùn)算性質(zhì)是正確解題的關(guān)鍵． 題型二 根式的化簡 【例2】化簡＋－的結(jié)果是__________． 解析：先將式子中的根式逐個化簡，后進(jìn)行運(yùn)算． 原式＝＋－ ＝－＋＋6＝9． 答案：9 反思：對多個根式組成的式子進(jìn)行化簡，我們解題的一般原則是先算根號內(nèi)的，后進(jìn)行根式運(yùn)算．在進(jìn)行根式運(yùn)算時，要注意根指數(shù)為奇數(shù)的情況，如，若a＞0，

8、則＞0；若a＜0，則＜0，但對根指數(shù)為偶數(shù)的根式，只有當(dāng)a≥0時，對根式才有意義． 題型三 有理數(shù)冪的混合運(yùn)算 【例3】已知a＝－，b＝，求 的值． 分析：化簡、求值一類問題，往往是先將被求代數(shù)式化簡，然后再代入已知字母的值，求得代數(shù)式的值． 解：∵a≠0， ∴原式＝． 又∵a－27b≠0， ∴原式＝＝＝＝＝＝． 反思：本題容易先直接將a，b的值代入，后化簡，但因運(yùn)算繁瑣，不容易得出正確的結(jié)果．所以在解決問題時，一定要先審題，比較一下各種思路的優(yōu)劣，然后再動手做題．這樣才能養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣． 【例4】已知，求a＋a－1，a2＋a－2的值． 分析：本題主要考查分?jǐn)?shù)指數(shù)冪及

9、其應(yīng)用．觀察到，對已知等式兩邊平方即可求解． 解：∵，∴． ∴a＋2＋a－1＝9． ∴a＋a－1＝7． 又(a＋a－1)2＝49， ∴a2＋2＋a－2＝49． ∴a2＋a－2＝47． 反思：本題是已知代數(shù)式的值求其他代數(shù)式的值，通常又簡稱為“知值求值”，解決此類題目要從整體上把握已知的代數(shù)式和所求的代數(shù)式的特點(diǎn)，常從整體代入來求值． 1設(shè)x＝1＋2p，y＝1＋2－p，則y等于__________．(用x表示) 解析：由條件得2p＝x－1,2－p＝y(tǒng)－1， 從而(x－1)(y－1)＝1，y＝＋1＝． 答案： 2如果，則x的值是__________． 解析：由條件得，

10、 所以，x＝． 答案： 3化簡＝__________． 解析：＝＝＝＝． 答案： 在①；②；③；④(n∈N，a∈R)各式中，一定有意義的是__________．(填序號) 解析：在②中(－4)2n＋1為負(fù)數(shù)，所以開偶次方無意義，故②錯誤；在④中因為a∈R，所以a5∈R，故可能沒有意義，所以④錯誤． 答案：①③ 5(1)＝________； (2)＝______． 解析：(1)原式＝． (2)原式＝． 答案：(1)　(2) 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375