《高考數學文二輪復習教師用書:第1部分 重點強化專題 專題6 突破點16 導數的應用酌情自選 Word版含答案》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《高考數學文二輪復習教師用書:第1部分 重點強化專題 專題6 突破點16 導數的應用酌情自選 Word版含答案(12頁珍藏版)》請在裝配圖網上搜索。
1、高考數學精品復習資料 2019.5突破點16導數的應用(酌情自選)核心知識提煉提煉1 導數與函數的單調性(1)函數單調性的判定方法在某個區(qū)間(a,b)內,如果f(x)0,那么函數yf(x)在此區(qū)間內單調遞增;如果f(x)0,那么函數yf(x)在此區(qū)間內單調遞減(2)常數函數的判定方法如果在某個區(qū)間(a,b)內,恒有f(x)0,那么函數yf(x)是常數函數,在此區(qū)間內不具有單調性(3)已知函數的單調性求參數的取值范圍設可導函數f(x)在某個區(qū)間內單調遞增(或遞減),則可以得出函數f(x)在這個區(qū)間內f(x)0(或f(x)0),從而轉化為恒成立問題來解決(注意等號成立的檢驗).提煉2 函數極值的判
2、別注意點(1)可導函數極值點的導數為0,但導數為0的點不一定是極值點,如函數f(x)x3,當x0時就不是極值點,但f(0)0.(2)極值點不是一個點,而是一個數x0,當xx0時,函數取得極值在x0處有f(x0)0是函數f(x)在x0處取得極值的必要不充分條件(3)函數f(x)在一閉區(qū)間上的最大值是此函數在此區(qū)間上的極大值與其端點函數值中的最大值,函數f(x)在一閉區(qū)間上的最小值是此函數在此區(qū)間上的極小值與其端點函數值中的最小值.提煉3 函數最值的判別方法(1)求函數f(x)在閉區(qū)間a,b上最值的關鍵是求出f(x)0的根的函數值,再與f(a),f(b)作比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個是
3、最小值(2)求函數f(x)在非閉區(qū)間上的最值,只需利用導數法判斷函數f(x)的單調性,即可得結論高考真題回訪回訪1導數的幾何意義1(20xx·全國卷)曲線yx2在點(1,2)處的切線方程為_xy10y2x,y|x11,即曲線在點(1,2)處的切線的斜率k1,切線方程為y2x1,即xy10.2(20xx·全國卷)已知f(x)為偶函數,當x0時,f(x)ex1x,則曲線yf(x)在點(1,2)處的切線方程是_2xy0設x0,則x0,f(x)ex1x.f(x)為偶函數,f(x)f(x),f(x)ex1x.當x0時,f(x)ex11,f(1)e111112.曲線yf(x)在點(1,
4、2)處的切線方程為y22(x1),即2xy0.回訪2導數與函數的單調性3(20xx·全國卷)若函數f(x)xsin 2xasin x在(,)單調遞增,則a的取值范圍是()A1,1BC. D.C取a1,則f(x)xsin 2xsin x,f(x)1cos 2xcos x,但f(0)110,不具備在(,)單調遞增的條件,故排除A,B,D.故選C.4(20xx·全國卷)設函數f(x)是奇函數f(x)(xR)的導函數,f(1)0,當x>0時,xf(x)f(x)<0,則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是()A(,1)(0,1) B(1,0)(1,)C(,1)(1,
5、0) D(0,1)(1,)A設yg(x)(x0),則g(x),當x>0時,xf(x)f(x)<0,g(x)<0,g(x)在(0,)上為減函數,且g(1)f(1)f(1)0.f(x)為奇函數,g(x)為偶函數,g(x)的圖象的示意圖如圖所示當x>0,g(x)>0時,f(x)>0,0<x<1,當x<0,g(x)<0時,f(x)>0,x<1,使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(,1)(0,1),故選A.回訪3函數的極值與最值5(20xx·全國卷)已知函數f(x)x3ax2bxc,下列結論中錯誤的是()Ax0R,
6、f(x0)0B函數yf(x)的圖象是中心對稱圖形C若x0是f(x)的極小值點,則f(x)在區(qū)間(,x0)上單調遞減D若x0是f(x)的極值點,則f(x0)0CA項,因為函數f(x)的值域為R,所以一定存在x0R,使f(x0)0.A正確B項,假設函數f(x)x3ax2bxc的對稱中心為(m,n),按向量a(m,n)將函數的圖象平移,則所得函數yf(xm)n是奇函數所以f(xm)f(xm)2n0,化簡得(3ma)x2m3am2bmcn0.上式對xR恒成立,故3ma0,得m,nm3am2bmcf,所以函數f(x)x3ax2bxc的對稱中心為,故yf(x)的圖象是中心對稱圖形B正確C項,由于f(x)3
7、x22axb是二次函數,f(x)有極小值點x0,必定有一個極大值點x1,若x1x0,則f(x)在區(qū)間(,x0)上不單調遞減C錯誤D項,若x0是極值點,則一定有f(x0)0.故選C.熱點題型1利用導數研究函數的單調性題型分析:利用導數研究函數的單調性問題常在解答題的第(1)問中呈現(xiàn),有一定的區(qū)分度,此類題涉及函數的極值點、利用導數判斷函數的單調性、不等式的恒成立等【例1】(20xx·遼寧葫蘆島模擬)已知x1是f(x)2xln x的一個極值點(1)求函數f(x)的單調遞減區(qū)間;(2)設函數g(x)f(x),若函數g(x)在區(qū)間1,2內單調遞增,求實數a的取值范圍. 【導學號:040241
8、35】解 (1)因為f(x)2xln x,所以f(x)2,因為x1是f(x)2xln x的一個極值點,所以f(1)2b10,解得b3,經檢驗,符合題意,所以b3.則函數f(x)2xln x,其定義域為(0,)4分令f(x)20,解得x1,所以函數f(x)2xln x的單調遞減區(qū)間為(0,16分(2)因為g(x)f(x)2xln x,所以g(x)28分因為函數g(x)在1,2上單調遞增,所以g(x)0在1,2上恒成立,即20在x1,2上恒成立,所以a(2x2x)max,而在1,2上,(2x2x)max3,所以a3.所以實數a的取值范圍為3,)12分方法指津根據函數yf(x)在(a,b)上的單調性
9、,求參數范圍的方法:(1)若函數yf(x)在(a,b)上單調遞增,轉化為f(x)0在(a,b)上恒成立求解(2)若函數yf(x)在(a,b)上單調遞減,轉化為f(x)0在(a,b)上恒成立求解(3)若函數yf(x)在(a,b)上單調,轉化為f(x)在(a,b)上不變號即f(x)在(a,b)上恒正或恒負(4)若函數yf(x)在(a,b)上不單調,轉化為f(x)在(a,b)上變號變式訓練1(20xx·全國卷改編)已知函數f(x)ex(exa)a2x,試討論f(x)的單調性. 解函數f(x)的定義域為(,),f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa).3分(1)若a0,則f(x)e2
10、x在(,)上單調遞增4分(2)若a0,則由f(x)0得xln a.當x(,ln a)時,f(x)0;當x(ln a,)時,f(x)0.故f(x)在(,ln a)上單調遞減,在(ln a,)上單調遞增8分(3)若a<0,則由f(x)0得xln.當x時,f(x)0;當x時,f(x)0.故f(x)在上單調遞減,在上單調遞增12分熱點題型2利用導數研究函數的極值、最值題型分析:利用導數研究函數的極值、最值是高考重點考查內容,主要以解答題的形式考查,難度較大【例2】(20xx·山西三區(qū)八校二模)已知函數f(x)ln xax2bx(其中a,b為常數且a0)在x1處取得極值(1)當a1時,求
11、f(x)的單調區(qū)間;(2)若f(x)在(0,e上的最大值為1,求a的值【導學號:04024136】解 (1)因為f(x)ln xax2bx,所以f(x)的定義域為(0,),f(x)2axb,1分因為函數f(x)ln xax2bx在x1處取得極值,所以f(1)12ab0,又a1,所以b3,則f(x),2分f(x),f(x)隨x的變化情況如下表:x1(1,)f(x)00f(x)極大值極小值3分所以f(x)的單調遞增區(qū)間為,(1,),單調遞減區(qū)間為4分(2)由(1)知f(x),令f(x)0,得x11,x2,因為f(x)在x1處取得極值,所以x2x11,當0時,f(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,
12、e上單調遞減,所以f(x)在區(qū)間(0,e上的最大值為f(1),令f(1)1,解得a2,6分當a0時,x20,當1時,f(x)在上單調遞增,在上單調遞減,1,e上單調遞增,所以最大值可能在x或xe處取得,8分而fln a2(2a1)ln10,所以f(e)ln eae2(2a1)e1,解得a,10分當1e時,f(x)在區(qū)間(0,1)上單調遞增,在上單調遞減,在上單調遞增,所以最大值可能在x1或xe處取得,而f(1)ln 1a(2a1)0,所以f(e)ln eae2(2a1)e1,解得a,與1x2e矛盾,當x2e時,f(x)在區(qū)間(0,1)上單調遞增,在(1,e上單調遞減,所以最大值可能在x1處取得
13、,而f(1)ln 1a(2a1)0,矛盾,綜上所述,a或a212分方法指津利用導數研究函數極值、最值的方法1若求極值,則先求方程f(x)0的根,再檢查f(x)在方程根的左右函數值的符號2若已知極值大小或存在情況,則轉化為已知方程f(x)0根的大小或存在情況來求解3求函數f(x)在閉區(qū)間a,b上的最值時,在得到極值的基礎上,結合區(qū)間端點的函數值f(a),f(b)與f(x)的各極值進行比較得到函數的最值變式訓練2(20xx·全國卷)已知函數f(x)ln xa(1x)(1)討論f(x)的單調性;(2)當f(x)有最大值,且最大值大于2a2時,求a的取值范圍解 (1)f(x)的定義域為(0,
14、),f(x)a2分若a0,則f(x)>0,所以f(x)在(0,)上單調遞增若a>0,則當x時,f(x)>0;當x時,f(x)<0.所以f(x)在上單調遞增,在上單調遞減6分(2)由(1)知,當a0時,f(x)在(0,)上無最大值;當a>0時,f(x)在x處取得最大值,最大值為flnaln aa110分因此f>2a2等價于ln aa1<0.令g(a)ln aa1,則g(a)在(0,)上單調遞增,g(1)0.于是,當0<a<1時,g(a)<0;當a>1時,g(a)>0.因此,a的取值范圍是(0,1)12分熱點題型3利用導數解決
15、不等式問題題型分析:此類問題以函數、導數與不等式相交匯為命題點,實現(xiàn)函數與導數、不等式及求最值的相互轉化,達成了綜合考查考生解題能力的目的【例3】(20xx·全國卷)已知函數f(x)ln xax2(2a1)x.(1)討論f(x)的單調性;(2)當a<0時,證明f(x)2.解 (1)f(x)的定義域為(0,),f(x)2ax2a11分若a0,則當x(0,)時,f(x)>0,故f(x)在(0,)上單調遞增.3分若a<0,則當x時,f(x)>0;當x時,f(x)<0.故f(x)在上單調遞增,在上單調遞減.5分(2)證明:由(1)知,當a<0時,f(x)在
16、x處取得最大值,最大值為fln16分所以f(x)2等價于ln12,即ln10.7分設g(x)ln xx1,則g(x)18分當x(0,1)時,g(x)>0;當x(1,)時,g(x)<0,所以g(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,)上單調遞減10分故當x1時,g(x)取得最大值,最大值為g(1)0.所以當x>0時,g(x)0.從而當a<0時,ln10,即f(x)212分方法指津1利用導數證明不等式的基本步驟(1)作差或變形(2)構造新的函數h(x)(3)利用導數研究h(x)的單調性或最值(4)根據單調性及最值,得到所證不等式特別地:當作差或變形構造的新函數不能利用導數求解
17、時,一般轉化為分別求左、右兩端兩個函數的最值問題2構造輔助函數的四種方法(1)移項法:證明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x)的問題轉化為證明f(x)g(x)>0(f(x)g(x)<0),進而構造輔助函數h(x)f(x)g(x)(2)構造“形似”函數:對原不等式同解變形,如移項、通分、取對數;把不等式轉化為左右兩邊是相同結構的式子的結構,根據“相同結構”構造輔助函數(3)主元法:對于(或可化為)f(x1,x2)A的不等式,可選x1(或x2)為主元,構造函數f(x,x2)(或f(x1,x)(4)放縮法:若所構造函數最值不易求解,可將所證明不等式進行放縮,再重新構造
18、函數變式訓練3(20xx·太原一模)設函數f(x)ax2ln xb(x1)(x0),曲線yf(x)過點(e,e2e1),且在點(1,0)處的切線方程為y0.(1)求a,b的值;(2)證明:當x1時,f(x)(x1)2;(3)若當x1時,f(x)m(x1)2恒成立,求實數m的取值范圍. 【導學號:04024137】解 (1)函數f(x)ax2ln xb(x1)(x0),可得f(x)2aln xaxb,因為f(1)ab0,f(e)ae2b(e1)a(e2e1)e2e1,所以a1,b12分(2)證明:f(x)x2ln xx1,設g(x)x2ln xxx2(x1),g(x)2xln xx1,
19、(g(x)2ln x10,所以g(x)在0,)上單調遞增,所以g(x)g(1)0,所以g(x)在0,)上單調遞增,所以g(x)g(1)0,所以f(x)(x1)26分(3)設h(x)x2ln xxm(x1)21,h(x)2xln xx2m(x1)1,由(2)中知x2ln x(x1)2x1x(x1),所以xln xx1,所以h(x)3(x1)2m(x1),當32m0即m時,h(x)0,所以h(x)在1,)單調遞增,所以h(x)h(1)0,成立當32m0即m時,h(x)2xln x(12m)(x1),(h(x)2ln x32m,令(h(x)0,得x0e1,當x1,x0)時,h(x)h(1)0,所以h(x)在1,x0)上單調遞減,所以h(x)h(1)0,不成立綜上,m12分