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1、 人教版高中數(shù)學必修精品教學資料 課時提升作業(yè)(二十八) 直線與圓的方程的應(yīng)用 (25分鐘　60分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.圓x2+y2-4x+2y+c=0,與直線3x-4y=0相交于A,B兩點,圓心為P,若∠APB=90°,則c的值為　(　　) A.8　　　　 B.23　　　　 C.-3　　　　 D.3 【解析】選C.由題意得C<5,圓心P(2,-1),r=5-c,圓心到直線的距離d=3×2+1×432+42=2,由于∠APB=90°,所以r=2d=22,從而5-c=22,c=-3. 【補償訓練】若P(2,-1

2、)為圓(x-1)2+y2=25的弦AB的中點,則直線AB的方程是　 (　　) A.x-y-3=0 B.2x+y-3=0 C.x+y-1=0 D.2x-y-5=0 【解析】選A.已知圓心為O(1,0),根據(jù)題意: 又kAB·kOP=-1,所以kAB=1,故直線AB的方程是x-y-3=0. 2.如果實數(shù)x,y滿足等式(x-1)2+y2=34,那么yx的最大值是　(　　) A.12 B.33 C.32 D.3 【解析】選D.yx的幾何意義是圓上的點P(x,y)與原點連線的斜率,結(jié)合圖形得,斜率的最大值為3,所以yxmax=3. 3.臺風中心

3、從A地以20千米/時的速度向東北方向移動,離臺風中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū)域,城市B在A的正東40千米處,B城市處在危險區(qū)域的時間為　 (　　) A.0.5小時 B.1小時 C.3.6小時 D.4.5小時 【解析】選B.受影響的區(qū)域長度=2302-(202)2=20千米,故影響時間是1小時. 4.點P(x0,y0)在圓x2+y2=r2內(nèi),則直線x0x+y0y=r2和已知圓的公共點個數(shù)為　 (　　) A.0 B.1 C.2 D.無法確定 【解析】選A.因為x02+y02<r2,圓心到直線x0x+y0y=r2的距離d=-r2x02+y02>

4、;r,故直線與圓相離. 【延伸探究】若將本題改為“點P(x0,y0)在圓x2+y2=r2外”,其余條件不變,又如何求解? 【解析】選C.因為x02+y02>r2,圓心到直線x0x+y0y=r2的距離d =-r2x02+y02< r,故直線與圓相交,所以公共點的個數(shù)為兩個. 5.已知集合M={(x,y)|y=9-x2,y≠0},n={(x,y)|y=x+b},若M∩N≠,則實數(shù)b的取值范圍是(　　) A.[-32,32] B.[-3,3] C.(-3,32] D.[-32,3) 【解題指南】解得本題的關(guān)鍵是注意到y(tǒng)=9-x2,即x2+y2=9(y>

5、0),圖形是半圓. 【解析】選C.由于M∩N≠,說明直線y=x+b與半圓x2+y2=9(y>0)相交,畫圖探索可知-3<b≤32. 【方法技巧】數(shù)形結(jié)合在求解直線與圓交點個數(shù)中的應(yīng)用 直線與圓的一部分有交點時,如果采用代數(shù)法去研究,則消元以后轉(zhuǎn)化成了給定區(qū)間的二次方程根的分布問題,求解過程相對復雜,而如果采用數(shù)形結(jié)合及直線與圓的幾何法求解,先找出邊界,然后結(jié)合直線或圓的變化特征求解,相對來說就簡單多了. 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.過點A(11,2)作圓x2+y2+2x-4y-164=0的弦,其中弦長為整數(shù)的共有　　　　 條. 【解析】方程化為(x+1)2

6、+(y-2)2=132,圓心為(-1,2),到點A(11,2)的距離為12,最短弦長為10,最長弦長為26,所以所求弦長為整數(shù)的條數(shù)為2+2×(25-11+1)=32. 答案:32 【補償訓練】過直線x+y-22=0上點P作圓x2+y2=1的兩條切線,若兩條切線的夾角是60°,則點P的坐標是　　　　. 【解析】設(shè)P(x,y),則由已知可得PO(O為原點)與切線的夾角為30°,則|PO|=2, 由x2+y2=4,x+y=22,可得x=2,y=2. 答案:(2,2) 7.設(shè)村莊外圍所在曲線的方程可用(x-2)2+(y+3)2=4表示,村外一小路方程可用x-

7、y+2=0表示,則從村莊外圍到小路的最短距離為　　　　. 【解析】因為圓心到直線的距離為722,從村莊外圍到小路的最短距離為722-2. 答案:722-2 【補償訓練】(2015·保定高一檢測)已知實數(shù)x,y滿足2x+y+5=0,那么x2+y2的最小值為　(　　) A.5 B.10 C.25 D.210 【解析】選A.x2+y2表示點(x,y)與原點的距離,所以其最小值為原點到2x+y+5=0的距離,故d=522+12=5. 8.已知x+y+1=0,那么(x+2)2+(y+3)2的最小值是　　　　. 【解析】(x+2)2+(y+3)2表示點(x,y)與

8、點(-2,-3)之間的距離,又點(x,y)在直線x+y+1=0上,故最小值為點(-2,-3)到直線x+y+1=0的距離,即d=-2-3+12=22. 答案:22 三、解答題(每小題10分,共20分) 9.等邊△ABC中,點D,E分別在邊BC,AC上且BD=13BC,CE=13CA,AD,BE相交于點P.求證:AP⊥CP. 【解題指南】要證AP⊥CP,可轉(zhuǎn)化為直線AP,CP的斜率之積等于-1即可,由此以B為原點,BC邊所在直線為x軸,線段BC長的16為單位長,建立平面直角坐標系. 【證明】以B為原點,BC邊所在直線為x軸,線段BC長的16為單位長,建立平面直角坐標系. 則A(3,33

9、),B(0,0),C(6,0).由已知,得D(2,0),E(5,3).直線AD的方程為y=33(x-2).直線BE的方程為y=35(x-5)+3.解以上兩方程聯(lián)立成的方程組,得x=157,y=337. 所以,點P的坐標是157,337.直線PC的斜率kPC=-39,因為kAP·kPC=33×-39=-1, 所以,AP⊥CP. 10.如圖所示是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖.這個圓的圓拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造時每間隔4m需要用一根支柱支撐,求支柱A2P2的高度(精確到0.01m). 【解析】建立如圖所示直角坐標系,使圓心在y軸上,只要求出P2的縱坐標,

10、就可得出支柱A2P2的高度. 設(shè)圓心的坐標是(0,b),圓的半徑是r,那么圓的方程是x2+(y-b)2=r2.因為P,B都在圓上,所以它們的坐標(0,4),(10,0)都滿足方程x2+(y-b)2=r2.于是得到方程組02+(4-b)2=r2,102+(0-b)2=r2,解得b=-10.5,r2=14.52,所以,圓的方程是x2+(y+10.5)2=14.52.把點P2的橫坐標x=-2代入圓的方程,得(-2)2+(y+10.5)2=14.52,即y+10.5=14.52-(-2)2(P2的縱坐標y>0,平方根取正值).所以y≈3.86,故支柱A2P2的高度約為3.86m. 【補償

11、訓練】設(shè)有半徑為3公里的圓形村落,A,B兩人同時從村落中心出發(fā),A向東而B向北前進,A離開村后不久,改變前進方向,斜著沿切于村落周界的方向前進,后來恰好與B相遇.設(shè)A,B兩人的速度都一定,其比為3∶1,問A,B兩人在何處相遇? 【解析】如圖所示, 以村落中心為坐標原點,以東西方向為x軸建立直角坐標系,又設(shè)A向東走到D轉(zhuǎn)向到C恰好與B相遇,設(shè)CD方程為xa+yb=1(a>3,b>3),設(shè)B的速度為v,則A的速度為3v,依題意有|ab|a2+b2=3,a2+b2+a3v=bv.解得a=5,b=154,所以B向北走3.75公里時相遇. (20分鐘　40分) 一、選擇題(每小題

12、5分,共10分) 1.直線2x-y=0與圓C:(x-2)2+(y+1)2=9交于A,B兩點,則△ABC(C為圓心)的面積等于　(　　) A.25　　　 B.23　　　 C.43　　　 D.45 【解析】選A.因為圓心到直線的距離d=4+15=5,所以|AB|=29-d2=4,所以 S△ABC=12×4×5=25. 【補償訓練】已知圓的方程為x2+y2-6x-8y=0.設(shè)該圓過點(3,5)的最長弦和最短弦分別為AC和BD,則四邊形ABCD的面積為　(　　) A.106 B.206 C.306 D.406 【解析】選B.圓心坐標是(3,4),半徑

13、是5,圓心到點(3,5)的距離為1,根據(jù)題意最短弦BD和最長弦(即圓的直徑)AC垂直,故最短弦的長為252-12=46,所以四邊形ABCD的面積為12×AC×BD=12×10×46=206. 2.如圖所示,已知直線l的解析式是y=43x-4,并且與x軸、y軸分別交于A,B兩點.一個半徑為1.5的圓C,圓心C從點(0,1.5)開始以每秒0.5個單位的速度沿著y軸向下運動,當圓C與直線l相切時,該圓運動的時間為　(　　) A.6s B.6s或16s C.16s D.8s或16s 【解析】選B.設(shè)運動的時間為ts,則ts后圓心的坐標

14、為(0,1.5-0.5t).因為圓C與直線l:y=43x-4相切,所以4×0-3(1.5-0.5t)-12(-3)2+42=1.5.解得t=6或16.即該圓運動的時間為6s或16s. 二、填空題(每小題5分,共10分) 3.若點P(x,y)滿足x2+y2=25,則x+y的最大值是　　　. 【解析】令x+y=z,則|z|2=5,所以z=±52, 即-52≤x+y≤52,所以x+y的最大值是52. 答案:52 【拓展延伸】數(shù)形結(jié)合思想在解題中的運用 利用數(shù)形結(jié)合求解問題時,關(guān)鍵是抓住“數(shù)”中的某些結(jié)構(gòu)特征,聯(lián)想到解析幾何中的某些方程、公式,從而挖掘出“數(shù)”的幾何意

15、義,實現(xiàn)“數(shù)”向“形”的轉(zhuǎn)化,如本題由x+y聯(lián)想直線的截距. 4.若點P在直線l1:x+y+3=0上,過點P的直線l2與曲線C:(x-5)2+y2=16相切于點M,則|PM|的最小值為　　　　. 【解析】曲線C:(x-5)2+y2=16是圓心為C(5,0),半徑為4的圓,連接CP,CM,則在△MPC中,CM⊥PM,則|PM|=|CP|2-|CM|2=|CP|2-16,當|PM|取最小值時,|CP|取最小值,又點P在直線l1上,則|CP|的最小值是點C到直線l1的距離,即|CP|的最小值為d=|5+3|1+1=42,則|PM|的最小值為(42)2-16=4. 答案:4 【補償訓練】圓(x

16、-2)2+(y+3)2=4上的點到x-y+3=0的最遠的距離為　　　　. 【解析】圓心C(2,-3)到直線的距離d=2+3+32=42>2,所以直線與圓相離.過圓心C作直線x-y+3=0的垂線,垂足設(shè)為H,則圓上的點A到直線的距離最遠為42+2. 答案:42+2 三、解答題(每小題10分,共20分) 5.已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=4和直線l:x+2y+2=0,直線n經(jīng)過圓C外定點A(1,0).若直線n與圓C相交于P,Q兩點,與l交于N點,且線段PQ的中點為M,求證:|AM|·|AN|為定值. 【解析】方法一:設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2), 又由題

17、意知直線與圓相交,斜率必定存在,且不為0,可設(shè)直線n的方程為kx-y-k=0, 由x+2y+2=0,kx-y-k=0得N2k-22k+1,-3k2k+1. 再由y=kx-k,(x-3)2+(y-4)2=4得 (1+k2)x2-(2k2+8k+6)x+k2+8k+21=0, 所以x1+x2=2k2+8k+61+k2得Mk2+4k+31+k2,4k2+2k1+k2. 所以|AM|·|AN|=k2+4k+31+k2-12+4k2+2k1+k22· 2k-22k+1-12+-3k2k+12 =2|2k+1|1+k21+k2·31+k2|2k+1|=6為定值.

18、 方法二:由題意知直線與圓相交,斜率必定存在,且不為0,可設(shè)直線n的方程為kx-y-k=0, 由x+2y+2=0,kx-y-k=0,得N2k-22k+1,-3k2k+1, 又直線CM與n垂直, 由y=kx-k,y-4=-1k(x-3)得Mk2+4k+31+k2,4k2+2k1+k2. 所以|AM|·|AN|=|yM-0|1+1k2·|yN-0|1+1k2=|yM·yN|k2+1k2 =4k2+2k1+k2·-3k2k+1k2+1k2=6,為定值. 6.已知圓C的方程為x2+(y-4)2=4,點O是坐標原點.直線l:y=kx與圓C交于M,N兩

19、點. (1)求k的取值范圍. (2)設(shè)Q(m,n)是線段MN上的點,且2|OQ|2=1|OM|2+1|ON|2.請將n表示為m的函數(shù). 【解題指南】(1)求解時要抓住直線與圓有兩個交點,所以在求解k的取值范圍時可以利用判別式進行求解.(2)利用2|OQ|2=1|OM|2+1|ON|2找到m,n的關(guān)系. 【解析】(1)將y=kx代入x2+(y-4)2=4中,得(1+k2)x2-8kx+12=0.(*) 由Δ=(-8k)2-4(1+k2)×12>0,得k2>3. 所以,k的取值范圍是(-∞,-3)∪(3,+∞). (2)因為M,N在直線l上,可設(shè)點M,N的坐標分

20、別為(x1,kx1),(x2,kx2),則|OM|2=(1+k2)x12,|ON|2=(1+k2)x22, 又|OQ|2=m2+n2=(1+k2)m2. 由2|OQ|2=1|OM|2+1|ON|2,得 2(1+k2)m2=1(1+k2)x12+1(1+k2)x22, 即2m2=1x12+1x22=(x1+x2)2-2x1x2x12x22. 由(*)式可知,x1+x2=8k1+k2,x1x2=121+k2, 所以m2=365k2-3. 因為點Q在直線y=kx上,所以k=nm,代入m2=365k2-3中并化簡,得5n2-3m2=36. 由m2=365k2-3及k2>3,可知0<m2<3, 即m∈(-3,0)∪(0,3). 根據(jù)題意,點Q在圓C內(nèi),則n>0, 所以n=36+3m25=15m2+1805. 于是,n與m的函數(shù)關(guān)系為n=15m2+1805(m∈(-3,0)∪(0,3)). 關(guān)閉Word文檔返回原板塊