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1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.520xx高中數(shù)學(xué)精講精練 第四章 平面向量與復(fù)數(shù)【知識(shí)圖解】.平面向量知識(shí)結(jié)構(gòu)表向量的加、減法向量的概念向量向量的運(yùn)算兩個(gè)向量垂直的充要條件件件兩個(gè)向量平行的充要條件件件向量的數(shù)量積實(shí)數(shù)與向量的積向量的運(yùn)用.復(fù)數(shù)的知識(shí)結(jié)構(gòu)表數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的運(yùn)算數(shù)系的擴(kuò)充 【方法點(diǎn)撥】由于向量融形、數(shù)于一體，具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”，使它成為了中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)重要交匯點(diǎn)，成為聯(lián)系眾多知識(shí)內(nèi)容的媒介。所以，向量成為了“在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)試題”的很好載體。從高考新課程卷來(lái)看，對(duì)向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，將向量與解析幾何、

2、向量與三角等內(nèi)容相結(jié)合，在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題，既是當(dāng)今高考的熱點(diǎn)，又是重點(diǎn)。復(fù)習(xí)鞏固相關(guān)的平面向量知識(shí)，既要注重回顧和梳理基礎(chǔ)知識(shí)，又要注意平面向量與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用，滲透用向量解決問(wèn)題的思想方法，從而提高分析問(wèn)題與綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力，站在新的高度來(lái)認(rèn)識(shí)和理解向量。1. 向量是具有大小和和方向的量，具有“數(shù)”和“形”的特點(diǎn)，向量是數(shù)形結(jié)合的橋梁，在處理向量問(wèn)題時(shí)注意用數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.2. 平面向量基本定理是處理向量問(wèn)題的基礎(chǔ)，也是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)，它表明同一平面內(nèi)任意向量都可以表示為其他兩個(gè)不共線(xiàn)向量的線(xiàn)性組合.3. 向量的坐標(biāo)表示實(shí)際上是向量的代數(shù)形式，引入坐標(biāo)表示，可以把

3、幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題解決.4. 要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解決平面幾何及解析幾何中的簡(jiǎn)單問(wèn)題的方法.第1課向量的概念及基本運(yùn)算【考點(diǎn)導(dǎo)讀】1. 理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示.2. 掌握向量的加法、減法、數(shù)乘的運(yùn)算，并理解其幾何意義.3. 了解平面向量基本定理及其意義.【基礎(chǔ)練習(xí)】1.出下列命題：若，則；若A、B、C、D是不共線(xiàn)的四點(diǎn)，則是四邊形為平行四邊形的充要條件；若，則；的充要條件是且；若，則。其中，正確命題材的序號(hào)是2. 化簡(jiǎn)得 3.在四邊形ABCD中，=a+2b，=4ab，=5a3b，其中a、b不共線(xiàn)，則四邊形ABCD為梯形OAPQBab第4題4.如圖

4、，設(shè)點(diǎn)P、Q是線(xiàn)段AB的三等分點(diǎn)，若a，b，則， (用a、b表示)【范例導(dǎo)析】 D C E FA B例1 .已知任意四邊形ABCD的邊AD和BC的中點(diǎn)分別為E、F，求證：.分析:構(gòu)造三角形,利用向量的三角形法則證明.證明：如圖，連接EB和EC ， 例1 由和可得， （1） 由和可得， （2）（1）+（2）得， （3）E、F分別為AD和BC的中點(diǎn)，代入（3）式得，點(diǎn)撥:運(yùn)用向量加減法解決幾何問(wèn)題時(shí),需要發(fā)現(xiàn)或構(gòu)造三角形或平行四邊形.例2.已知不共線(xiàn)，,求證：A,P,B三點(diǎn)共線(xiàn)的充要條件是分析：證明三點(diǎn)共線(xiàn)可以通過(guò)向量共線(xiàn)來(lái)證明.解：先證必要性：若A,P,B三點(diǎn)共線(xiàn)，則存在實(shí)數(shù)，使得,即,，再證充

5、分性：若則=,與共線(xiàn)，A,P,B三點(diǎn)共線(xiàn). 點(diǎn)撥:向量共線(xiàn)定理是向量知識(shí)中的一個(gè)基本定理,通?？梢宰C明三點(diǎn)共線(xiàn)、直線(xiàn)平行等問(wèn)題.【反饋練習(xí)】1已知向量a和b反向，則下列等式成立的是（C）A. |a|b|=|ab| B. |a|b|=|a+b| C.|a|b|=|ab| D. |a|b|=|a+b|2.設(shè)四邊形ABCD中，有則這個(gè)四邊形是（C）A.平行四邊形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形3.設(shè)A、B、C、D、O是平面上的任意五點(diǎn)，試化簡(jiǎn)：， ， 。解析：原式= ；原式= ；原式= 。4.設(shè)為未知向量， 、為已知向量，滿(mǎn)足方程2-(5+3-4)+-3=0，則=（用、表示）5.在四面體O-ABC

6、中，為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則=（用a，b，c表示）6如圖平行四邊形OADB的對(duì)角線(xiàn)OD,AB相交于點(diǎn)C，線(xiàn)段BC上有一點(diǎn)M滿(mǎn)足BC=3BM,線(xiàn)段CD上有一點(diǎn)N滿(mǎn)足CD3CN,設(shè)第6題解： . 第2課向量的數(shù)量積【考點(diǎn)導(dǎo)讀】1. 理解平面向量數(shù)量積的含義及幾何意義.2. 掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律.3. 掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式.4. 能用平面向量數(shù)量積處理有關(guān)垂直、角度、長(zhǎng)度的問(wèn)題.【基礎(chǔ)練習(xí)】1.已知均為單位向量，它們的夾角為，那么2.在直角坐標(biāo)系中，分別是與軸，軸平行的單位向量，若直角三角形中，則的可能值個(gè)數(shù)為2個(gè)3. 若,，與的夾角為，若，則的值為4.若，且，則向量與

7、的夾角為 120【范例導(dǎo)析】例1.已知兩單位向量與的夾角為，若，試求與的夾角的余弦值。分析:利用及求解.解：由題意，且與的夾角為，所以，同理可得 而，設(shè)為與的夾角，則 點(diǎn)評(píng)：向量的模的求法和向量間的乘法計(jì)算可見(jiàn)一斑。例2.已知平面上三個(gè)向量、的模均為1，它們相互之間的夾角均為120，（1）求證：；（2）若，求的取值范圍.分析:問(wèn)題（1）通過(guò)證明證明,問(wèn)題（2）可以利用解：（1） ，且、之間的夾角均為120， （2） ，即 也就是 ， 所以 或解:對(duì)于有關(guān)向量的長(zhǎng)度、夾角的求解以及垂直關(guān)系的判斷通常是運(yùn)用平面向量的數(shù)量積解決.例3.如圖，在直角ABC中，已知，若長(zhǎng)為的線(xiàn)段以點(diǎn)為中點(diǎn)，問(wèn)的夾角取何

8、值時(shí)的值最大？并求出這個(gè)最大值分析:本題涉及向量較多,可通過(guò)向量的加減法則得,再結(jié)合直角三角形和各線(xiàn)段長(zhǎng)度特征法解決問(wèn)題解：例3 點(diǎn)撥:運(yùn)用向量的方法解決幾何問(wèn)題,充分體現(xiàn)了向量的工具性,對(duì)于大量幾何問(wèn)題,不僅可以用向量語(yǔ)言加以敘述,而且完全可以借助向量的方法予以證明和求解,從而把抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的向量運(yùn)算.【反饋練習(xí)】第2題1.已知向量滿(mǎn)足則與的夾角為 2.如圖，在四邊形ABCD中，則的值為43.若向量滿(mǎn)足,的夾角為60，則=4.若向量,則5.已知| a|=4,|b|=5,|a+b|= ,求： ab ；(2ab) (a+3b)解：（1）|a+b|2=（a+b）2=a2+2ab+b2=|a

9、|2+2ab+|b|2，（2）（2ab）（a+3b）=2a2+5ab3b2=2|a|2+5ab3|b|2=242+5（10）352=93. 6.已知a與b都是非零向量，且a+3b與7a-5b垂直，a4b與7a2b垂直，求a與b的夾角.解：且a+3b與7a-5b垂直，a4b與7a2b垂直，（a+3b）（7a-5b）=0，（a4b）（7a2b）=0 7a216 ab15 b2=0，7a230 ab8 b2=0，b2=2 ab，|a|=|b| 第3課向量的坐標(biāo)運(yùn)算【考點(diǎn)導(dǎo)讀】1. 掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示.2. 會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加減及數(shù)乘、數(shù)量積運(yùn)算.3.掌握平面向量平行的充要條件的坐

10、標(biāo)表示,并利用它解決向量平行的有關(guān)問(wèn)題.【基礎(chǔ)練習(xí)】1若=，=，則=2平面向量中，若，=1，且，則向量=3.已知向量，且A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)，則k=4.已知平面向量，且，則1【范例導(dǎo)析】例1.平面內(nèi)給定三個(gè)向量，回答下列問(wèn)題：（1）求滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)m,n；（2）若，求實(shí)數(shù)k；（3）若滿(mǎn)足，且，求分析:本題主要考察向量及向量模的坐標(biāo)表示和向量共線(xiàn)的充要條件.解：（1）由題意得所以，得（2）（3）設(shè)，則由題意得得或點(diǎn)撥:根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則及兩個(gè)向量平等行的充要條件、模的計(jì)算公式，建立方程組求解。例2.已知ABC的頂點(diǎn)分別為A(2，1)，B(3，2)，C(3，1)，BC邊上的高為AD，求及點(diǎn)D的坐標(biāo)、

11、分析:注意向量坐標(biāo)法的應(yīng)用,及平行、垂直的充要條件.解：設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y)AD是邊BC上的高，ADBC，又C、B、D三點(diǎn)共線(xiàn)，又=(x2,y1), =(6,3)=(x3,y2)例2解方程組，得x=,y=點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，)，的坐標(biāo)為(，)點(diǎn)撥:在解題中要注意綜合運(yùn)用向量的各種運(yùn)算解決問(wèn)題.例3已知向量且求（1）及；（2）若的最小值是，求的值。分析:利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題求解.解：（1），。（2）（1） 當(dāng)時(shí)，（2） 當(dāng)時(shí)，（3） 當(dāng)時(shí)，綜上所述：。點(diǎn)撥:注意運(yùn)用不同章節(jié)知識(shí)綜合處理問(wèn)題,對(duì)于求二次函數(shù)得分最值問(wèn)題,注意分類(lèi)討論.【反饋練習(xí)】1已知向量，則與 （A）A垂直 B

12、不垂直也不平行 C平行且同向 D平行且反向2.與向量a=b=的夾解相等，且模為1的向量是 3.已知向量且則向量等于4.已知向量1205.若，試判斷則ABC的形狀_直角三角形_6.已知向量，向量，則的最大值是 4 7.若是非零向量且滿(mǎn)足， ，則與的夾角是8.已知： 、是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中 =（1，2）（1）若|，且，求的坐標(biāo)；（2）若|=且與垂直，求與的夾角.解：（1）設(shè)，由和可得： 或 ，或 （2） 即 ， 所以 . 9.已知點(diǎn)是且試用.解：以O(shè)為原點(diǎn)，OC，OB所在的直線(xiàn)為軸和軸建立如圖3所示的坐標(biāo)系.由OA=2，所以，第9題易求，設(shè).第4課 向量綜合應(yīng)用【考點(diǎn)導(dǎo)讀】1. 能綜合運(yùn)用

13、所學(xué)向量知識(shí)及有關(guān)數(shù)學(xué)思想方法解決向量知識(shí)內(nèi)部綜合問(wèn)題和與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列等知識(shí)的綜合問(wèn)題.2. 能從實(shí)際問(wèn)題中提煉概括數(shù)學(xué)模型,了解向量知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用.【基礎(chǔ)練習(xí)】1.已知a（5，4），b（3，2），則與2a3b平行的單位向量為2.已知1，1，a與b的夾角為60，x2ab,y3ba，則x與y的夾角的余弦值為【范例導(dǎo)析】例1.已知平面向量a(，1)，b(, ).(1) 若存在實(shí)數(shù)k和t，便得xa(t23)b, ykatb，且xy，試求函數(shù)的關(guān)系式kf（t）；(2) 根據(jù)(1)的結(jié)論，確定kf(t)的單調(diào)區(qū)間。分析:利用向量知識(shí)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題求解.解:（1）法一：由題意知x(,),

14、y(tk，tk)，又xy故x y（tk）(tk)0。整理得：t33t4k0，即kt3t.法二：a(，1)，b(, ), . 2，1且abxy，x y0，即k2t(t23)20，t33t4k0,即kt3t(2) 由(1)知：kf(t) t3t kf(t) t2,令k0得1t1；令k0得t1或t1.故kf(t)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1, 1 )，單調(diào)遞增區(qū)間是（，1）和（1，）.點(diǎn)撥:第1問(wèn)中兩種解法是解決向量垂直的兩種常見(jiàn)的方法：一是先利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算分別求得兩個(gè)向量的坐標(biāo)，再利用向量垂直的充要條件；二是直接利用向量的垂直的充要條件，其過(guò)程要用到向量的數(shù)量積公式及求模公式，達(dá)到同樣的求解目的（但運(yùn)

15、算過(guò)程大大簡(jiǎn)化，值得注意）。第2問(wèn)中求函數(shù)的極值運(yùn)用的是求導(dǎo)的方法，這是新舊知識(shí)交匯點(diǎn)處的綜合運(yùn)用。例2.已知兩個(gè)力（單位：牛）與的夾角為，其中，某質(zhì)點(diǎn)在這兩個(gè)力的共同作用下，由點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)（單位：米）（1） 求；（2） 求與的合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功分析:理解向量及向量數(shù)量積的物理意義,將物理中的求力和功的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題解決.點(diǎn)撥:學(xué)習(xí)向量要了解向量的實(shí)際背景,并能用向量的知識(shí)解決方一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.【反饋練習(xí)】1.平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3, 1)，B(1, 3)， 若點(diǎn)C滿(mǎn)足，其中，R且+=1，則點(diǎn)C的軌跡方程為x2y5=02.已知a,b是非零向量且滿(mǎn)足（a2b）a，（

16、b2a）b，則a與b的夾角是 第5題3. 已知直線(xiàn)x+y=a與圓x2+y2=4交于A、B兩點(diǎn),且|+|=|-|,其中O為原點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的值為2或-24.已知向量a=()，向量b=()，則|2ab|的最大值是 4 5如圖， ，（1）若，求x與y間的關(guān)系；（2）在（1）的條件下，若有，求x,y的值及四邊形ABCD的面積.解（1）又 （2）由，得（x2）(6x)(y3)(y1)0,即x2y24x2y150由，得或第5課復(fù)數(shù)的概念和運(yùn)算【考點(diǎn)導(dǎo)讀】1.了解數(shù)系的擴(kuò)充的基本思想,了解引入復(fù)數(shù)的必要性.2.理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念,掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)表示和幾何意義.【基礎(chǔ)練習(xí)】1.設(shè)、，若為實(shí)數(shù)，則2.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)

17、數(shù)是3.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(1i)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限4.若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足方程，則【范例導(dǎo)析】例 .m取何實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)（1）是實(shí)數(shù)？（2）是虛數(shù)？（3）是純虛數(shù)？分析：本題是判斷復(fù)數(shù)在何種情況下為實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)由于所給復(fù)數(shù)z已寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式，即，所以只需按題目要求，對(duì)實(shí)部和虛部分別進(jìn)行處理，就極易解決此題解：（1）當(dāng)即 時(shí)，z是實(shí)數(shù)（2）當(dāng)即 當(dāng)且時(shí)，z是虛數(shù)（3）當(dāng)即當(dāng)或時(shí)，z是純虛數(shù)點(diǎn)撥：研究一個(gè)復(fù)數(shù)在什么情況下是實(shí)數(shù)、虛數(shù)或純虛數(shù)時(shí)，首先要保證這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部是有意義的，這是一個(gè)前提條件，學(xué)生易忽略這一點(diǎn)如本題易忽略分母不能為0的條件，丟掉，導(dǎo)致解答出錯(cuò)【反饋練習(xí)】1.如果復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)2.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足（3i）z3i，則z 3.若復(fù)數(shù)Z=，則Z+Z+1+i的值為04.設(shè)、為實(shí)數(shù)，且，則+=4.