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1、專題55 已知三角函數(shù)值求角一、多選題1下列命題正確的是（）A若，則B函數(shù)的對稱中心是（）C“，”的否定是“，”D設常數(shù)使方程在閉區(qū)間上恰有三個解，則【答案】CD【分析】求出函數(shù)的解析式，然后求出數(shù)列的和判斷A，直接求函數(shù)對稱中心判斷B，通過存在量詞命題的否定判斷C，解出三個零點，求出和，判斷D.【詳解】若，令，可得，所以A不正確函數(shù)的對稱中心是（），所以B不正確“，”的否定是“，”；滿足特稱命題的否定形式，所以C正確設常數(shù)使方程化為，在閉區(qū)間上恰有三個解，則所以D正確故選：CD2下列命題中正確的是（ ）A半徑為，圓心角的弧度數(shù)為的扇形面積為B若、為銳角，則C若、是的兩個內角，且，則D若、分別

2、為的內角、的對邊，且，則是鈍角三角形【答案】BCD【分析】對A，利用扇形面積公式計算可得；對B，根據(jù)利用和差公式展開即可求得；對C，利用正弦定理分析判斷；對D，利用余弦定理判斷角是鈍角，即可判斷是鈍角三角形.【詳解】A選項，故A錯；B選項，又、為銳角，又，故B正確；C選項，(為的外接圓半徑)，故C正確；D選項，由余弦定理可知，為鈍角，是鈍角三角形，故D正確；故選：BCD.【點睛】關于三角函數(shù)中角的配湊問題，需要注意配湊以后展開時需要注意誘導公式，和差公式以及二倍角公式的運用；解三角形問題中，注意正余弦定理的應用，一般兩邊兩角的問題采用正弦定理解決，一般三邊一角的問題利用余弦定理解決.3在中,內

3、角的對邊分別為若,則角的大小是( )ABCD【答案】BD【分析】由正弦定理可得,所以,而,可得,即可求得答案.【詳解】由正弦定理可得, ,而, , ,故或.故選:BD.【點睛】本題考查了根據(jù)正弦定理求解三角形內角,解題關鍵是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判斷,考查了分析能力和計算能力,屬于中等題.二、單選題4下列命題中錯誤的是（ ）A若是的兩個內角，且，則B若為銳角，則C半徑為，圓心角的弧度數(shù)為的扇形面積為D若分別為的內角的對邊，且，則是鈍角三角形【答案】C【分析】A.利用正弦定理，判斷；B.利用兩角和的正切公式計算的值，再根據(jù)角的范圍，求角；C.利用扇形面積公式，判斷；D.根據(jù)余弦定理判斷

4、三角形的形狀.【詳解】A選項，(為的外接圓半徑)，對，B選項，又為銳角，又，對，C選項，錯，D選項，由余弦定理可知，為鈍角，是鈍角三角形，對，故選:C.【點睛】關鍵點點睛：本題較難判斷的選項是B，涉及角的變換，以及根據(jù)，縮小角的范圍，從而能夠判斷結果.5已知，則（ ）ABCD【答案】B【分析】利用輔助角公式化簡，并根據(jù)角的范圍，結合誘導公式，化簡后得到角的值.【詳解】顯然，故，則，則.故選:B6若，則（ ）AB0CD或0【答案】A【分析】由二倍角公式和兩角差的正弦公式變形已知條件，由可得，從而求得的值，再計算【詳解】由，可得，即因為，所以，即，于是，所以故選：A【點睛】本題考查二倍角公式和兩角

5、和與差的正弦公式，考查特殊角的三角函數(shù)值三角函數(shù)求值問題一般先化簡，然后再由三角函數(shù)公式變形計算，對特殊角的三角函數(shù)值也可以求出角，然后再計算三角函數(shù)值7若，則的值是（ ）ABCD【答案】D【分析】利用兩角差的余弦公式可得，由此可得答案.【詳解】因為，所以，所以.又，所以，故選：D.【點睛】本題考查了兩角差的余弦公式，主要考查學生對公式掌握情況，屬于基礎題.8已知為銳角，且cos=,cos=，則的值是( ) ABCD【答案】B【解析】分析：由為銳角，且，求出，求的值，確定的值.詳解：因為為銳角，且，所以可得，由為銳角，可得，故，故選B.點睛：三角函數(shù)求值有三類：(1)“給角求值”：一般所給出的

6、角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細觀察非特殊角與特殊角總有一定關系，解題時，要利用觀察得到的關系，結合公式轉化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關系(3)“給值求角”：實質是轉化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角9已知均為銳角，滿足，則（ ）ABCD【答案】B【分析】依題意，求cos（+），結合角的范圍可求得+的值【詳解】由已知、均為銳角，又cos（+）coscossinsin，0+，+故選B【點睛】解答給值求角問題的一般思路：求角的某一個三

7、角函數(shù)值，此時要根據(jù)角的范圍合理地選擇一種三角函數(shù)；確定角的范圍，此時注意范圍越精確越好；根據(jù)角的范圍寫出所求的角10在銳角中，角，所對的邊分別為，則角的大小為（ ）ABCD【答案】A【分析】由余弦定理對條件進行化簡，可得，再由銳角中，可得角的大小.【詳解】由余弦定理可得，所以，所以，即.又為銳角三角形，所以.故選：A【點睛】本題考查余弦定理、由正弦值求角等解三角形等基本知識，考查運算求解能力和邏輯推理能力，屬于容易題目.11若，且，則的值是（ ）A B C或D或【答案】A【分析】先計算和的取值范圍，根據(jù)取值范圍解出和的值，再利用求解的值.【詳解】，.，.，.又，.故選：A.【點睛】本題考查三

8、角恒等變換中和差角公式的運用，難度一般.解答時，要注意三角函數(shù)值的正負問題，注意目標式與條件式角度之間的關系，然后通過和差角公式求解.三、解答題12在中，點在邊上，（1）求角的大小；（2）若，求的面積【答案】（1）；（2）【分析】（1）由與互補，已知角正切值可得，又，結合兩角和正切公式求，即可知角的大小；（2）由已知三角函數(shù)值求，根據(jù)正弦定理求，應用三角形面積公式求的面積，由即可求的面積【詳解】（1），（2），在中，由正弦定理，得的面積點在邊上，的面積【點睛】關鍵點點睛：（1）根據(jù)三角形內角和性質得，注意兩角和正切公式的應用.（2）綜合應用正余弦定理、三角形面積公式求面積.13如圖，在平面直角

9、坐標系中，角、的終邊分別與單位圓交于點、兩點，且點在直線上，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）列方程組解出點坐標，可得，；利用點在圓上，可得，；（2）由得出的范圍，求出，結合的范圍求值即可【詳解】（1）根據(jù)題意可得，因為，所以，所以，.因為，所以，所以，.（2）因為且，所以，所以.又，所以，所以.14已知.（1）求的值；（2）已知，且，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先求出，再化簡即得解；（2）先求出，再求出，求出，即得解.【詳解】（1）由已知得，所以 （2）由，可得， 則. 因為，所以，又，則， 因為，則，則，所以.【點睛】易錯點睛：本題容易得

10、出兩個答案，或.之所以得出兩個答案，是沒有分析縮小的范圍，從而得到.對于求角的大小的問題，一般先求出角的某三角函數(shù)值，再求出角的范圍，再得到角的大小.15已知，、（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先求出的值,再計算的值,將展開即可求解；（2）求出和的值，再計算的值，結合、，即可求出的值【詳解】（1）因為，所以，所以，；（2）因為，所以，因為，所以，所以.【點睛】方法點睛：解給值求角問題的一般步驟（1）求角的某一個三角函數(shù)值；（2）確定角的范圍；（3）根據(jù)角的范圍寫出角的大小.16已知且（1）求和；（2）求的值.【答案】(1) , (2) 【分析】（1）由，則，根據(jù)

11、可得，結合平方關系可求解.(2)先求出，然后由，求出的值，可得答案.【詳解】(1)由，則，由，即 即由，則，所以（2）所以，所以 又，所以【點睛】關鍵點睛：本題考查已知三角函數(shù)值求三角函數(shù)值和求角，解答本題的關鍵是弄清楚角的范圍，在利用平方關系求正弦和余弦時的符號，利用角的變換關系得到，從而求出的值，屬于中檔題.17已知函數(shù)，求：（1）的最小正周期及最大值；（2）若且，求的值；（3）若，在有兩個不等的實數(shù)根，求的取值范圍.【答案】（1）函數(shù)的最小正周期為，最大值為；（2）；（3）.【分析】（1）利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)的解析式為，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得函數(shù)的最小正周期，利用正弦函數(shù)

12、的有界性可求得函數(shù)的最大值；（2）求出的取值范圍，由可得出，可得出，進而可求得角的值；（3）令，由可求得，由可得出，問題轉化為直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點，數(shù)形結合可得出關于實數(shù)的不等式，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1），所以，函數(shù)的最小正周期為，最大值為；（2），則，可得，解得；（3）當時，令，則.由可得，即，即，所以，直線與曲線在上的圖象有兩個交點，如下圖所示：由上圖可知，當時，即當時，直線與曲線在上的圖象有兩個交點，因此，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】通過求所求角的某種三角函數(shù)值來求角，關鍵點在選取函數(shù)，常遵照以下原則：已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函

13、數(shù)；若角的范圍是，選正、余弦皆可；若角的范圍是，選余弦較好；若角的范圍為，選正弦較好18已知函數(shù)，求：（1）的最小正周期及最大值；（2）若且，求的值；（3）若，在有兩個不等的實數(shù)根，求的取值范圍.【答案】（1）函數(shù)的最小正周期為，最大值為；（2）；（3）.【分析】（1）利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)的解析式為，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得函數(shù)的最小正周期，利用正弦函數(shù)的有界性可求得函數(shù)的最大值；（2）求出的取值范圍，由可得出，可得出，進而可求得角的值；（3）令，由可求得，由可得出，問題轉化為直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點，數(shù)形結合可得出關于實數(shù)的不等式，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）

14、，所以，函數(shù)的最小正周期為，最大值為；（2），則，可得，解得；（3）當時，令，則.由可得，即，即，所以，直線與曲線在上的圖象有兩個交點，如下圖所示：由上圖可知，當時，即當時，直線與曲線在上的圖象有兩個交點，因此，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】通過求所求角的某種三角函數(shù)值來求角，關鍵點在選取函數(shù)，常遵照以下原則：已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是，選正、余弦皆可；若角的范圍是，選余弦較好；若角的范圍為，選正弦較好19已知，且.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）.（2）【分析】（1）由已知根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系可求得,根據(jù)代入即可求得求得結果.（

15、2）由(1)利用二倍角公式,可求得,進而可得的值,根據(jù)角的范圍,即可確定結果.【詳解】（1），且又（2）或又，且又【點睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關系,二倍角公式,兩角和與差的三角函數(shù),考查已知三角函數(shù)值求角,屬于基礎題.20在中，點在邊上，已知，（1）求；（2）若，求【答案】（1）；（2）或【分析】（1）首先可根據(jù)同角三角函數(shù)關系求得以及，然后根據(jù)三角形內角和為求得，最后根據(jù)即可得出結果，（2）首先可根據(jù)正弦定理求出，然后根據(jù)（1）求出，最后借助余弦定理即可得出結果.【詳解】（1）在中，則，故，因為，所以（2）在中，由正弦定理得，在中，結合余弦定理有，化簡得，解得或，故或【點睛】本題考查正

16、弦定理以及余弦定理解三角形，考查同角三角函數(shù)關系、誘導公式以及兩角和的余弦公式，考查化歸與轉化思想，考查計算能力，體現(xiàn)了綜合性，是中檔題.21（2017-2018學年全國18名校大聯(lián)考高三第二次聯(lián)考）已知向量,其中,且.(1)求和的值;(2)若,且,求角.【答案】(1)，；(2).【詳解】(1),即.代入,得,又,則,.則.(2),.又,.=.由,得.22已知，.（1）求的值；（2）求角的大小.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的基本關系求得的值，然后利用二倍角的正切公式可求的值；（2）利用兩角差的正弦公式求得的值，結合角的取值范圍，進而可求得角的值.【詳解】（1），因此，

17、；（2），.【點睛】本題考查利用同角三角函數(shù)的基本關系以及二倍角的正切公式求值，同時也考查了利用三角函數(shù)值求角，考查計算能力，屬于中等題.23已知，（1）求的值；（2）求角的大小.【答案】（1）；（2）【分析】（1）先通過誘導公式和同角三角函數(shù)基本關系求出，進而可求出；（2）先通過求出，再通過展開可得答案【詳解】解：（1）因為，所以.因為，所以.所以；（2）因為，且，所以，所以.因為，所以.【點睛】本題考查三角恒等變形公式的應用，是中檔題24已知（1）求的值；（2）若，求的值【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)，得到，由利用平方關系求得，然后由求解.（2）由（1）知，然后由求解.【詳解】（

18、1）因為，所以，又，所以，所以，.（2）由（1）知，所以，因為，所以【點睛】本題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.25已知，且，求：（1）求的值.（2）求的角【答案】（1）；（2）.【分析】（1），利用兩角和的正切公式展開即可求解.（2）根據(jù)的值先求值，再求的值，再利用的范圍即可求解.【詳解】（1）（2）且且【點睛】本題主要考查了兩角和與差的正切公式，以及正切的二倍角公式，考查了給值求值、給值求角題型，屬于中檔題.26已知，且、.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）原式除以，分子分母再同時除以即可得解；（2）由及二倍角公式求出

19、、，再由求出、，代入的展開式即可得解.【詳解】（1）原式；（2）且，則，又，.【點睛】本題考查利用同角三角函數(shù)的關系化簡求值、二倍角公式、兩角和的余弦公式、配湊法求三角函數(shù)值，屬于中檔題.27（1）化簡：；（2）已知，其中，求的值【答案】（1）1；（2）【分析】（1）利用誘導公式進行化簡即可；（2）先利用和的正切公式求出，即可求出的值.【詳解】（1）原式；（2），又，【點睛】本題考查誘導公式以及和的正切公式的應用，屬于基礎題.28已知，.（1）求的值.（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用同角的三角函數(shù)基本關系式可求，再利用兩角差的正弦可求的值.（2）利用同角的三角函數(shù)基本關

20、系可求，再利用兩角和的正切可求，從而得到的值.【詳解】（1）已知，.（2）由（1）可得，故.【點睛】本題考查兩角差的正弦、兩角和的正切、同角的三角函數(shù)基本關系式，在求解的過程中注意角的范圍對三角函數(shù)的符號的影響，另外知道角的三角函數(shù)值確定角的大小時，需結合角的范圍來判斷，本題屬于中檔題.29已知，為銳角，且，是方程的兩根（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）先求出，再求出，最后求的值；（2）先求出或，再分類討論，接著求，最后求的值.【詳解】解析：（1）依題意有：，所以；（2）由（1）可得或，當時，即又，當時，即又，【點睛】本題考查同角三角函數(shù)關系、兩角和的正切公式、

21、二倍角的正弦公式，是基礎題.30（1）已知是第三象限角，且，求的值；（2）已知，為銳角，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）對式子兩端平方后可得，繼而可求得，最后得出的值；（2）結合已知條件利用進行計算即可得解.【詳解】（1）由題可得，所以，所以，是第三象限角，；（2）為銳角，為銳角，.【點睛】本題考查同角三角函數(shù)關系式的應用，考查兩角差的正弦公式的應用，考查邏輯思維能力和計算能力，其中屬于此類題常見角的變形，屬于常考題.31已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）解三角方程.【答案】（1）周期；（2）或.【分析】（1）利用降次公式、兩角差的余弦公式、輔助角公式化簡，由此求得的最小正周

22、期.（2）由解方程，結合特殊角的三角函數(shù)值，求得.【詳解】（1）由已知，有所以函數(shù)的最小正周期.（2）由，可得，則，或，即，或，所以的取值集合為或.【點睛】本小題主要考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)最小正周期的求法，考查三角方程的解法，屬于中檔題.32已知（1）求和；（2）求角【答案】（1）；（2）.【分析】(1)由已知求出，的取值范圍，結合同角三角形的基本關系即可得和.(2)結合兩角和的正弦公式求出的值，進而求出，即可得角.【詳解】解：（1）由，得，所以， 又，則，所以（2），因為，所以，得【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關系，考查了兩角和的正弦公式.本題的易錯點是未能正確求出角的取值范圍

23、.33已知，.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【分析】（1）由平方關系得出的值，利用半角公式求解即可；（2）由，的范圍得出的范圍，利用平方關系得出的值，再利用兩角差的正弦公式化簡求值即可.【詳解】（1）因為，所以.從而.（2）因為，所以所以.所以，.【點睛】本題主要考查了利用平方關系，半角公式以及兩角差的正弦公式化簡求值，屬于中檔題.34已知，.（1）求的值；（2）求的大小.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)和可求出；（2）先算出，然后算出，然后結合的范圍可得出答案.【詳解】（1）由得，代入得，（2）由， ， =. 又 【點睛】本題考查的是三角函數(shù)的同角基本關系和和

24、差公式，屬于基礎題.35已知函數(shù)，.（1）的周期是，求，并求的解集；（2）已知，求的值域.【答案】（1），或，；（2）.【分析】（1）利用正弦函數(shù)的性質求出的值，然后利用特殊角的三角函數(shù)值列出關于的等式，解出即可.（2）利用三角函數(shù)的輔助角公式化簡，結合的范圍和三角函數(shù)的性質，從而求出的值域.【詳解】（1）由于的周期是，所以，所以.令，故或，整理得或.故解集為或，.（2）由于，所以.所以 由于，所以.，故，故.所以函數(shù)的值域為.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)已知值求角，考查三角函數(shù)輔助角公式的應用以及求正弦型函數(shù)的值域，考查學生的計算能力和轉換能力，屬于基礎題.36已知，且.（1）求的值；（2）求

25、的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）原式除以，分子分母再同時除以即可得解；（2）由及二倍角公式求出、，再由求出、，代入的展開式即可得解.【詳解】（1）原式；（2）且，則，又，.【點睛】本題考查利用同角三角函數(shù)的關系化簡求值、二倍角公式、兩角和的余弦公式、配湊法求三角函數(shù)值，重點考查轉化與化歸和計算能力，屬于中檔題型.37已知向量，（1）若，求的值；（2）設，若，求的值【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)向量模的表示，即可求得；（2）向量用坐標表示，經簡單三角變換，結合的范圍即可求解【詳解】（1）由，則，由 得：，（2）由，得：，分別對兩式平方得再兩式求和得：，整理得，即，.【點睛】

26、本題主要考查平面向量的加法、減法、模的計算公式，考查運算求解能力和推理論證能力.38已知a，b，c分別是三角形三個內角A，B，C所對的邊，.（1）若，求角A；（2）在（1）的條件下，若，求三角形的面積.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）將函數(shù)解析式進行化簡整理，根據(jù)題意得到等式，得到，從而求得；（2）由得，即，結合的條件，可以斷定，從而得到三角形是等邊三角形，利用面積公式求得結果.【詳解】（1），（2）由，則，所以又因為，所以 所以三角形是等邊三角形，由，所以面職為.【點睛】該題考查的是有關解三角形的問題，涉及到的知識點有三角恒等變換，已知三角函數(shù)值求角，同角三角函數(shù)關系式，正弦定理，三角

27、形的面積公式，屬于簡單題目.39已知（1）求的值；（2）若，且，求【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用誘導公式結合弦化切思想可得出關于的等式，即可解得的值；（2）利用兩角差的正切公式求得的值，結合角的取值范圍可求得的值.【詳解】（1），解得；（2）由兩角差的正切公式得.，因此，.【點睛】本題考查利用誘導公式、弦化切思想求值，同時也考查了利用兩角差的正切公式求角，考查計算能力，屬于基礎題.40已知銳角的面積等于，且.（1）求A的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由面積公式可得，從而得出角A的值；（2）由余弦定理求出邊，再由正弦定理求出，進而求出，再由兩角差的余弦公式求

28、出即可.【詳解】（1），又是銳角三角形，.（2）由余弦定理由正弦定理得，又B為銳角，得，.【點睛】本題主要考查了正余弦定理的應用，三角形面積公式，兩角差的余弦公式，考查了學生的運算求解能力.41（1）已知，求；（2）已知，求的值【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用特殊角的函數(shù)值，可求的值.（2）先求的值，再根據(jù)兩角差的正切可求的值【詳解】（1）， ，即或.當時， （2）由，得， ， 【點睛】三角函數(shù)的中的化簡求值問題，我們往往從次數(shù)的差異、函數(shù)名的差異、結構的差異和角的差異去分析，處理次數(shù)差異的方法是升冪降冪法，解決函數(shù)名差異的方法是弦切互化，而結構上差異的處理則是已知公式的逆用等，最后角

29、的差異的處理則往往是用已知的角去表示未知的角.42已知函數(shù)（1）求的最小值；（2）在中，且，若，求角B的大小【答案】（1）；（2）.【分析】（1）用降次公式，兩角和與差公式，輔助角公式化簡，再求得最小值；（2）由，求得角，再由正弦定理求得角.【詳解】（1）因為當時，的最小值為，所以的最小值為（2）由（1）知，即因為，所以，所以，即在中，因為，由正弦定理，得，所以因為，所以【點睛】本題考查了降次公式，兩角和與差公式，輔助角公式，已知三角函數(shù)值求角，正弦定理，屬于中檔題.43已知銳角與鈍角，（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)，的范圍結合平方關系，可得，然后使用兩角差的余弦公式可得結果.（2）根據(jù)（1）可得，依據(jù)，使用兩角和的余弦公式，計算，最后可得結果.【詳解】（1）由題可知：且，所以所以（2）由，則又由（1）可知，所以所以則，所以所以所以所以【點睛】本題考查兩角和與差的余弦公式以及平方關系，關鍵在于角度的范圍以及對公式的記憶，考驗計算能力，屬中檔題.