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1、高考數(shù)學精品復習資料2019.5概率與統(tǒng)計概率與統(tǒng)計熱點一常見概率模型的概率幾何概型、古典概型、相互獨立事件與互斥事件的概率、條件概率是高考的熱點，幾何概型主要以客觀題考查，求解的關鍵在于找準測度(面積，體積或長度)；相互獨立事件，互斥事件常作為解答題的一問考查，也是進一步求分布列，期望與方差的基礎，求解該類問題要正確理解題意，準確判定概率模型，恰當選擇概率公式.【例 1】現(xiàn)有 4 個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇.為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數(shù)為 1 或 2 的人去參加甲游戲，擲出點數(shù)大于 2 的人去參加乙游戲.(

2、1)求這 4 個人中恰有 2 人去參加甲游戲的概率；(2)求這 4 個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；(3)用 X，Y 分別表示這 4 個人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記|XY|，求隨機變量的分布列.解依題意，這 4 個人中，每個人去參加甲游戲的概率為13，去參加乙游戲的概率為23.設“這 4 個人中恰有 i 人去參加甲游戲”為事件 Ai(i0，1，2，3，4).則 P(Ai)Ci413i234i.(1)這 4 個人中恰有 2 人去參加甲游戲的概率P(A2)C24132232827.(2)設“這 4 個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件 B，則BA3A4，且

3、 A3與 A4互斥，P(B)P(A3A4)P(A3)P(A4)C3413323C4413419.(3)依題設，的所有可能取值為 0，2，4.且 A1與 A3互斥，A0與 A4互斥.則 P(0)P(A2)827，P(2)P(A1A3)P(A1)P(A3)C14131233C34133234081，P(4)P(A0A4)P(A0)P(A4)C04234C441341781.所以的分布列是024P82740811781【類題通法】 (1)本題 4 個人中參加甲游戲的人數(shù)服從二項分布， 由獨立重復試驗，4 人中恰有 i 人參加甲游戲的概率 PCi413i234i，這是本題求解的關鍵.(2)解題中常見的

4、錯誤是不能分清事件間的關系，選錯概率模型，特別是在第(3)問中，不能把0，2，4 的事件轉化為相應的互斥事件 Ai的概率和.【對點訓練】甲、乙兩班進行消防安全知識競賽，每班出 3 人組成甲乙兩支代表隊，首輪比賽每人一道必答題，答對則為本隊得 1 分，答錯或不答都得 0 分，已知甲隊 3 人每人答對的概率分別為34，23，12，乙隊每人答對的概率都是23，設每人回答正確與否相互之間沒有影響，用表示甲隊總得分.(1)求2 的概率；(2)求在甲隊和乙隊得分之和為 4 的條件下，甲隊比乙隊得分高的概率.解(1)2，則甲隊有兩人答對，一人答錯，故 P(2)3423112 34123 12134 2312

5、1124；(2)設甲隊和乙隊得分之和為 4 為事件 A，甲隊比乙隊得分高為事件 B.設乙隊得分為，則B3，23 .P(1)34123 112 134 23112 134 123 1214，P(3)34231214，P(1)C132313229，P(2)C232321349，P(3)C33233827，P(A)P(1)P(3)P(2)P(2)P(3)P(1)14827112449142913，P(AB)P(3)P(1)1429118，所求概率為 P(B|A)P（AB）P（A）1181316.熱點二離散型隨機變量的分布列、均值與方差離散型隨機變量及其分布列、均值與方差及應用是數(shù)學高考的一大熱點，每

6、年均有解答題的考查，屬于中檔題.復習中應強化應用題目的理解與掌握，弄清隨機變量的所有取值是正確列隨機變量分布列和求均值與方差的關鍵，對概率模型的確定與轉化是解題的基礎，準確計算是解題的核心，在備考中強化解答題的規(guī)范性訓練.【例 2】甲乙兩人進行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完 5 局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局數(shù)多者贏得比賽.假設每局甲獲勝的概率為23，乙獲勝的概率為13，各局比賽結果相互獨立.(1)求甲在 4 局以內(nèi)(含 4 局)贏得比賽的概率；(2)記 X 為比賽決出勝負時的總局數(shù)，求 X 的分布列和均值(數(shù)學期望).解用 A 表示“甲在 4 局以內(nèi)(含 4 局)贏得比賽”，A

7、k表示“第 k 局甲獲勝”，Bk表示“第 k 局乙獲勝”，則 P(Ak)23，P(Bk)13，k1，2，3，4，5.(1)P(A)P(A1A2)P(B1A2A3)P(A1B2A3A4)P(A1)P(A2)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)2321323223132325681.(2)X 的可能取值為 2，3，4，5.P(X2)P(A1A2)P(B1B2)P(A1)P(A2)P(B1)P(B2)59，P(X3)P(B1A2A3)P(A1B2B3)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(B3)29，P(X4)P(A1B2A3A4)P(B1A2B3B

8、4)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)1081，P(X5)1P(X2)P(X3)P(X4)881.故 X 的分布列為X2345P59291081881E(X)25932941081588122481.【類題通法】求離散型隨機變量的均值和方差問題的一般步驟第一步：確定隨機變量的所有可能值；第二步：求每一個可能值所對應的概率；第三步：列出離散型隨機變量的分布列；第四步：求均值和方差；第五步：反思回顧.查看關鍵點、易錯點和答題規(guī)范.【對點訓練】為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對 1 000 位顧客進行獎勵， 規(guī)定： 每位顧客從一個裝有 4 個標有面

9、值的球的袋中一次性隨機摸出 2 個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.(1)若袋中所裝的 4 個球中有 1 個所標的面值為 50 元，其余 3 個均為 10 元.求：顧客所獲的獎勵額為 60 元的概率；顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學期望；(2)商場對獎勵總額的預算是 60 000 元，并規(guī)定袋中的 4 個球只能由標有面值 10元和 50 元的兩種球組成，或標有面值 20 元和 40 元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的 4 個球的面值給出一個合適的設計，并說明理由.解(1)設顧客所獲的獎勵額為 X.依題意，得 P(X60

10、)C11C13C2412，即顧客所獲的獎勵額為 60 元的概率為12.依題意，得 X 的所有可能取值為 20，60.P(X60)12，P(X20)C23C2412，即 X 的分布列為X2060P1212所以顧客所獲的獎勵額的數(shù)學期望為 E(X)2012601240(元).(2)根據(jù)商場的預算，每個顧客的平均獎勵額為 60 元.所以，先尋找期望為 60 元的可能方案.對于面值由 10 元和 50 元組成的情況，如果選擇(10，10，10，50)的方案，因為 60 元是面值之和的最大值，所以期望不可能為 60 元；如果選擇(50，50，50，10)的方案，因為 60 元是面值之和的最小值，所以期望

11、也不可能為 60 元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，記為方案 1.對于面值由 20 元和 40 元組成的情況，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，記為方案 2.以下是對兩個方案的分析：對于方案 1，即方案(10，10，50，50)，設顧客所獲的獎勵額為 X1，則 X1的分布列為X12060100P162316X1的數(shù)學期望為 E(X1)201660231001660(元)，X1的方差為 D(X1)(2060)216(6060)223(10060)2161 6003.對于方案 2，即方案(20，20，

12、40，40)，設顧客所獲的獎勵額為 X2，則 X2的分布列為X2406080P162316X2的數(shù)學期望為 E(X2)40166023801660(元)，X2的方差為 D(X2)(4060)216(6060)223(8060)2164003.由于兩種方案的獎勵額的數(shù)學期望都符合要求，但方案 2 獎勵額的方差比方案 1的小，所以應該選擇方案 2.熱點三概率與統(tǒng)計的綜合應用概率與統(tǒng)計作為考查考生應用意識的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點和熱點.主要依托點是統(tǒng)計圖表， 正確認識和使用這些圖表是解決問題的關鍵.復習時要在這些圖表上下工夫，把這些統(tǒng)計圖表的含義弄清楚，在此基礎上掌握好樣本特征數(shù)的計數(shù)

13、方法、各類概率的計算方法及數(shù)學均值與方差的運算.【例 3】6 月 14 日至 7 月 15 日，第 21 屆世界杯足球賽將于俄羅斯舉行，某大學為世界杯組委會招收志愿者，被招收的志愿者需參加筆試和面試，把參加筆試的40 名大學生的成績分組：第 1 組75，80)，第 2 組80，85)，第 3 組85，90)，第4 組90，95)，第 5 組95，100，得到的頻率分布直方圖如圖所示：(1)分別求出成績在第 3，4，5 組的人數(shù)；(2)現(xiàn)決定在筆試成績較高的第 3，4，5 組中用分層抽樣抽取 6 人進行面試.已知甲和乙的成績均在第 3 組，求甲或乙進入面試的概率；若從這 6 名學生中隨機抽取 2

14、 名學生接受考官 D 的面試， 設第 4 組中有 X 名學生被考官 D 面試，求 X 的分布列和數(shù)學期望.解(1)由頻率分布直方圖知：第 3 組的人數(shù)為 50.064012.第 4 組的人數(shù)為 50.04408.第 5 組的人數(shù)為 50.02404.(2)利用分層抽樣，在第 3 組，第 4 組，第 5 組中分別抽取 3 人，2 人，1 人.設“甲或乙進入第二輪面試”為事件 A，則P(A)1C310C312511，所以甲或乙進入第二輪面試的概率為511.X 的所有可能取值為 0，1，2，P(X0)C24C2625，P(X1)C12C14C26815，P(X2)C22C26115.所以 X 的分布

15、列為X012P25815115E(X)02518152115101523.【類題通法】本題將傳統(tǒng)的頻率分布直方圖與分布列、數(shù)學期望相結合，立意新穎、構思巧妙.求解離散型隨機變量的期望與頻率分布直方圖交匯題的“兩步曲”：一是看圖說話，即看懂頻率分布直方圖中每一個小矩形面積表示這一組的頻率；二是活用公式，本題中 X 服從超幾何分布.【對點訓練】某公司為了解用戶對某產(chǎn)品的滿意度，從 A，B 兩地區(qū)分別隨機調查了 20 個用戶，得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下：A 地區(qū)：6273819295857464537678869566977888827689B 地區(qū)：7383625191465373648293

16、486581745654766579(1)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值，給出結論即可)；(2)根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個等級：滿意度評分低于 70 分70 分到 89 分不低于 90 分滿意度等級不滿意滿意非常滿意記事件 C： “A 地區(qū)用戶的滿意度等級高于 B 地區(qū)用戶的滿意度等級”.假設兩地區(qū)用戶的評價結果相互獨立.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率，求 C 的概率.解(1)兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖如下通過莖葉圖可以看出，A 地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于

17、B 地區(qū)用戶滿意度評分的平均值；A 地區(qū)用戶滿意度評分比較集中，B 地區(qū)用戶滿意度評分比較分散.(2)記 CA1表示事件：“A 地區(qū)用戶的滿意度等級為滿意或非常滿意”；CA2表示事件：“A 地區(qū)用戶的滿意度等級為非常滿意”；CB1表示事件：“B 地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”；CB2表示事件：“B 地區(qū)用戶的滿意度等級為滿意”，則 CA1與 CB1獨立，CA2與 CB2獨立，CB1與 CB2互斥，CCB1CA1CB2CA2.P(C)P(CB1CA1CB2CA2)P(CB1CA1)P(CB2CA2)P(CB1)P(CA1)P(CB2)P(CA2).由所給數(shù)據(jù)得 CA1，CA2，CB1，CB2發(fā)生

18、的頻率分別為1620，420，1020，820，即 P(CA1)1620，P(CA2)420，P(CB1)1020，P(CB2)820，故 P(C)102016208204200.48.熱點四統(tǒng)計與統(tǒng)計案例能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式求線性回歸方程，了解獨立性檢驗的基本思想、 方法， 在選擇或填空題中常涉及頻率分布直方圖、 莖葉圖及樣本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、方差)的考查，解答題中也有所考查.【例 4】從某居民區(qū)隨機抽取 10 個家庭，獲得第 i 個家庭的月收入 xi(單位：千元)與月儲蓄 yi(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，算得 10i1xi80，10i1yi20，10i1xiyi184，10i

19、1x2i720.(1)求家庭的月儲蓄 y 對月收入 x 的線性回歸方程ybxa；(2)判斷變量 x 與 y 之間是正相關還是負相關；(3)若該居民區(qū)某家庭月收入為 7 千元，預測該家庭的月儲蓄.附：線性回歸方程ybxa中，b，aybx，其中x，y為樣本平均值.解(1)由題意知 n10，x1nni1xi80108，y1nni1yi20102，又lxxni1x2inx2720108280，lxyni1xiyinx y184108224，由此得blxylxx24800.3，aybx20.380.4，故所求線性回歸方程為y0.3x0.4.(2)由于變量 y 的值隨 x 值的增加而增加(b0.30)，故

20、 x 與 y 之間是正相關.(3)將 x7 代入回歸方程可以預測該家庭的月儲蓄為y0.370.41.7(千元).【類題通法】(1)分析兩個變量的線性相關性，可通過計算相關系數(shù) r 來確定，r的絕對值越接近于 1，表明兩個變量的線性相關性越強，r 的絕對值越接近于 0，表明兩變量線性相關性越弱.(2)求線性回歸方程的關鍵是正確運用b，a的公式進行準確的計算.【對點訓練】4 月 23 日是“世界讀書日”，某中學在此期間開展了一系列的讀書教育活動.為了解本校學生課外閱讀情況，學校隨機抽取了 100 名學生對其課外閱讀時間進行調查.下面是根據(jù)調查結果繪制的學生日均課外閱讀時間(單位：分鐘)的頻率分布直

21、方圖.若將日均課外閱讀時間不低于60分鐘的學生稱為“讀書迷”，低于 60 分鐘的學生稱為“非讀書迷”.(1)根據(jù)已知條件完成下面 22 列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有 99%的把握認為“讀書迷”與性別有關？非讀書迷讀書迷總計男15女45總計(2)將頻率視為概率.現(xiàn)在從該校大量學生中，用隨機抽樣的方法每次抽取 1 人，共抽取 3 次，記被抽取的 3 人中的“讀書迷”的人數(shù)為 X.若每次抽取的結果是相互獨立的，求 X 的分布列、期望 E(X)和方差 D(X).解(1)完成 22 列聯(lián)表如下：非讀書迷讀書迷總計男401555女202545總計6040100K2100（40251520）2604055458.2496.635，故有 99%的把握認為“讀書迷”與性別有關.(2)將頻率視為概率.則從該校學生中任意抽取 1 名學生恰為讀書迷的概率 P25.由題意可知 XB3，25 ，P(Xi)Ci325i353i(i0，1，2，3).X 的分布列為X0123P2712554125361258125均值 E(X)np32565，方差 D(X)np(1p)325125 1825.