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1、找次品問題的求解方法 還是從比爾蓋茨與81個玻璃球的問題說開來吧。(1)小比爾蓋茨的問題:這兒有81個玻璃球,其中有一個球比其他的球稍重,如果只能用天平來測量,至少要稱多少次才能保證找出來呢?(2)如果不知道次品玻璃球與標(biāo)準(zhǔn)球的輕重,同樣只用天平來測量,至少要稱多少次才能保證找出次品玻璃球來?怎樣用天平來測量次品?就是要用天平稱量時的“平衡”與“不平衡”來判斷研究對象的情況?!捌胶狻迸忻鳑]次品;“不平衡”判明次品就在這里。本題要求最少的稱量次數(shù),顯然還要找出一個解決問題的最優(yōu)策略,也就是要讓天平每稱量一次能判斷的研究對象個數(shù)最多,最終達(dá)到稱量次數(shù)最少的目的。實(shí)際操作起來就是把研究對象怎樣分組,
2、分成多少組的問題。怎樣分組?有平均分(對于不能平均分的數(shù)量,讓數(shù)量多的組多1個,少的組少1個),任意分兩種分法。比較起來只有平均分才能讓“平衡”與“不平衡”說明研究對象的情況(任意分時,天平兩邊數(shù)量不等,“平衡”已不可能,“不平衡”也不能判斷出問題),所以選擇平均分法。分成多少組?有分成2組、3組、4組、5組等多種分法。因?yàn)樘炱接袃蓚€托盤,每稱量一次能放上兩組研究對象,最多能判斷出3組的情況(既能判斷出天平上兩組的情況,還能判斷出天平外一組的情況。若平衡,次品就在盤外那組中;若不平衡,盤外那組中就無次品),所以只有分成2組或3組才能使天平每稱量一次包括研究對象的全部,其他組數(shù)達(dá)不到這個要求舍棄
3、。再比較2組分法、3組分法的優(yōu)劣:把2組分法、3組分法上次稱量判斷出的問題組對象再分別2等分之、3等分之??梢缘贸鱿麓畏Q量時天平每邊的對象數(shù)量,3組分法的遠(yuǎn)比2組分法的少。繼續(xù)稱量下去,顯然,3組分法的稱量次數(shù)要少,更符合最優(yōu)策略。綜合起來,就是選擇平均分成3組的分法。用天平稱量的方法找次品有什么規(guī)律?因?yàn)椴捎玫氖侨确址?,則每次稱量都是把上次找出的問題組對象三等分之進(jìn)行研究,且最后一次找出次品時,天平兩邊各只有1個研究對象,所以從天平兩邊各放1個研究對象開始逆推找規(guī)律。天平稱量法找次品統(tǒng)計表次數(shù)最多判斷出研究對象的個數(shù)13=31(1,1,1)233=9=32(3,3,3)(1,1,1)393
4、=27=33(9,9,9)(3,3,3)(1,1,1)4273=81=34(27,27,27)(9,9,9)(3,3,3)(1,1,1)一般地,用天平稱量n次,能判斷出研究對象的最多個數(shù)Y=3n。上面研究的都是“最多”數(shù)量的情況,不滿足“最多”條件的數(shù)量情況如何呢?比如4、12情況怎樣?先研究4:因?yàn)樘炱椒Q量1次最多只能判斷出3個,所以要再稱量1次,一共2次才能有保證。平衡2次:(2,1,1)(1,1)。不平衡1次:(2,1,1)。再研究12:天平稱量2次最多能判斷出9個,所以也要再稱1次,一共是3次才能有保證。平衡3次:(4,4,4)(2,1,1)(1,1)。不平衡2次:(4,4,4)(2,
5、1,1)一般地,用天平稱量法找次品,當(dāng)研究對象的個數(shù)Y滿足關(guān)系式3n-1Y3n時,最少要稱量n次才能保證找出次品?,F(xiàn)在回頭解答比爾蓋茨與81個玻璃球的問題。問題(1)小比爾蓋茨的問題:這兒有81個玻璃球,其中有一個球比其他的球稍重,如果只能用天平來測量,至少要稱多少次才能保證找出來呢?因?yàn)?1=34,所以最少要稱4次才能保證找出次品。問題(2)如果不知道次品玻璃球與標(biāo)準(zhǔn)球的輕重,同樣只用天平來測量,至少要稱多少次才能保證找出次品玻璃球來?先測出次品玻璃球是重了還是輕了:分組813=27(27,27,27)1次任取兩組過天平,有“平衡”與“不平衡”兩種情況。研究“平衡”情況既是“平衡”,就判斷出
6、次品在天平外那組中。2次任取已過天平一組與天平外那組同稱,肯定不平衡。若原天平外那組重些,就判斷出次品比標(biāo)準(zhǔn)球重,否則,次品就是比標(biāo)準(zhǔn)球輕。研究“不平衡”情況既是“不平衡”,就判斷出次品已在天平中,天平外那組是標(biāo)準(zhǔn)球。2次取較重的一組與天平外那組同稱,有“平衡”、“不平衡”兩種可能。若“平衡”就判斷出次品球比標(biāo)準(zhǔn)球輕;若“不平衡”就判斷出次品球比標(biāo)準(zhǔn)球重。綜合以上研究得出:最少稱2次才能知道次品球在那組中,也才能知道次品球比標(biāo)準(zhǔn)球是重些還是輕些。此時,次品所在組有球27個。因?yàn)椋?7=33,所以最少再稱3次才能保證找出次品球來。一共是2+3=5(次)例:若73個零件,其中有一個比其他的零件稍重,如果只能用天平來測量,至少要稱多少次才能保證找出來呢?解:因?yàn)?37334,所以最少要稱4次才能保證找出次品。平衡4次:(25,24,24)(9,8,8)(3,3,3)(1,1,1)。不平衡4次:(25,24,24)(8,8,8)(3,3,2)(1,1,1)