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1、 -84 - 實驗六楊氏模量測定 1拉伸法測量金屬絲楊氏彈性模量 、實驗目的 1 ?掌握用光杠桿測量微小長度的原理和方法，測量金屬絲的楊氏模量。 2 ?訓練正確調整測量系統(tǒng)的能力。 3 ?學習一種處理實驗數據的方法 一一逐差法。 、實驗原理 1. 楊氏模量 固體在外力作用下都會發(fā)生形變，同外力與形變相關的兩個物理量應力與應變之間 的關系一般較為復雜。由胡克定律可知，在彈性限度內，鋼絲的應力與應變成正比，比 例系數Y稱為楊氏模量；楊氏模量描述材料抵抗彈性形變能力的大小，與材料的結構、 化學成分及制造方法有關。楊氏模量是工程技術中常用的力學參數。設有一根長為 L ,

2、 橫截面積為S的鋼絲，在軸向力F的作用下，形變是軸向伸縮， 且為△ L,在彈性限度內， 脅強F S和脅變AL L成正比，既 (1) F AL =Y - S L 式中比例系數 Y稱為該固體的楊氏模量。在國際單位中，它的單位是牛頓 /米2，記為 Nm-2。AL是用一般長度量具不易測準的微小量，本實驗用光杠桿法對其進行測量。 設實驗中所用鋼絲直徑為 d，則s=2 n2，將此公式代入上式整理以后得 4 4FL Y = nd2 上式表明，對于長度 L,直徑d和所加外力F相同的情況下，楊氏模量 Y大的金屬絲的 伸長量AL小。因而，楊氏模量表達了金屬材料抵抗外力產生拉伸 (或壓縮

3、)形變的能力。 2. 光杠桿原理 如圖1,光杠桿是一個支架，前兩腳與鏡面平行，后腳會隨金屬絲的伸長而上升或 下降。 由三角函數理論可知，在 B很小時有tgB~、tg2 B會于是根據圖示幾何關系可得 =丄 A (3) 2D 圖1 將⑶式代入⑵式有: 丫=萼 n I & 將F = mg代入上式，得出用伸長法測金屬的楊氏模量 Y的公式為 (4) Y = 8mgLD Y 一 nd I y 三、實驗儀器 楊氏模量儀（帶光杠桿、望遠鏡和標尺） ，1kg砝碼若干，米尺，游標卡尺，千分尺, 試樣為1m左右的鋼 絲。圖2所示為楊氏模 量裝置，待測鋼絲由上 夾具固定在立柱的頂

4、端，下端用圓柱活動夾 具頭夾緊，圓柱形夾具 穿過固定平臺的圓孔， 能隨金屬絲的伸縮而上 下移動，其下端掛有砝 碼掛鉤。調節(jié)三腳底座 螺絲，可使整個立柱鉛 直。 圖己楊氏模雖測定儀 光杠桿的兩個前腳 尖放在平臺前方的溝槽內，后腳尖放在活動圓柱體上；望遠鏡用于觀測由光杠桿平面鏡反射形成的標尺像。增 加或減少砝碼時，鋼絲伸長或收縮，光杠桿的后腳會隨圓柱體下降或上升，進而帶動平 面鏡的鏡面偏轉，望遠鏡中觀測到的標尺像的位置亦隨之改變。 四、實驗內容和步驟 1?楊氏模量測定儀的調整 (1 )調節(jié)楊氏模量測定儀底腳螺絲，使立柱處于垂直狀態(tài)； (2 )將鋼絲上端夾住，下端穿過鋼絲夾子和砝碼

5、相連； (3) 將光杠桿放在平臺上，兩前腳尖放在平臺的溝槽內，后腳尖放在圓柱夾頭上， 使鏡面豎直，調節(jié)平臺的上下位置，盡量使三足在同一個水平面上。 2 ?光杠桿及望遠鏡直橫尺的調節(jié) (1) 在楊氏模量測定儀前方約 1米處放置望遠鏡直橫尺，并使望遠鏡和光杠桿在 同一個高度，并使光杠桿的鏡面和標尺都與鋼絲平行; 看到平面鏡中直尺的像；先按圖 3所示方式進行 (2) 調節(jié)望遠鏡，在望遠鏡中能 目視粗調，即望遠鏡水平等高地對準平 面鏡，眼睛通過鏡筒上方的準星直接觀 察平面鏡，看鏡面中是否有標尺的像。 若沒有，應移動望遠鏡基座，直到鏡面 中心看到標尺的像為止。若在目鏡中還 看不到標尺像，可調

6、節(jié)望遠鏡的高低。 (3) 仔細調節(jié)望遠鏡的目鏡， 旋轉 目鏡，使望遠鏡內的十字叉絲線看起 來 清楚為止，調節(jié)平面鏡、標尺的位置及望遠鏡的焦距，使人們能清楚地看到標尺刻度的 像。調節(jié)過程中注意消除視差。 3. 測量 (1) 將砝碼托盤掛在下端，再放上一個砝碼成為本底砝碼，拉直鋼絲，然后記下 此時望遠鏡中所對應的讀數 x ； (2) 依次增加砝碼1kg,直至將砝碼全部加完為止，然后再依次減少 1kg直至將砝 碼全部取完為止，分別記錄下讀數。注意加減砝碼要輕放。由對應同一砝碼值的兩個讀 數求平均，然后再分組對數據應用逐差法進行處理； (3) 用米尺測量鋼絲長度 L ； (4) 用

7、米尺測量標尺到平面鏡之 間的距離D ； (5) 用螺旋測微器測量鋼絲直徑 d ,變換位置測五 次(注意不能用懸掛砝碼的鋼絲) : 求平均值； (6 )將光杠桿在紙上壓出三個足印，光杠桿的后腳到兩個前腳連線的距離為 丨，用 卡尺測量出丨。 五、數據記錄與處理 1. 寫出鏡面到標尺距離 D光杠桿臂長丨、鋼絲原長L的測量結果；光杠桿的后腳到 兩個前腳連線的距離為 丨，鋼絲長度L,標尺到平面鏡的距離 D都取單次測量分別寫出 標準式。 2. 計算鋼絲直徑d的平均值，寫出測量結果；鋼絲直徑測量五次求平均，并寫出 d 的標準式。 3. 用逐差法計算鋼絲伸長量 Ax的平均值，寫出測量結果；

8、 測 量 次 數 砝碼質量 m (kg) 望遠鏡標尺讀數 加砝碼時 Xi (cm) 減砝碼時 x/ (cm) 平均值 X (cm) 0 = xi+4 + - X (cm) 1 m1 2 E+ 1 3 m + 2 4 mV 3 5 m + 4 6 葉+ 5 7 mV 6 8 mV 7 平均 按表格記錄有關測量數據。 由誤差理論知，計量性測量應 盡可能地進行多次，然后用多次測量數據的

9、算術平均 值來評定待測量，以減小測量存在的偶然誤差。可對于某些實驗，簡單地取各次測量的 平均值并不能達到好的效果。如本次實驗在處理每增加一個砝碼望遠鏡中標尺的位置讀 數X1、X2、X3、…、X8時，就不能簡單地通過求相鄰兩項差值的算術平均值來計算增加一 個砝碼引起的變化量△ X,因為此時: 1 7 &= 口Xi + 1-Xi) = 7 i=i （杠亦區(qū)“皿+（X8-x7）=i（X8f） 中間測量值全部被抵消，只有始末兩個測量值起作用，與僅僅測量x 1和x等價。 x「x2、x3、x4）和（x5、 =；?Exi 4?i=5 為了發(fā)揮多次測量的優(yōu)越性，需要先將實驗數據對半

10、分為（ X6、x、X8 ）兩組，再計算兩組對應項差值的算術平均值: (x5 - Xi) +(冷-X2)+(X7 - xa)+ (x8 - x4) 4 需要注意的是此時的變化量 AX是由同時增加4個砝碼引起的。 4. 用公式（4）計算鋼絲的楊氏模量 Y;寫出測量結果。 六、注意事項 1?光杠桿、望遠鏡和標尺構成的光學系統(tǒng)一經調好后，在實驗過程中就不可再變動， 否則所測數據無效。 2?加減砝碼時，動作要輕，盡量使其靜止不擺動。 3?注意保護光杠桿，勿使其掉下摔壞。 4?用逐差法計算時，要清楚Ax是加幾個砝碼所得的位移， 以便計算對應的拉力 F的 大小。 5 ?用千分尺測量金

11、屬絲的直徑時，不要壓得過緊，聽到“叭叭”聲后既可讀數。 七、思考題 1?本實驗應注意哪些問題？ 2. 怎樣調節(jié)光杠桿及望遠鏡等組成的系統(tǒng)，使在望遠鏡中能看到清晰的像？ 3. 本實驗用了哪些原理和方法測量微小長度及處理數據？ 4. 兩根材料相同，但粗細、長度不同的鋼絲，在相同的加載條件下，他們的伸長量 是否一樣？楊氏彈性模量是否相同？ 2、霍爾位置傳感器法測量楊氏模量 、實驗目的 1. 熟悉霍爾位置傳感器的特性； 2. 學習彎曲法測量黃銅的楊氏模量； 3. 測黃銅楊氏模量的同時，對霍爾位置傳感器定標; 4. 用霍爾位置傳感器測量可鍛鑄鐵的楊氏模量。 二、實驗原理 1.

12、 霍爾位置傳感器 霍爾元件置于磁感應強度為 B的磁場中，在垂直于磁場方向通以電流 I，則與這 二者相垂直的方向上將產生霍爾電勢差 UH Uh = K ?I ?B （ 5） （5）式中K為元件的霍爾靈敏度。如果保持霍爾元件的電流 I不變，而使其在一個均 勻梯度的磁場中移動時，則輸出的霍爾電勢差變化量為 △Uh = K ?I ?dB ?AZ （6） dZ dB （6）式中△為位移量，此式說明若 d-為常數時，△Uh與出成正比。 dZ 為實現均勻梯度的磁場，可以如圖 4 所示，兩塊相同的磁鐵（磁鐵截面積及表 面磁感應強度相同） 相對放置，即N極與 N極相對，兩磁鐵之間留一等間

13、距間隙， 霍爾元件平行于磁鐵放在該間隙的中軸 上。間隙大小要根據測量范圍和測量靈敏 度要求而定，間隙越小，磁場梯度就越大， 靈敏度就越高。磁鐵截面要遠大于霍爾元 件，以盡可能的減小邊緣效應影響，提高 測量精確度。 若磁鐵間隙內中心截面處的磁感應強 J N ■— out N 圖4 -91 - 度為零，霍爾元件處于該處時，輸出的霍爾電勢差應該為零。當霍爾元件偏離中心沿 Z 軸發(fā)生位移時，由于磁感應強度不再為零，霍爾元件也就產生相應的電勢差輸出，其大 小可以用數字電壓表測量。由此可以將霍爾電勢差為零時元件所處的位置作為位移參考

14、零點。 霍爾電勢差與位移量之間存在 對應關系，當位移量較?。?< 2mm）,這一對應 關系具有良好的線性。 2. 楊氏模量 任何固體在外力作用下都會發(fā)生形變，同外 力與形變相關的兩個物理量應力與應變之間的關 系一般較為復雜。由胡克定律可知，在彈性限度 內，應力與應變成正比，比例系數 Y稱為楊氏模量；楊氏模量描述材料 抵抗彈性形變能力的大 小，與材料的結構、化學 成分及制造方法有關。楊 氏模量是工程技術中常用 的力學參數，楊氏模量描 述材料抵抗彈性形變能力 的大小，與材料的結構、 化學成分及制造方法有 關。本實驗是在彎曲法測 量固體材料楊氏模量的基 礎上，加裝霍爾位置傳感 器而成的。設

15、有效長度為 d,厚度為a，寬為b的均 勻矩形梁，置在一對平行 的刀口上，在矩形梁的中 點豎直向下作用一個力 F 如圖5所示，在彈性限度 12 1-銅刀口上的基線 2-讀數顯微鏡 3-刀口 4-橫梁5-銅杠桿（頂端裝有 95A型集成霍爾傳感 器）6-磁鐵盒7-磁鐵（N極相對放置） 8-調節(jié)架9-砝碼 內，梁中點下垂量 AZ （撓度），在AZ<

16、 - 的寬度，AZ為梁中心由于外力作用而下降的距離， g為重力加速度。 上面公式的具體推導見附錄。 三、實驗儀器 1. 霍爾位置傳感器測楊氏模量裝置一臺（底座固定箱、讀數顯微鏡、 95 型集成霍爾位 置傳感器、磁鐵兩塊等）；樣品（銅板和冷扎板）； 2. 霍爾位置傳感器輸出信號測量儀一臺（包括直流數字電壓表） 。 儀器技術指標： （1）讀數顯微鏡 型號 放大倍數 分度值 JC - 10 型 20 0.01mm 測量范圍 (2) 砝碼 (3) 三位半數字面板表 (4) 測量儀放大倍數 0 ?6mm 10.0g砝碼8塊、20.0g砝碼2塊 0 ?200m

17、V 3---5 倍 四、實驗內容和步驟 1. 將橫梁穿在砝碼銅刀口內，安放在兩立柱刀口的正中央位置。接著裝上銅杠桿， 將有傳感器一端插入兩立柱刀口中間，該杠桿中間的銅刀口放在刀座上。圓柱型拖尖應 在砝碼刀口的小圓洞內，傳感器若不在磁鐵中間，可以松弛固定螺絲使磁鐵上下移動， 或者用調節(jié)架上的套筒螺母旋動使磁鐵上下微動，再固定之。注意杠桿上霍爾傳感器的 水平位置(圓柱體有固定螺絲) ； 2. 將銅杠桿上的三眼插座插在立柱的三眼插針上，用儀器電纜一端連接測量儀器， 另一端插在立柱另外三眼插針上；接通電源，調節(jié)磁鐵或儀器上調零電位器使在初始負 載的條件下儀器指示處于零值。大約預熱十分鐘左右，

18、指示值即可穩(wěn)定； 3. 調節(jié)讀數顯微鏡目鏡，直到眼睛觀察鏡內的十字線和數字清晰，然后移動讀數顯 微鏡使通過其能夠清楚看到銅刀口上的基線，再轉動讀數旋紐使刀口點的基線與讀數顯 微鏡內十字刻線吻合，消除視差； 4. 從讀數顯微鏡中讀出初始位置 Z。； 5. 在砝碼托盤上加一個砝碼記下位置。這樣順次增加 20g砝碼，記下相應的位置 Z (注意在改變砝碼時，不要讓砝碼盤歪斜) ； 6. 用直尺測量橫梁的長度 d，游標卡尺測其寬度 b，千分尺測其厚度 a。 五、實驗數據及處理 1. 霍爾位置傳感器的定標 進行測量之前，按上述安裝要求，檢查杠桿的水平、刀口的垂直、掛砝碼的刀口處 于梁中間，

19、要防止外加風的影響，杠桿安放在磁鐵的中間，注意不要與金屬外殼接觸， 一切正常后加砝碼，使梁彎曲產生位移 立；精確測量傳感器信號輸出端的數值與固定 砝碼架的位置Z的關系，也就是用讀數顯微鏡對傳感器輸出量進行定標，測量數據按表 1記錄；作出U - Z圖。 表1霍爾位置傳感器靜態(tài)特性測量 M /g 0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 Z / mm U /mV 2. 楊氏模量的測量 利用已標定的數值，測出黃銅樣品在重物作用下的位移，測量數據記入表 2: 用逐差法對表2數據算出樣品在 M =

20、60.00g的作用下產生的位移量 立。 表2黃銅樣品的位移測量 M /g 0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 Z /mm 3. 計算Y值 (a) 將d、a、b、立代入公式(3)求出 Y,并表示成Y=Y AY的形式。 (b) 用作圖的方法求出 Y的數值。 使用坐標紙，以 A為橫坐標，以F=Mg為縱坐標，作 F?AZ圖，應為一直線，其 斜率為 3 ,4Yba k = 3— d 從圖上求出k,則 y= 六、注意事項 1. 梁的厚度必須測準確。在用千分尺測量黃銅厚度 a時，將千分尺旋轉時，當將要

21、 與金屬接觸時，必須用微調輪。當聽到答答答三聲時，停止旋轉。有個別學生實驗誤差 較大，其原因是千分尺使用不當，將黃銅梁厚度測得偏??； 2. 讀數顯微鏡的準絲對準銅掛件(有刀口)的標志刻度線時，注意要區(qū)別是黃銅梁 的邊沿，還是標志線； 3. 霍爾位置傳感器定標前，應先將霍爾傳感器調整到零輸出位置，這時可調節(jié)電磁 鐵盒下的升降桿上的旋鈕，達到零輸出的目的，另外，應使霍爾位置傳感器的探頭處于 兩塊磁鐵的正中間稍偏下的位置，這樣測量數據更可靠一些； 4. 加砝碼時，應該輕拿輕放，盡量減小砝碼架的晃動，這樣可以使電壓值在較短的 時間內達到穩(wěn)定值，節(jié)省了實驗時間； 5. 實驗開始前，必須檢查橫

22、梁是否有彎曲，如有，應矯正。 七、思考題 1. 彎曲法測量楊氏模量，主要測量誤差有哪些？請估算各因素的不確定度. 2. 用霍爾位置傳感器法測位移有哪些優(yōu)點？ 附錄： 固體、液體及氣體在受外力作用時，形狀與體積會發(fā)生或大或小的改變，這統(tǒng)稱為 形變。當外力不太大，因而引起的形變也不太大時，撤掉外力，形變就會消失，這種形 變稱之為彈性形變。彈性形變分為長變、切變和體變三種。 一段固體棒，在其兩端沿軸方向施加大小相等、方向相反的外力 F ,其長度丨發(fā)生 改變Al，以S表示橫截面面積，稱 為應力，相對長變；為應變。在彈性限度內，根 -96 - -# - 據胡克

23、定律有: F = Y? S Y稱為楊氏模量，其數值與材料性質有關。 3 Y= d ?Mg 4a3 ?b ?AZ 以下具體推導式子: 在橫梁發(fā)生微小彎曲時， 面，面上部分發(fā)生壓縮， 整體說來，可以理解橫梁發(fā)生長變，可以用 楊氏模量來描寫材料的性質。 如圖所示，虛線表示彎曲梁的中性面， 易知其既不拉伸也不壓縮，取彎曲梁長為dx 的一小段：設其曲率半徑為 R(x)，所對應的 張角為d 9,再取中性面上部距為 y厚為dy 的一層面為研究對象，那么，梁彎曲后其長 變?yōu)?R(x)- y)?d 9,所以，變化量為： (R(x) - y)?d 0- dx 梁中存在一個中性 面下部分發(fā)生拉

24、伸， -# - d 9 =菖； R(x) -# - -# - 所以 (R(x)- y)?d 0- dx= (R(x)- y) 盤-dx=-Rx)dx ； 所以應變?yōu)? = y & = - ■ R(x) 根據胡克定律有: 吐=-丫丄； dS R(x) dS= b?dy ; 所以 Y?b?y dF(x)心 dy; -97 - 對中性面的轉矩為: .. y ?b 2 d gF ?y=R(x)y ?dy ； -# - 積分得： 對梁上各點，有: 因梁的彎曲微小: 所以有： M

25、x) = a Y?b 2 R(x)y ?dy = 1 = y 〃(x) 3 R(X)?l + y(x)2?2 y (x) = o ； R(x) = Y?b ?a3 12?R(x) (a) (b) -98 - -# - 梁平衡時，梁在 x處的轉矩應與梁右端支撐力 罟對x處的力矩平衡, 所以有: Mx) = M4-x) (c) -# - y 〃(x) =6Mg =Y?b?a3 d (2- x)； y(0) = =0 ； y（o） =0 ； y(x) =3Mg Y?b?a3 ,d 2 1 3、 (x - x ) 2 3 y值: y = 3 Mg ?d 4Y?b?a3 ； 3 d ?Mg 4a ?b?AZ 根據（a）、（b）、（ c）式可以得到: 據所討論問題的性質有邊界條件； 解上面的微分方程得到： 將x =-代入上式，得右端點的 2 又 y =立； 所以，楊氏模量為： -# -