《高二數(shù)學(xué)新人教A版選修4-1一《平行線等分線段定理》》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高二數(shù)學(xué)新人教A版選修4-1一《平行線等分線段定理》（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、平行線等分線段定理 【教學(xué)目標(biāo)】1．識(shí)記并掌握平行線等分線段定理及其推論，認(rèn)識(shí)它的變式圖形；aaajkzywaaa 2．能運(yùn)用平行線等分線段定理任意等分已知線段，能運(yùn)用推論進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明或計(jì)算；aaajkzywaaa 3．培養(yǎng)學(xué)生化歸的思想、運(yùn)動(dòng)了解的觀點(diǎn)。aaajkzywaaa 【教學(xué)重點(diǎn)】平行線等分線段定理及推論的應(yīng)用aaajkzywaaa 【教學(xué)難點(diǎn)】平行線等分線段定理的證明aaajkzywaaa 【教學(xué)方法】引導(dǎo)探究發(fā)現(xiàn)法aaajkzywaaa 【教具準(zhǔn)備】三角板、矩形紙片、印有等距離平行線的作業(yè)紙、電腦、實(shí)物投影儀、自制課

2、件等aaajkzywaaa 【教學(xué)設(shè)計(jì)】aaajkzywaaa 一、實(shí)際問題，導(dǎo)入新課 1．問題：不用其它工具，你能用一張矩形紙片折疊出一個(gè)等邊三角形嗎？aaajkzywaaa 2．折法：（教師演示，學(xué)生動(dòng)手） 先將矩形（ABCD）紙對(duì)折，aaajkzywaaa 得折痕MN（如圖1）；aaajkzywaaa 再把B點(diǎn)疊在折痕MN上，aaajkzywaaa 得到Rt△BEP（如圖2）；aaajkzy

3、waaa 最后沿EP折疊，便可得到aaajkzywaaa （如圖1） 等邊△BEF（如圖2）。 （如圖2）aaajkzywaaa 3．導(dǎo)入：為什么這樣折出的三角形是等邊三角形呢？通過今天這節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們將從理論上解決這一問題。aaajkzywaaa 二、復(fù)習(xí)引導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)定理 1．復(fù)習(xí)提問aaajkzywaaa （1）你能用尺規(guī)作圖將一條線段2等分嗎？4等分呢？你還會(huì)將一條線段幾等分？aaajkzywaaa （2）你能用尺規(guī)

4、作圖將一條線段3等分嗎？能否將一條線段任意等分呢？aaajkzywaaa 師：為了回答第2個(gè)問題，讓我們先來做一個(gè)實(shí)驗(yàn)。aaajkzywaaa 2．操作實(shí)驗(yàn)aaajkzywaaa 請(qǐng)同學(xué)們用老師發(fā)下的、印有等距離平行線的作業(yè)紙和刻度尺做以下實(shí)驗(yàn)：aaajkzywaaa （1）畫一條與這組平行線垂直的直線l1，則直線l1被這組平行線截得的線段相等嗎？為什么？aaajkzywaaa （2）任意畫一條與這組平行線相交的直線l2，量一量直線l2被這組平行線截得的線段是否相等。aaajkzywaaa 3．引導(dǎo)猜想aaajkzywaaa 引導(dǎo)：在上面的問題中，已知條件是什么？

5、得到的結(jié)論是什么？你能用文字語(yǔ)言表述嗎？aaajkzywaaa 猜想：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么這組平行線在其他直線上截得的線段也相等。aaajkzywaaa 4．驗(yàn)證猜想aaajkzywaaa 教師用《幾何畫板》驗(yàn)證同學(xué)們剛才做實(shí)驗(yàn)得出的結(jié)論（猜想）。aaajkzywaaa 三、歸納探究，證明定理 aaajkzywaaa aaajkzywaaa 1．歸納：如果以3條平行線為例證明上面的猜想，你能根據(jù)圖1寫出“已知”和“求證”嗎？aaajkzywaaa 已知：直線a // b // c，AB = BC（如圖1）aaajk

6、zywaaa 求證：AB = BC。aaajkzywaaa 2．探究：（1）不添加輔助線能直接證明嗎？aaajkzywaaa （2）四邊形ACCA 是什么四邊形？aaajkzywaaa （3）在梯形中常作什么樣的輔助線？aaajkzywaaa （圖2）aaajkzywaaa aaajkzywaaa aaajkzywaaa 3．證明：根據(jù)學(xué)生提供的證明方法，完成證明。aaajkzywaaa 證法一：（略）參見課本P176的證法。aaajkzywaaa 證法二：過A、B 點(diǎn)作AC的平行線，分別交直線b、caaajkzywaaa 平

7、行線等分線段定理： 如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么這組平行線在其他直線上截得的線段也相等。aaajkzywaaa 于D、E（如圖2）。（以下證明略）aaajkzywaaa 1 結(jié)論與直線AC 的位置無關(guān)；aaajkzywaaa 2 對(duì)于3條以上的平行線組，可用同樣的方法證明（說明證法二更具一般性）。aaajkzywaaa 4．定理：aaajkzywaaa aaajkzywaaa aaajkzywaaa 推理形式：∵a // b // c，AB = BC， ∴AB = BC。aaajkzywaaa 四、圖形變式，引出推論

8、 1．隱線變式，得推論1aaajkzywaaa 在圖1中，隱藏直線a、b、c，得梯形ACCA（如圖3）。這時(shí)定理的條件、結(jié)論各是什么？aaajkzywaaa 條件：在梯形ACCA中，AB=BC，AA // BB // CC。 結(jié)論：AB = BC。aaajkzywaaa 推論1：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)，與底邊平行的直線必平分另一腰。 aaajkzywaaa aaajkzywaaa 2．運(yùn)動(dòng)變式，得推論2aaajkzywaaa 既然定理的結(jié)論與被截直線的位置無關(guān)，將直線AC 平行向左移動(dòng)，得到變式圖形4。這時(shí)定理在△ACC 中的條

9、件、結(jié)論各是什么？aaajkzywaaa 條件：在△ACC 中，BB //CC，AB=BC。 結(jié)論：AB = BC。aaajkzywaaa 推論2：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)，與另一邊平行的直線必平分第三邊。 3．變換圖形，深化理解aaajkzywaaa 如果將直線AC 繼續(xù)向左平行移動(dòng)（如圖5、6），這時(shí)定理的條件、結(jié)論有什么變化？aaajkzywaaa 五、運(yùn)用新知，解決問題 aaajkzywaaa aaajkzywaaa 1．應(yīng)用定理，等分線段aaajkzywaaa （1）已知線段AB，你能它三等分嗎？依據(jù)是什么？

10、 （圖7）aaajkzywaaa aaajkzywaaa aaajkzywaaa 已知：線段AB（如圖7）。aaajkzywaaa 求作：線段AB的三等分點(diǎn)。aaajkzywaaa 作法：（略。見圖8） （師生同步完成作圖過程）aaajkzywaaa 〖注〗作圖題雖不要求寫作法，但最后的結(jié)論一定要寫出。aaajkzywaaa （2）你還能將已知線段幾等分呢？能任意等分嗎？ （圖8）aaajkzywaaa aaajkzywaaa aaajkzywaaa 2．應(yīng)用推論，分解圖形

11、aaajkzywaaa 例1．已知：如圖9，在□ABCD中，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，aaajkzywaaa CM、AM分別交BD于E、F。aaajkzywaaa 求證：BE = EF = FD。aaajkzywaaa 分析：（1）根據(jù)條件，你能得到哪些平行線？ （圖9）aaajkzywaaa （2）在圖9中，有哪些與推論有關(guān)的基本圖形？aaajkzywaaa aaajkzywaaa aaajkzywaaa 證明：（略。過程由學(xué)生自己完成）aaajkzy

12、waaa 例2．已知：如圖10，□ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，aaajkzywaaa 過點(diǎn)A、B、C、D、O分別作直線a的垂線，垂足aaajkzywaaa 分別為A、B、C、D、O。aaajkzywaaa 求證：AD = BC。 aaajkzywaaa 分析：（1）你能在圖10中找到幾個(gè)與推論有關(guān)的基本圖形？ （圖10）aaajkzywaaa （2）在直線a上，有哪些線段是相等的？根據(jù)是什么？aaajk

13、zywaaa 證明：（略。過程由學(xué)生自己完成）aaajkzywaaa 思考：若去掉條件“AC、BD交于點(diǎn)O”，結(jié)論是否成立？aaajkzywaaa 3．你能運(yùn)用今天所學(xué)知識(shí)，解決本課開始提出的“折等邊三角形”問題嗎？aaajkzywaaa 六、課堂小結(jié)，提煉升華 1．理解一個(gè)定理aaajkzywaaa 平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，aaajkzywaaa 那么這組平行線在其他直線上截得的線段也相等。aaajkzywaaa 2．掌握兩個(gè)推論aaajkzywaaa 推論1：經(jīng)過

14、梯形一腰的中點(diǎn)，與底邊平行的直線必平分另一腰。aaajkzywaaa 推論2：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)，與另一邊平行的直線必平分第三邊。aaajkzywaaa 3．了解三種思想aaajkzywaaa 化歸思想——定理證明是通過作輔助線，將問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形全等的知識(shí)解決；aaajkzywaaa 兩個(gè)例題也是將問題轉(zhuǎn)化為兩種基本圖形來解決。aaajkzywaaa 運(yùn)動(dòng)思想——兩個(gè)推論是通過定理圖形運(yùn)動(dòng)到特殊位置得到的，因此推論是定理的特殊表現(xiàn)形式。aaajkzywaaa 辯證思想——定理是由特殊（三條平行線）推廣到一般；aaajkzywaaa

15、 應(yīng)用定理則是將一般情況運(yùn)用到特殊（具體）問題之中。aaajkzywaaa aaajkzywaaa aaajkzywaaa 七、達(dá)標(biāo)檢測(cè)，回授效果aaajkzywaaa 1．已知：如圖11，在梯形ABCD中，AB//CD，E是CD的中點(diǎn)，aaajkzywaaa EF//BC交AB于F，F(xiàn)G// BD交AD于G。aaajkzywaaa 求證：AG = DG。 aaajkzywaaa 2．如圖12，在△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，DE//BC交AC于E，

16、 （圖11）aaajkzywaaa aaajkzywaaa aaajkzywaaa EF//AB交BC于F。aaajkzywaaa （1）求證：BF=CF；aaajkzywaaa （2）圖中與DE相等的線段有 ；aaajkzywaaa （3）圖中與EF相等的線段有 ； aaajkzywaaa （4）若連結(jié)DF，則DF與AC的位置關(guān)系是 ，數(shù)量關(guān)系是 。 （圖12）aaajkzywa

17、aa 八、課后作業(yè)，鞏固新知 aaajkzywaaa aaajkzywaaa 1．求證：直角梯形的兩個(gè)直角頂點(diǎn)到對(duì)腰中點(diǎn)的距離相等。aaajkzywaaa 2．已知：如圖13，AD是△ABC的中線，E是AD的中點(diǎn)，aaajkzywaaa AE的延長(zhǎng)線交AC于F。aaajkzywaaa 求證：FC = 2AF。aaajkzywaaa （圖13）aaajkzywaaa 數(shù)學(xué)選修4-1《幾何證明選講》知識(shí)

18、點(diǎn)總結(jié)(精簡(jiǎn)版)發(fā)表時(shí)間：2011-06-12關(guān)注度：3,082 views 評(píng)論數(shù)：0 高中數(shù)學(xué)選修4-1知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 平行線等分線段定理 平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等。 推理1：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊。 推理2：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線平分另一腰。平分線分線段成比例定理 平分線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。 推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。相似三角形的判定及性質(zhì) 相似三角形的判定： 定義：

19、對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比值叫做相似比（或相似系數(shù)）。 由于從定義出發(fā)判斷兩個(gè)三角形是否相似，需考慮6個(gè)元素，即三組對(duì)應(yīng)角是否分別相等，三組對(duì)應(yīng)邊是否分別成比例，顯然比較麻煩。所以我們?cè)?jīng)給出過如下幾個(gè)判定兩個(gè)三角形相似的簡(jiǎn)單方法： （1）兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似； （2）兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似； （3）三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。 預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與三角形相似。 判定定理1：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么

20、這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。高中復(fù)習(xí)提綱網(wǎng) bbb:// 判定定理2：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。 判定定理3：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。 引理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。 定理：（1）如果兩個(gè)直角三角形有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么它們相似； （2）如果兩

21、個(gè)直角三角形的兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么它們相似。 定理：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)三角形的斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。 相似三角形的性質(zhì)： （1）相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)平分線的比都等于相似比； （2）相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比； （3）相似三角形面積的比等于相似比的平方。 相似三角形外接圓的直徑比、周長(zhǎng)比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方。直角三角形的射影定理 射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是它們?cè)谛边吷仙溆芭c斜邊的比例中項(xiàng)。 圓周定理 圓周角定理：圓上一條弧所

22、對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓周角的一半。 圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)。 推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等。 推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90的圓周角所對(duì)的弦是直徑。圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理 定理1：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。 定理2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角。 圓內(nèi)接四邊形判定定理：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。 推論：如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。圓的切線的性質(zhì)及判定定理 高中復(fù)習(xí)提綱網(wǎng) bbb:// 切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂

23、直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。 推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)。 推論2：經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。 切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。弦切角的性質(zhì) 弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角。與圓有關(guān)的比例線段 相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。 割線定理：從園外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等。 切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。 切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。 本文來源于高中復(fù)習(xí)提綱網(wǎng) bbb:// 原文位置： bbb:// 友情提示：部分文檔來自網(wǎng)絡(luò)整理，供您參考！文檔可復(fù)制、編制，期待您的好評(píng)與關(guān)注！ 9 / 9