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1、 二次函數(shù)知識點總結(jié)和題型總結(jié) 一、二次函數(shù)概念： 1．二次函數(shù)的概念：一般地，形如（是常數(shù)，）的函 數(shù)，叫做二次函數(shù)。 這里需要強調(diào)：①a ≠ 0 ②最高次數(shù)為2 ③代數(shù)式一定是整式 2. 二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征： ⑴ 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2． ⑵ 是常數(shù)，是二次項系數(shù)，是一次項系數(shù)，是常數(shù)項． 例題： 例1、已知函數(shù)y=(m－1)xm2 +1+5x－3是二次函數(shù)，求m的值。 練習、若函數(shù)y=(m2+2m－7)x2+4x+5是關(guān)于x的二次函數(shù)，則m的取值范圍 為

2、 。 二、二次函數(shù)的基本形式 1. 二次函數(shù)基本形式：的性質(zhì)： a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。 的符號 開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質(zhì) 向上 軸 時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值． 向下 軸 時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值． 2. 的性質(zhì)： 上加下減。 的符號 開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質(zhì) 向上 軸 時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值． 向下 軸 時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值． 3. 的性質(zhì)：

3、左加右減。 的符號 開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質(zhì) 向上 X=h 時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，有最小值． 向下 X=h 時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值． 4. 的性質(zhì)： 的符號 開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質(zhì) 向上 X=h 時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值． 向下 X=h 時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值． 二次函數(shù)的對稱軸、頂點、最值 （技法：如果解析式為頂點式y(tǒng)=a(x－h(huán))2+k，則最值為k；如果解析式為一般式y(tǒng)=ax2+bx

4、+c則最值為） 1．拋物線y=2x2+4x+m2－m經(jīng)過坐標原點，則m的值為 。 2．拋物y=x2+bx+c線的頂點坐標為（1，3），則b＝ ，c＝ . 3．拋物線y＝x2＋3x的頂點在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若拋物線y＝ax2－6x經(jīng)過點(2，0)，則拋物線頂點到坐標原點的距離為( ) A. B. C. D. 5．若直線y＝ax＋b不經(jīng)過二、四象限，則拋物線y＝ax2＋bx＋c( ) A.開口向上，對稱軸是y軸

5、 B.開口向下，對稱軸是y軸 C.開口向下，對稱軸平行于y軸 D.開口向上，對稱軸平行于y軸 6． 已知二次函數(shù)y=mx2+(m－1)x+m－1有最小值為0，則m＝ 。 三、二次函數(shù)圖象的平移 1. 平移步驟： 方法一：⑴ 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式，確定其頂點坐標； ⑵ 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下： 2. 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”． 概括成八個字“左加右減，上加下減”． 方法二： ⑴沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成

6、 （或） ⑵沿軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或） 函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)例題： 1．拋物線y=x2+4x+9的對稱軸是 。 2．拋物線y=2x2－12x+25的開口方向是 ，頂點坐標是 。 3．通過配方，寫出下列函數(shù)的開口方向、對稱軸和頂點坐標： （1）y=x2－2x+1 ； （2）y=－3x2+8x－2； （3）y=－x2+x－4 4、把拋物線y=x2+bx+c的圖象向右平移3個單位，在向下平移2個單位，所得 圖象的解析式是y=x2－3x+5，試求b、c的值。

7、 5、把拋物線y=－2x2+4x+1沿坐標軸先向左平移2個單位，再向上平移3個單位， 問所得的拋物線有沒有最大值，若有，求出該最大值；若沒有，說明理由。 四、二次函數(shù)與的比較 從解析式上看，與是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中． 五、二次函數(shù)圖象的畫法 五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與軸的交點、以及關(guān)于對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點）. 畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，

8、與軸的交點，與軸的交點. 六、二次函數(shù)的性質(zhì) 1. 當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標為． 當時，隨的增大而減??；當時，隨的增大而增大；當時，有最小值． 2. 當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點坐標為．當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減??；當時，有最大值． 例題：函數(shù)y=a(x－h(huán))2的圖象與性質(zhì) 1．填表： 拋物線 開口方向 對稱軸 頂點坐標 2． 試說明函數(shù)y=(x－3)2 的圖象特點及性質(zhì)（開口、對稱軸、頂點坐標、增 減性、最值）。 3． 二次函數(shù)y=a(x－h(huán))2的圖象

9、如圖：已知a = ，OA＝OC，試求該拋物線的解 析式。 二次函數(shù)的增減性 1. 二次函數(shù)y=3x2－6x+5，當x>1時，y隨x的增大而 ；當x<1時，y 隨x的增大而 ；當x=1時，函數(shù)有最 值是 。 2. 已知函數(shù)y=4x2－mx+5，當x> －2時,y隨x的增大而增大；當x< －2時，y 隨x的增大而減少；則x＝1時,y的值為 。 3. 已知二次函數(shù)y=x2－(m+1)x+1，當x≥1時，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是 . 4.已知二次函數(shù)y=－x2+

10、3x+的圖象上有三點A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)且3

11、次項系數(shù)，顯然． ⑴ 當時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大； ⑵ 當時，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大． 總結(jié)起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大?。? 2. 一次項系數(shù) 在二次項系數(shù)確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸． ⑴ 在的前提下， 當時，，即拋物線的對稱軸在軸左側(cè)； 當時，，即拋物線的對稱軸就是軸； 當時，，即拋物線對稱軸在軸的右側(cè)． ⑵ 在的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即 當時，，即拋物線的對稱軸在軸右側(cè)； 當時，，即拋物線的對稱軸就是軸

12、； 當時，，即拋物線對稱軸在軸的左側(cè)． 總結(jié)起來，在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置． 的符號的判定：對稱軸在軸左邊則，在軸的右側(cè)則，概括的說就是“左同右異” 總結(jié)： 3. 常數(shù)項 ⑴ 當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱坐標為正； ⑵ 當時，拋物線與軸的交點為坐標原點，即拋物線與軸交點的縱坐標為； ⑶ 當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱坐標為負． 總結(jié)起來，決定了拋物線與軸交點的位置． 總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的． 例題：函數(shù)的圖象特征與a、b、c的關(guān)系 1.已知

13、拋物線y=ax2+bx+c的圖象如右圖所示，則a、b、c的符號為（　　　） A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b>0,c=0 C.a>0,b<0,c=0 D.a>0,b<0,c<0 2.已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象2如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ） A．a(chǎn)+b+c> 0 B．b> -2a C．a(chǎn)-b+c> 0 D．c< 0 3.拋物線y=ax2+bx+c中，b＝4a，它的圖象如圖3，有以下結(jié)論： ①c>0； ②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b2-4ac<0 ⑤abc< 0 ；其中正確的為（

14、 ） A．①② B．①④ C．①②③ D．①③⑤ 4.當b<0是一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=ax2+bx+c在同一坐標系內(nèi)的圖象可能是（ ） 5.已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，則它的圖象可能是圖所示的( ) 6． 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖5所示，那么abc，b2－4ac， 2a＋b， a＋b＋c 四個代數(shù)式中，值為正數(shù)的有( ) A.4個 B.3個 C.2個 D.1個 7

15、.在同一坐標系中，函數(shù)y= ax2+c與y= (a 0時，y隨x的增大而增大，則二次函數(shù)y＝kx2+2kx的圖象大致為圖中的（ ）

16、A B C D 二次函數(shù)解析式的確定： 根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點，選擇適當?shù)男问?，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況： 1. 已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式； 2. 已知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?，一般選用頂點式； 3. 已知拋物線與軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式； 4. 已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式． 例題：函數(shù)解析式的求法 一、已知拋物線上任意三點時

17、，通常設(shè)解析式為一般式y(tǒng)=ax2+bx+c，然后解三元方程組求解； 1．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三點，求該二 次函數(shù)的解析式。 2． 已知拋物線過A（1，0）和B（4，0）兩點，交y軸于C點且BC＝5，求該二 次函數(shù)的解析式。 二、已知拋物線的頂點坐標，或拋物線上縱坐標相同的兩點和拋物線上另一點時，通常設(shè)解析式為頂點式y(tǒng)=a(x－h(huán))2+k求解。 3．已知二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為（1，－6），且經(jīng)過點（2，－8），求該二 次函數(shù)的解析式。 4． 已知二次函數(shù)的圖象

18、的頂點坐標為（1，－3），且經(jīng)過點P（2，0）點，求二 次函數(shù)的解析式。 三、已知拋物線與軸的交點的坐標時，通常設(shè)解析式為交點式y(tǒng)=a(x－x1)(x－x2)。 5．二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（－1，0），B（3，0），函數(shù)有最小值－8，求該二次 函數(shù)的解析式。 九、二次函數(shù)圖象的對稱 二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達 1. 關(guān)于軸對稱 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 2. 關(guān)于軸對稱 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對稱后，得到的

19、解析式是； 3. 關(guān)于原點對稱 關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是； 4. 關(guān)于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)180） 關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是． 5. 關(guān)于點對稱 關(guān)于點對稱后，得到的解析式是 根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方

20、向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式． 十、二次函數(shù)與一元二次方程： 1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與軸交點情況）： 一元二次方程是二次函數(shù)當函數(shù)值時的特殊情況. 圖象與軸的交點個數(shù)： ① 當時，圖象與軸交于兩點，其中的是一元二次方程的兩根．這兩點間的距離. ② 當時，圖象與軸只有一個交點； ③ 當時，圖象與軸沒有交點. 當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數(shù)，都有； 當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數(shù)，都有． 2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點坐標為，； 3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： ⑴ 求二次函數(shù)的圖象與軸的交點坐標，需轉(zhuǎn)化為一元二

21、次方程； ⑵ 求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點式； ⑶ 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中，，的符號，或由二次函數(shù)中，，的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； ⑷ 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標. ⑸ 與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項式，二次三項式本身就是所含字母的二次函數(shù)；下面以時為例，揭示二次函數(shù)、二次三項式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系： 拋物線與軸有兩個交點 二次三項式的值可正、可零、可負 一元二次方程有兩個不相等實根 拋物線與軸只有一個交點 二次

22、三項式的值為非負 一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根 拋物線與軸無交點 二次三項式的值恒為正 一元二次方程無實數(shù)根. 例題：二次函數(shù)與x軸、y軸的交點（二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系） 1. 如果二次函數(shù)y＝x2＋4x＋c圖象與x軸沒有交點，其中c為整數(shù)，則c＝ （寫一個即可） 2. 二次函數(shù)y＝x2-2x-3圖象與x軸交點之間的距離為 　 3. 拋物線y＝－3x2＋2x－1的圖象與x軸交點的個數(shù)是( ) A.沒有交點 B.只有一個交點 C.有兩個交點 D.有三個交點 4. 如圖所示，二次函數(shù)y＝x2－4x＋3的圖象交x軸于A、B兩點，

23、交y 軸于點C， 則△ABC的面積為( ) A.6 B.4 C.3 D.1 5. 已知拋物線y＝5x2＋(m－1)x＋m與x軸的兩個交點在y軸同側(cè)，它們的距離平方等于為 ，則m的值為( ) A.－2 B.12 C.24 D.48 6. 已知拋物線y＝x2-2x-8， （1）求證：該拋物線與x軸一定有兩個交點； （2）若該拋物線與x軸的兩個交點為A、B，且它的頂點為P，求△ABP的面積。 十一、函數(shù)的應用 二次函數(shù)應用 　二次函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣:二次函數(shù)拋物線，圖象對稱

24、是關(guān)鍵；開口、頂點和交點,它們確定圖象現(xiàn)；開口、大小由a斷,c與Y軸來相見,b的符號較特別，符號與a相關(guān)聯(lián)；頂點位置先找見，Y軸作為參考線，左同右異中為0，牢記心中莫混亂；頂點坐標最重要,一般式配方它就現(xiàn)，橫標即為對稱軸,縱標函數(shù)最值見。若求對稱軸位置,符號反,一般、頂點、交點式，不同表達能互換?！? 　二次函數(shù)拋物線，選定需要三個點，a的正負開口判，c的大小y軸看，△的符號最簡便，x軸上數(shù)交點，a、b同號軸左邊拋物線平移a不變，頂點牽著圖象轉(zhuǎn)，三種形式可變換，配方法作用最關(guān)鍵。 例題：二次函數(shù)應用 (一）經(jīng)濟策略性 1.某商店購進一批單價為16元的日用品，銷售一段時間后，為了獲得更多的

25、利潤，商店決定提高銷售價格。經(jīng)檢驗發(fā)現(xiàn)，若按每件20元的價格銷售時，每月能賣360件若按每件25元的價格銷售時，每月能賣210件。假定每月銷售件數(shù)y(件）是價格X的一次函數(shù). (1)試求y與x的之間的關(guān)系式. (2)在商品不積壓，且不考慮其他因素的條件下，問銷售價格定為多少時，才能使每月獲得最大利潤，每月的最大利潤是多少？（總利潤=總收入－總成本） 2.有一種螃蟹，從海上捕獲后不放養(yǎng)最多只能活兩天，如果放養(yǎng)在塘內(nèi)，可以延長存活時間，但每天也有一定數(shù)量的蟹死去，假設(shè)放養(yǎng)期內(nèi)蟹的個體重量基本保持不變，現(xiàn)有一經(jīng)銷商，按市場價收購了這種活蟹1000千克放養(yǎng)在塘內(nèi)，

26、此時市場價為每千克30元，據(jù)測算，以后每千克活蟹的市場價每天可上升1元，但是放養(yǎng)一天需各種費用支出400元，且平均每天還有10千克蟹死去，假定死蟹均于當天全部售出，售價都是每千克20元。 （1）設(shè)X天后每千克活蟹的市場價為P元，寫出P關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式。 （2）如果放養(yǎng)X天后將活蟹一次性出售，并記1000千克蟹的銷售額為Q元，寫出Q關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式。 （2）該經(jīng)銷商將這批蟹放養(yǎng)多少天后出售，可獲最大利潤（利潤=銷售總額—收購成本—費用），最大利潤是多少？ 3.某商場批單價為25元的旅游鞋。為確定 一個最佳的銷售價格，在試銷期采用多種價格進性銷售，經(jīng)試驗發(fā)現(xiàn)：按每雙30元的價格銷售時，每天能賣出60雙；按每雙32元的價格銷售時，每天能賣出52雙，假定每天售出鞋的數(shù)量Y（雙）是銷售單位X的一次函數(shù)。 (1)求Y與X之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)在鞋不積壓，且不考慮其它因素的情況下，求出每天的銷售利潤W（元）與銷售單價X之間的函數(shù)關(guān)系式； (3)銷售價格定為多少元時，每天獲得的銷售利潤最多？是多少？