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1、高考數學精品復習資料 2019.5數學高考10招（2） 就地取材 無中生有計名釋義這一招是專門對付開放題的.開放題有兩種類型：一是開放條件；二是開放結論.條件開放的試題，結論明確、解題方向清楚，但條件不足，也就是條件不充分，屬于“必要不充分”的題型，我們的任務是補充能使結論成立的充分條件.反之，結論開放的試題，條件充分，但結論不明確.我們的任務則是補充必要條件.典例示計【例1】以下是武漢市某次高中調考中的一道數列題：等差數列的前n項和為Sn，若（a1+a3）2=9，an0（），則S10等于（ ）這道題從正面解，你會發(fā)現無論走哪條路，都“差條件”，陷入欲進不得，欲罷不忍的困境.可是，你是否想到，

2、也可以把選項作條件來用呢？【解析】由于時恒有an0，必S100，排除A、C；設若S10= -13，即有10a1+×10×9d=-13，那么a1+d=. （1）但由（a1+a3）2=9，an0可得a1+a3= -3，也就是a1+ d= （2）（1）-（2）：d=，于是d0，這與時恒有an0矛盾，故排除D，選B.本解使用的，正是“就地取材”的計策.如果你感到題干中的“條件不夠”，陷入“山窮水復疑無路”的困境，不妨在選項中就地發(fā)現“柳暗花明又一村”.那么，什么又是“無中生有”呢？請看【例2】06年湖南卷的文科10題：如圖，OMAB，點P在由射線OM，線段OB幾AB的延長線圍成的陰

3、影區(qū)域內（不含邊界），且OP=x0A+yOB，則實數對（x，y）可以是 （ ）【解析】如圖，設向量OP符合要求.過P作PA1AB，交OA于A1，OB于B1，令，顯然0k1.再令，點P在A1B1的延長線上，必1.于是.于是.由（1）知x0，排除A；由（1）+（2）得：x+y=k（0，1），排除B，D，選C.為了解題的需要，我們不僅添加了輔助線，還引入了k，這些參變量，這都是“無中生有”；又為了免除繁雜的計算，我們又在選項中“就地取材”. 再請看【例3】06年湖南卷的理科15題：如圖，OMAB，點P在由射線OM，線段OB幾AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內（不含邊界），且OP=x0A+yOB，則x的取值

4、范圍是當時，y的取值范圍是【解析】同上題解法，得： 由于k（0，1）且1，x0.即當時，x+y=k，y=k-x=k+（）.【評注】咋一看湖南這兩道題，的確有“樹高蔭深，叫樵夫難以下手”之感。因為僅憑現有圖形，是無論如何也難以找到正確答案的。唯一可行之路，就是“無中生有”了，于是筆者按要求隨意畫一條向量（即解圖中的OP）試試看，又想到關于向量的問題多能用平移解決，在作出平行線PA1后，已是豁然開朗，成竹在胸了.這難道不是“無中生有”的神奇麼？例4題圖【例4】如圖所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分別是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中點，N是BC中點，點M在四邊形EFG

5、H及其內部運動，則M只要滿足條件 時，就有MN平面B1BDD1（請?zhí)钌夏阏J為正確的一個條件即可，不必考慮全部可能情況）.【思考】顯然HNBD，即得HN平面B1BDD1，為使點M在平面EFGH內運動時總有B1BDD1MN,只需過HN作平面，使之平行于平面在平面B1BDD1,將線面平行的問題轉化為面面平行的問題.【解析】連FH，當點M在HF上運動時，恒有MN平面B1BDD1證明如下：連 NH ，HF，BD，B1D1，且平面NHF交B1C1于P.則NH BD，HFBB1，故平面PNHF平面BB1D1D.MN平面PNHF，MN平面B1BDD1【例5】 知F(x)是二次項系數為負數的二次函數，且對于任何

6、xR,f(2x)=f(2+x)總成立，問f(12x2)與f(1+2xx2)滿足什么條件時，才能使2<x<0成立.【思考】 根據已知條件很容易得到f(x)是開口向下且對稱軸為x=2的二次函數，然后可通過函數單調區(qū)間進行分類討論.【解答】 由題設知：函數f(x)的圖象是開口向下且對稱軸為直線x=2的拋物線.故函數f(x)在上是增函數；在上是減函數.12x21<2,1+2xx2=(x1)2+22,12x2,1+2xx2.當f(12x2)<f(1+2xx2)時，12x2<1+2xx2,即x2+2x>0,解得x<2或x>0,不能使2<x<0成立

7、.當f(12x2)>f(1+2xx2)時，12x2>1+2xx2,即x2+2x<0,解得2<x<0,符合題意，當f(12x2)=f(1+2xx2)時，可得x=2或0,不能使2<x<0成立.當f(12x2)>f(1+2xx2)時，才能使2<x<0成立.【例1】 能否構造一個等比數列an，使其同時滿足三個條件：a1+a6=11;a3a4=;至少存在一個自然數m,使依次成等差數列.若能，請寫出這個數列的通項公式.【解答】 先考慮前兩個條件.設等比數列an的公比為q.a3a4=a1a6,由.即滿足條件，的等比數列，其通項公式為an=.(1)如

8、an=·2n1，設存在題設要求的mN,則2×.化簡得：22m7·2m8=02m=8,m=3.（2）如設存在mN,使.化簡得： 4(26m)211·26m8=0,這里=112+16×8=249不是完全平方數.符合條件的m不存在.綜上所述，能構造出滿足條件，的等比數列，該自然數m=3,數列的通項公式為： .【例6】 將二次函數f(x)=ax2+bx+c對應于一次函數g(x)=2ax+b.（1）求f(x)=x2+2x+1對應的一次函數g(x).（2）觀察后請寫出這個對應法則.（3）可以用g(x)的某些性質來研究f(x)的性質：當g(x)>0時，

9、對應的f(x)的性質有哪些？（4）你還能研究另外的某些性質嗎？（5）設g(x)=x，寫出與g(x)對應的f(x)的三個不同的解析式.【思考】 本例是結論開放型試題，解題時要求根據已知條件將結論（必要條件）補充完整.f(x)與g(x)是什么關系？我們容易由f(x)=2ax+b,知f(x)=g(x),可見，只有當g(x)=f(x)時，才有可能用g(x)的性質來研究f(x)的某些性質.【解答】 (1)a=1,b=2，g(x)=2x+2.（2）g(x)的一次項系數是f(x)的二次項系數與其次數的積；g(x)的常數項等于f(x)的一次項系數.(3)g(x)>0，即2ax+b>0,當a>

10、0時，x>,而x=是f(x)的對稱軸，故這時f(x)是單調增函數；a<0時,x<,f(x)仍為單調增函數(前者單調區(qū)間為.后者單調區(qū)間為).(4)當g(x)<0時，f(x)是單調減函數(請仿照（3）證明之).(5)g(x)=x時，2ax+b=x,知a=,b=0.只須在f(x)=ax2+bx+c中，命a=,b=0,c取任意值即可，如f(x)= x2+1,f(x)=x2+,f(x)= x2+5.【小結】 指導開放題解法的理論依據是充分必要條件，即若AB,則稱A為B的充分條件，B為A的必要條件.考前預演第1題圖1.如圖所示，在四棱錐PABCD中，O為CD上的動點，四邊形ABCD滿足條件 時，VPAOB恒為定值（寫出你認為正確的一個條件即可）.2.對于xR,試確定y=的所有可能的值. 3.已知|a|=3,|b|=2,a與b的夾角為120°,當k為何值時，（1）kab與akb垂直？（2）|ka2b|取得最小值?4.已知圓O過定點A（0,P）(P>0),圓心O在拋物線x2=2Py上運動，MN為圓O在x軸上截得的弦，令|AM|=d1,|AN|=d2,MAN=.（1）當O運動時，|MN|是否有變化，并證明你的結論；（2）求的最大值,并求取得最大值的的值.