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1、人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料33.2簡單的線性規(guī)劃問題基礎(chǔ)梳理1線性約束條件：_.2線性目標(biāo)函數(shù)：_.3線性規(guī)劃問題：_.4可行解：_.5可行域：_.6最優(yōu)解：_.已 知 實(shí) 數(shù)x,y滿 足x0，y1，2x2y10，求 2xy的 最 大 值 , 這 個(gè) 問 題 就 是_其中實(shí)數(shù)x,y滿足的不等式組x0，y1，2x2y10是_,z2xy是_滿足不等式組的解(x,y)叫_,如12，1是一組可行解,由所有可行解組成的集合即不等式組所表示的平面區(qū)域(如上圖陰影部分)是_ 易知,當(dāng)x12,y1 時(shí),目標(biāo)函數(shù)z2xy取最大值 2,故12，1是這個(gè)規(guī)劃問題的_7利用代數(shù)式的幾何意義yx表示點(diǎn)P(x,y)與

2、_連線的斜率.y2x1表示點(diǎn)P(x,y)與點(diǎn)_連線的斜率x2y2表示點(diǎn)P(x,y)到_的距離（x1）2（y2）2表示點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)_的距離8直線y2x1 的斜率為_,在y軸上的截距為_9直線ykxb與ymxn平行的條件是_10兩直線y2x1 與yx的交點(diǎn)坐標(biāo)是_基礎(chǔ)梳理1由關(guān)于 x,y 的一次不等式形成的約束條件2由關(guān)于兩個(gè)變量 x,y 一次式形成的函數(shù)3在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題4滿足線性約束條件的解(x,y)叫可行解5由所有可行解組成的集合叫可行域6使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解線性規(guī)劃問題線性約束條件線性目標(biāo)函數(shù)可行解可行域最優(yōu)解7原

3、點(diǎn)(1,2)原點(diǎn)(1,2)8219.km,bn10.(1,1)自測自評1目標(biāo)函數(shù)z3xy,將其看成直線方程時(shí),z的幾何意義是()A該直線的截距B該直線的縱截距C該直線的縱截距的相反數(shù)D該直線的橫截距2(2014福建卷)若變量x,y滿足約束條件xy10，x2y80，x0，則z3xy的最小值為_3(2013陜西卷)若點(diǎn)(x,y)位于曲線y|x1|與y2 所圍成的封閉區(qū)域,則 2xy的最小值為_自測自評1解析：由 z3xy 變形得 y3xz.故選C.答案：C2解析：作出可行域,通過目標(biāo)函數(shù)線的平移求出最優(yōu)解由題意,作出約束條件組成的可行域如圖所示,當(dāng)目標(biāo)函數(shù) z3xy,即 y3xz 過點(diǎn)(0,1)時(shí)

4、 z 取最小值為 1.答案：13解析：如圖,陰影部分為封閉區(qū)域,作直線 2xy0,并向左上平移,過點(diǎn) A 時(shí),2xy最小,由y2，y|x1|（x1） ，得 A(1,2)(2xy)min2(1)24.答案：4基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1 (2014廣東卷)若變量 x,y 滿足約束條件yx，xy1y1，,且 z2xy 的最大值和最小值分別為 M 和 m,則 Mm()A8B7C6D51解析：作出不等式組yx，xy1，y1所表示的可行域如下圖中的陰影部分所表示,直線 y1 交直線 xy1 于點(diǎn) A(2,1),交直線 yx 于點(diǎn) B(1,1),作直線 l：z2xy,則 z 為直線 l 在 y 軸上的截距,當(dāng)直線 l 經(jīng)過

5、可行域上的點(diǎn) A 時(shí),直線 l 在 y 軸上的截距最大,此時(shí) z 取最大值 M,即 M22(1)3；當(dāng)直線 l 經(jīng)過可行域上的點(diǎn) B 時(shí),此時(shí)直線 l 在 y 軸上的截距最小,此時(shí) z 取最小值 m,即 m2(1)(1)3.因此,Mm3(3)6,故選C.答案：C2 已知實(shí)數(shù) x,y 滿足x4y30，3x5y250，x1，設(shè) z2xy.取點(diǎn)(3,2)可求得 z8,取點(diǎn)(5,2)可求得 zmax12,取點(diǎn)(1,1)可求得 zmin3,取點(diǎn)(0,0)可求得 z0.則點(diǎn)(3,2)叫做_解,點(diǎn)(0,0)叫做_解,點(diǎn)(5,2)和點(diǎn)(1,1)叫做_解2解析：點(diǎn)(3,2)在可行域內(nèi),所以點(diǎn)(3,2)叫做可行解

6、；點(diǎn)(0,0)不在可行域內(nèi),所以點(diǎn)(0,0)叫做非可行解；z2xy 在點(diǎn)(5,2)和點(diǎn)(1,1)處取得最值,所以叫做最優(yōu)解答案：可行非可行最優(yōu)3已知非負(fù)實(shí)數(shù) x、y 同時(shí)滿足 2xy40,xy10,則目標(biāo)函數(shù) zx2(y2)2的最小值是()A4B5C6D73解析：不等式組2xy40，xy10(x,y0)表示的平面區(qū)域如下圖所示：又 x2（y2）2表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn) B(0,2)的距離,當(dāng)點(diǎn)(x,y)在點(diǎn) A(1,0)處時(shí),( x2（y2）2)min 5,zx2(y2)2的最小值為 5.答案：B4(2014湖南卷)若變量 x,y 滿足約束條件yx，xy4，yk，且 z2xy 的最小值為6,則 k

7、_4解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域,結(jié)合線性目標(biāo)函數(shù)的最值求 k.作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示,z2xy,則 y2xz.易知當(dāng)直線 y2xz 過點(diǎn) A(k,k)時(shí),z2xy 取得最小值,即 3k6,所以 k2.答案：25在條件0 x2，0y2，xy1，下,z(x1)2(y1)2的取值范圍是_5解析：不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖所示：z 表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn) P(x,y)到點(diǎn) A(1,1)距離的平方,又|PA|min就是點(diǎn) A 到直線 xy1 的距離22,|PA|max就是點(diǎn) A 到點(diǎn)(2,0)的距離 2,12z2,即 z 的取值范圍是12，2.答案：12，26已知實(shí)數(shù) x,y

8、滿足x2y50，x2y30，x1，y0，則yx的最大值為_6解析：畫出不等式組x2y50，x2y30 x1，y0，對應(yīng)的平面區(qū)域,如圖所示yxy0 x0表示平面區(qū)域上的點(diǎn) P(x,y)與原點(diǎn)的連線的斜率A(1,2),B(3,0),0yx2.答案：2鞏固提高7若0 x1，0y2，2yx1，則 z2y2x4 的最小值為()A2B3C4D57 解析： 作出可行域,當(dāng)直線 z2y2x4 過可行域上點(diǎn) B 時(shí),直線在 y 軸上的截距最小,z 最小,又點(diǎn) B(1,1),zmin212144.答案：C8將大小不同的兩種鋼板截成 A、B 兩種規(guī)格的成品,每張鋼板可同時(shí)截得這兩種規(guī)格的成品的塊數(shù)如下表所示 若現(xiàn)

9、在需要 A、 B 兩種規(guī)格的成品分別為 12 塊和 10 塊,則至少需要這兩種鋼板共_張.規(guī)格類型鋼板類型A 規(guī)格B 規(guī)格第一種鋼板21第二種鋼板138解析：設(shè)這兩種鋼板分別需要 x,y 張,依題意有：2xy12，x3y10且 x,yN,可行域如下圖所示：目標(biāo)函數(shù)zxy,由2xy12，x3y10 x265，y85，x、yN,當(dāng)x5,y2 時(shí),zmin7,即當(dāng)直線xyz過點(diǎn)(5,2)時(shí),z取最小值 7.答案：79實(shí)數(shù) x、y 滿足不等式組：y0，xy0，2xy20，則 ky3x1的取值范圍為_9解析：不等式所表示的平面區(qū)域如下圖所示k表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)M(1,3)連線的斜率由下圖可知：kMOkk

10、MA,又kMO3,kMA13,3k13.故k的取值范圍是3，13 .答案：3，1310某工廠有甲、乙兩種產(chǎn)品,計(jì)劃每天各生產(chǎn)量不少于 15 噸已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品 1 噸需煤 9 噸,電力 4 千瓦時(shí),勞力 3 個(gè)；生產(chǎn)乙產(chǎn)品 1 噸需煤 4 噸,電力 5 千瓦時(shí),勞力 10 個(gè)甲產(chǎn)品每 1 噸利潤 7 萬元,乙產(chǎn)品每 1 噸利潤 12 萬元,但每天用煤不超過 300 噸,電力不超過200 千瓦時(shí),勞力只有 300 個(gè)問每天各生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品多少,能使利潤總額達(dá)到最大？10分析：將已知數(shù)據(jù)列成表,如下表所示.產(chǎn)品消耗量資源甲產(chǎn)品乙產(chǎn)品資源限額煤/噸94300電力/千瓦時(shí)45200勞力/個(gè)31030

11、0利潤/萬元712設(shè)出未知量,根據(jù)資源限額建立約束條件,由利潤建立目標(biāo)函數(shù)解析：設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為x噸、y噸,利潤總額為z萬元,那么9x4y300，4x5y200，3x10y300，x15，y15.z7x12y.作出以上不等式組的可行域,如下圖所示目標(biāo)函數(shù)為z7x12y,變?yōu)閥712xz12,得到斜率為712,在y軸上截距為z12,且隨z變化的一簇平行直線由圖可以得到,當(dāng)直線經(jīng)過可行域上點(diǎn)A時(shí),截距z12最大,z最大解方程組4x5y200，3x10y300得點(diǎn)A坐標(biāo)為(20,24)所以zmax7201224428(萬元)故生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為 20 噸,24 噸時(shí),利潤最大,最大值為 428 萬元解簡單線性規(guī)劃問題的基本步驟：1畫圖畫出線性約束條件所表示的平面區(qū)域,即可行域2定線令 z0,得一過原點(diǎn)的直線3 平移 在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線中,利用平移的方法找出與可行域有公共點(diǎn)且縱截距最大或最小的直線4求最優(yōu)解通過解方程組求出最優(yōu)解5求最值求出線性目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值