《高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試題一匯總[共18頁(yè)]》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試題一匯總[共18頁(yè)]（18頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試題一一 試（考試時(shí)間：80分鐘 滿分100分）一、填空題（共8小題，分）1、已知,點(diǎn)在直線 上移動(dòng),當(dāng)取最小值時(shí),點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是 。2、設(shè)為正整數(shù)n（十進(jìn)制）的各數(shù)位上的數(shù)字的平方之和，比如。記，則 。3、如圖，正方體中，二面角的度數(shù)是 。4、在中隨機(jī)選取三個(gè)數(shù)，能構(gòu)成遞增等差數(shù)列的概率是 。5、若正數(shù)滿足，則的最大值是 。6、在平面直角坐標(biāo)系中，給定兩點(diǎn)和，點(diǎn)在軸上移動(dòng)，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 。7、已知數(shù)列滿足關(guān)系式且，則的值是 。8、函數(shù)在時(shí)的最小值為 。二、解答題（共3題，）9、設(shè)數(shù)列滿足條件：，且)求證：對(duì)于任何正整數(shù)n，都有：10、已知曲線，為正常數(shù)直線與

2、曲線的實(shí)軸不垂直，且依次交直線、曲線、直線于、4個(gè)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)。（1）若，求證：的面積為定值；（2）若的面積等于面積的，求證：11、已知、是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，函數(shù)的定義域?yàn)? （）求 （）證明：對(duì)于，若，則.二 試（考試時(shí)間：150分鐘 總分：200分）EFABCGHPO1。O2一、（本題50分）如圖，和與的三邊所在的三條直線都相切，為切點(diǎn)，并且、的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)。求證：直線與垂直。二、（本題50分）正實(shí)數(shù)，滿足。證明：三、（本題50分）對(duì)每個(gè)正整數(shù)，定義函數(shù)（其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，。試求：的值。四、（本題50分）在世界杯足球賽前，國(guó)的教練員為了考察這七名隊(duì)員，準(zhǔn)備讓他們?cè)谌龍?chǎng)訓(xùn)練比賽(

3、每場(chǎng)比賽90分鐘)中都上場(chǎng)，假設(shè)在比賽的任何時(shí)刻，這些隊(duì)員都有且只有一人在場(chǎng)上，并且每人上場(chǎng)的總時(shí)間(以分鐘為單位)均被7整除，每人上場(chǎng)的總時(shí)間(以分鐘為單位)均被13整除如果每場(chǎng)換人的次數(shù)不限，那么，按每名隊(duì)員上場(chǎng)的總時(shí)間計(jì)，共有多少種不同的情況？答案與解析一、填空題1、。.時(shí)取最小值, 此時(shí)=。2、4。 解： 將記做，于是有從89開始，是周期為8的周期數(shù)列。故。3、。 解：連結(jié),作，垂足為，延長(zhǎng)交于，則，連結(jié)，由對(duì)稱性知是二面角的平面角。連結(jié)，設(shè)，則中，在的補(bǔ)角，。4、。 解：三個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，設(shè)為 ，按題意必須滿足 。 對(duì)于給定的可以取. 故三數(shù)成遞增等差數(shù)列的個(gè)數(shù)為 三數(shù)成遞增等差

4、數(shù)列的概率為 。5、。 解：由條件，有，令；則，從而原條件可化為： 令則，解得，故6、解：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的圓的圓心在線段的垂直平分線上，設(shè)圓心為，則圓的方程為：對(duì)于定長(zhǎng)的弦在優(yōu)弧上所對(duì)的圓周角會(huì)隨著圓的半徑減小而角度增大，所以，當(dāng)取最大值時(shí)，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓S必與軸相切于點(diǎn)，即圓的方程中的值必須滿足解得 或.即對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)分別為和，而過(guò)點(diǎn)的圓的半徑大于過(guò)點(diǎn)的圓的半徑，所以，故點(diǎn)為所求，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為7、.解：設(shè)即故數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，。8、解：（由調(diào)和平均值不等式）要使上式等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)（1） （2）得到，即得。因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，。所以。二、解答題9、證明：令 ,則有 ，且 于是 由算術(shù)-幾何平

5、均值不等式，可得注意到 ，可知 BACQPyOCxDBA ，即 10、解：（1）設(shè)直線：代入得：，得：，設(shè)，則有，設(shè)，易得：，由得，故，代入得，整理得：，又，為定值. （2）設(shè)中點(diǎn)為，中點(diǎn)為則，所以，、重合，從而，從而，又的面積等于面積的，所以，從而.11、解：（）設(shè)則又故在區(qū)間上是增函數(shù)。（）證：，而均值不等式與柯西不等式中，等號(hào)不能同時(shí)成立，二 試一、證明：延長(zhǎng)交于，則和分別是與的截線，由梅涅勞斯定理得： P都是的旁切圓，HGO2O1A于是由、得：FEDCB =又 =而三點(diǎn)共線，且 二、證明：原不等式可變形為即 由柯西不等式以及可得 即 同理 上面三式相加并利用得三、解：對(duì)任意，若，則，設(shè)則讓a跑遍區(qū)間）中的所有整數(shù)，則于是下面計(jì)算畫一張的表，第行中，凡是行中的位數(shù)處填寫“*”號(hào)，則這行的“*”號(hào)共個(gè)，全表的“*”號(hào)共個(gè)；另一方面，按列收集“*”號(hào)數(shù)，第列中，若有個(gè)正因數(shù)，則該列使有個(gè)“*”號(hào)，故全表的“*”號(hào)個(gè)數(shù)共個(gè)，因此示例如下：1234561*2*3*4*56*則由此， 記易得的取值情況如下：123456789101112131415356678698881071010因此，據(jù)定義，又當(dāng)，則從則四、解：設(shè)各人上場(chǎng)時(shí)間分別為 (為正整數(shù))得方程 令得方程.即求此方程滿足的整數(shù)解即相應(yīng)的 的解只有1種，的解有種，的解有種；的解有種， 的解有種，的解有種 共有種。18