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1、高考數學精品復習資料 2019.5第7講導數的應用問題函數的單調性、極值、最值問題例8已知函數f(x)(xR),其中aR.(1)當a1時,求曲線yf(x)在點(2,f(2)處的切線方程;(2)當a0時,求函數f(x)的單調區(qū)間與極值審題破題(1)直接求f(x),得f(2)后寫出切線方程;(2)求導函數f(x)后要對a進行討論,可以列表觀察函數f(x)的單調性,極值解(1)當a1時,f(x),f(2),又f(x),f(2).所以,曲線yf(x)在點(2,f(2)處的切線方程為y(x2),即6x25y320.(2)f(x).由于a0,以下分兩種情況討論當a0,令f(x)0,得到x1,x2a.當x變
2、化時,f(x)和f(x)的變化情況如下表:x(,)(,a)a(a,)f(x)00f(x)極小值極大值所以f(x)在區(qū)間,(a,)內為減函數,在區(qū)間內為增函數函數f(x)在x1處取得極小值f,且fa2.函數f(x)在x2a處取得極大值f(a),且f(a)1.當a0時,令f(x)0,得到x1a,x2,當x變化時,f(x)和f(x)的變化情況如下表:x(,a)a(a,)(,)f(x)00f(x)極大值極小值所以f(x)在區(qū)間(,a),內為增函數,在區(qū)間內為減函數函數f(x)在x1a處取得極大值f(a),且f(a)1.函數f(x)在x2處取得極小值f(),且fa2.綜上,當a0時,函數f(x)的單調遞
3、增區(qū)間為(,a),單調遞減區(qū)間為(,),(a,),極大值為1,極小值為a2.當a0f(x)1 (x0)根據題意,有f(1)2,所以2a2a30,解得a1或a.(2)解f(x)1 (x0)當a0時,因為x0,由f(x)0得(xa)(x2a)0,解得xa;由f(x)0得(xa)(x2a)0,解得0xa.所以函數f(x)在(a,)上單調遞增,在(0,a)上單調遞減當a0,由f(x)0得(xa)(x2a)0,解得x2a;由f(x)0得(xa)(x2a)0,解得0x0,使得|g(x)g(x0)|0成立?若存在,求出x0的取值范圍;若不存在,請說明理由審題破題(1)先求出f(x),再求g(x),然后討論g
4、(x)的單調區(qū)間,最值;(2)可構造函數h(x)g(x)g,通過h(x)的單調性比較g(x),g的大??;(3)對任意x0若不存在x0,只需取一特殊值即可;若存在x0,一般利用最值解決解(1)由題設易知f(x)lnx,g(x)lnx,所以g(x),令g(x)0,得x1,當x(0,1)時,g(x)0.故(1,)是g(x)的單調增區(qū)間,因此,x1是g(x)的唯一極值點,且為極小值點,從而是最小值點,所以最小值為g(1)1.(2)glnxx,設h(x)g(x)g2lnxx,則h(x),當x1時,h(1)0,即g(x)g,當x(0,1)(1,)時,h(x)0,h(1)0,因此,h(x)在(0,)內單調遞
5、減,當0xh(1)0,即g(x)g,當x1時,h(x)h(1)0,即g(x)0,使|g(x)g(x0)|0成立,即對任意x0,有l(wèi)nxg(x0)0,使|g(x)g(x0)|0成立構建答題模板第一步:構造函數h(x)g(x)g();第二步:根據求單調性、極值的步驟探求函數h(x)的單調性;第三步:根據h(x)的單調性比較h(x)和0的大小;第四步:下結論,反思回顧.對點訓練9已知函數f(x)ax2bxclnx.(1)當ab時,若函數f(x)在定義域上是單調函數,求實數a的取值范圍;(2)設函數f(x)在x,x1處取得極值,且f(1)1,若對任意的x,f(x)m恒成立,求m的取值范圍(參考數據:e
6、2.7)解(1)ab時,f(x)ax2axclnx,f(x)2axa (x0)當a0時,f(x)0,此時f(x)在(0,)上單調遞增;當a0時,x0,2ax2ax10,f(x)0,f(x)在(0,)上單調遞增;當a0,故在(0,)上,函數g(x)的符號不確定,即此時f(x)的符號不確定,函數f(x)在(0,)上不單調綜上可知,a的取值范圍是0,)(2)f(x)在x,x1處取得極值,f(1)f0,即解得即f(x),且f(x)x23xclnx.又f(1)1,13c1,得c1,f(x)x23x1lnx.當x時,f(x)0,函數f(x)在上單調遞增;當x時,f(x)0,函數f(x)在(1,2上單調遞增f(x)極大值f1lnln2,而f(2)1ln2,f(2)fln4ln4lne,由于4ee,故f(2)f,f(x)max1ln 2,m1ln 2.