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1、+2019年數(shù)學高考教學資料+第五節(jié)直接證明與間接證明 考點一分析法的應(yīng)用 例1已知函數(shù)f(x)3x2x，求證：對于任意的x1，x2R，均有f.自主解答要證明f，即證明32·，因此只要證明(x1x2)3(x1x2)，即證明3，因此只要證明，由于x1，x2R，所以3x1>0,3x2>0，由基本不等式知顯然成立，故原結(jié)論成立【方法規(guī)律】利用分析法證明問題的思路分析法的證明思路：先從結(jié)論入手，由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件，而當這些判斷恰恰都是已證的命題(定義、公理、定理、法則、公式等)或要證命題的已知條件時命題得證來源:已知非零向量a、b，且ab，求證：.證明：aba&

2、#183;b0，要證.只需證|a|b|ab|，只需證|a|22|a|b|b|22(a22a·bb2)，只需證|a|22|a|b|b|22a22b2，只需證|a|2|b|22|a|b|0，即(|a|b|)20，上式顯然成立，故原不等式得證.考點二綜合法與分析法的綜合應(yīng)用 例2(2013·湖北高考)如圖，某地質(zhì)隊自水平地面A，B，C三處垂直向地下鉆探，自A點向下鉆到A1處發(fā)現(xiàn)礦藏，再繼續(xù)下鉆到A2處后下面已無礦，從而得到在A處正下方的礦層厚度為A1A2d1.同樣可得在B，C處正下方的礦層厚度分別為B1B2d2，C1C2d3，且d1<d2<d3.過AB，AC的中點M，

3、N且與直線AA2平行的平面截多面體A1B1C1­A2B2C2所得的截面DEFG為該多面體的一個中截面，其面積記為S中 (1)證明：中截面DEFG是梯形；(2)在ABC中，記BCa，BC邊上的高為h，面積為S.在估測三角形ABC區(qū)域內(nèi)正下方的礦藏儲量(即多面體A1B1C1­A2B2C2的體積V)時，可用近似公式V估S中·h來估算已知V(d1d2d3)S，試判斷V估與V的大小關(guān)系，并加以證明自主解答(1)證明：依題意A1A2平面ABC，B1B2平面ABC，C1C2平面ABC，所以A1A2B1B2C1C2.又A1A2d1，B1B2d2，C1C2d3，且d1<d2&

4、lt;d3.所以四邊形A1A2B2B1，A1A2C2C1均是梯形由AA2平面MEFN，AA2平面AA2B2B，且平面AA2B2B平面MEFNME，可得AA2ME，即A1A2DE.同理可證A1A2FG，所以DEFG.又點M，N分別為AB，AC的中點，則點D，E，F(xiàn)，G分別為A1B1，A2B2，A2C2，A1C1的中點，即DE、FG分別為梯形A1A2B2B1、A1A2C2C1的中位線因此DE(A1A2B1B2)(d1d2)，F(xiàn)G(A1A2C1C2)(d1d3)，而d1<d2<d3，故DE<FG，所以中截面DEFG是梯形(2)V估<V.證明如下：由A1A2平面ABC，MN平面

5、ABC，可得A1A2MN.而EMA1A2，所以EMMN，同理可得FNMN.由MN是ABC的中位線，可得MNBCa，即為梯形DEFG的高，因此S中S梯形DEFG·(2d1d2d3)，即V估S中·h(2d1d2d3)又Sah，所以V(d1d2d3)S(d1d2d3)于是VV估(d1d2d3)(2d1d2d3)(d2d1)(d3d1)由d1<d2<d3，得d2d1>0，d3d1>0，故V估<V.【方法規(guī)律】綜合法與分析法聯(lián)袂應(yīng)用的技巧綜合法與分析法各有特點，在解決實際問題時，常把分析法與綜合法綜合起來運用，通常用分析法分析，綜合法書寫這一點在立體幾何

6、中應(yīng)用最為明顯，同時，在數(shù)列、三角、解析幾何中也大多是利用分析法分析，用綜合法證明的辦法來證明相關(guān)問題對于定義域為0,1的函數(shù)f(x)，如果同時滿足以下三條：對任意的x0,1，總有f(x)0；f(1)1；若x10，x20，x1x21都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù)試判斷g(x)2x1(x0,1)是否為理想函數(shù)，如果是，請予以證明；如果不是，請說明理由證明：g(x)2x1(x0,1)是理想函數(shù)，證明如下：因為x0,1，所以2x1,2x10，即對任意x0,1，總有g(shù)(x)0，滿足條件.g(1)211211，滿足條件.當x10，x20，x1x21時，g(x1x2

7、)2 x1x21，g(x1)g(x2)2 x112 x21，于是g(x1x2)g(x1)g(x2)(2 x1x21)(2 x112 x21)來源:2 x1·2 x22 x12 x21(2 x11)(2 x21)由于x10，x20，所以2 x110,2 x210，于是g(x1x2)g(x1)g(x2)0，因此g(x1x2)g(x1)g(x2)，滿足條件，故函數(shù)g(x)2x1(x0,1)是理想函數(shù)高頻考點考點三 反證法的應(yīng)用來源:1反證法的應(yīng)用是高考的?？純?nèi)容，題型為解答題，難度適中，為中高檔題2高考對反證法的考查常有以下兩個命題角度：(1)證明否定性命題；(2)證明存在性問題例3(20

8、13·北京高考)已知an是由非負整數(shù)組成的無窮數(shù)列該數(shù)列前n項的最大值記為An，第n項之后各項an1，an2，的最小值記為Bn，dnAnBn.(1)若an為2,1,4,3,2,1,4,3，是一個周期為4的數(shù)列(即對任意nN*，an4an)，寫出d1，d2，d3，d4的值；(2)設(shè)d是非負整數(shù)證明：dnd(n1,2,3，)的充分必要條件為an是公差為d的等差數(shù)列；(3)證明：若a12，dn1(n1,2,3，)，則an的項只能是1或者2，且有無窮多項為1.自主解答(1)d1d21，d3d43.(2)證明：(充分性)因為an是公差為d的等差數(shù)列，且d0，所以a1a2an，因此Anan，Bn

9、an1，dnanan1d(n1,2,3，)(必要性)因為dnd0(n1,2,3，)，所以AnBndnBn，又anAn，an1Bn，所以anan1，于是，Anan，Bnan1.因此an1anBnAndnd，即an是公差為d的等差數(shù)列來源:(3)證明：因為a12，d11，所以A1a12，B1A1d11.故對任意n1，anB11.假設(shè)an(n2)中存在大于2的項設(shè)m為滿足am>2的最小正整數(shù)，則m2，并且對任意1k<m，ak2.又a12，所以Am12，且Amam>2.于是，BmAmdm>211，Bm1minam，Bm2.故dm1Am1Bm1220，與dm11矛盾所以對于任意n

10、1，有an2，即非負整數(shù)列an的各項只能為1或2.因為對任意n1，an2a1，所以An2.故BnAndn211.因此對于任意正整數(shù)n，存在m滿足m>n，且am1，即數(shù)列an有無窮多項為1.反證法應(yīng)用問題的常見類型及解題策略(1)證明否定性命題解決此類問題分三步：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；由假設(shè)出發(fā)進行正確的推理，直到推出矛盾為止；由矛盾斷言假設(shè)不成立，從而肯定原命題的結(jié)論正確(2)證明存在性問題證明此類問題的方法類同問題(1)1(2013·陜西高考)設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列(1)推導an的前n項和公式；(2)設(shè)q1，證明數(shù)列an1不是等比數(shù)列解：(1)設(shè)an

11、的前n項和為Sn，當q1時，Sna1a1a1na1；當q1時，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sn，Sn(2)證明：假設(shè)an1是等比數(shù)列，則對任意的kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1·a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，這與已知矛盾假設(shè)不成立，故an1不是等比數(shù)列2已知f(x)x2pxq.求證：(1)f(1)f(3)2f(2)2；(2)|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個不小于.證明

12、：(1)因為f(x)x2pxq，所以f(1)1pq，f(2)42pq，f(3)93pq，則f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2.來源:(2)假設(shè)|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于，即|f(1)|<，|f(2)|<，|f(3)|<，則<f(1)<，<f(2)<，<f(3)<.由同向不等式性質(zhì)，得2<f(1)f(3)2f(2)<2.這與f(1)f(3)2f(2)2矛盾故原命題結(jié)論成立，即|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個不小于.課堂歸納通法領(lǐng)悟1種關(guān)系綜合法與分析法的關(guān)系綜合法與分析法的關(guān)系：分析法與綜合法相輔相成，對較復雜的問題，常常先從結(jié)論進行分析，尋求結(jié)論與條件的關(guān)系，找到解題思路，再運用綜合法證明；或兩種方法交叉使用2個注意點利用分析法和反證法應(yīng)注意的問題(1)用分析法證明數(shù)學問題時，要注意書寫格式的規(guī)范性(常常用“要證(欲證)”“即要證”“就要證”)，等分析到一個明顯成立的結(jié)論(2)利用反證法證明數(shù)學問題時，要假設(shè)結(jié)論錯誤，并用假設(shè)命題進行推理，沒有用假設(shè)命題推理而推出矛盾結(jié)果，其推理過程是錯誤的3個關(guān)鍵點反證法證明的關(guān)鍵點(1)準確反設(shè)；(2)從否定的結(jié)論正確推理；(3)得出矛盾高考數(shù)學復習精品高考數(shù)學復習精品