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1、+2019年數學高考教學資料+高考真題備選題庫第5章 數列第4節(jié) 數列求和考點一 等差數列與等比數列的綜合1（2013江蘇，16分）設an是首項為a，公差為d的等差數列(d0)，Sn是其前n項的和記bn，nN*，其中 c為實數(1)若c0，且b1，b2，b4成等比數列，證明：Snkn2Sk(k，nN*)；(2)若bn是等差數列，證明：c0.證明：本題考查等差、等比數列的定義，通項及前n項和，意在考查考生分析問題、解決問題的能力與推理論證能力由題設，Snnad.(1)由c0，得bnad.又b1，b2，b4成等比數列，所以bb1b4，即2a，化簡得d22ad0.因為d0，所以d2a.因此，對于所有

2、的mN*，有Smm2a.從而對于所有的k，nN*，有Snk(nk)2an2k2an2Sk.(2)設數列bn的公差是d1，則bnb1(n1)d1，即b1(n1)d1，nN*，代入Sn的表達式，整理得，對于所有的nN*，有n3n2cd1nc(d1b1)令Ad1d，Bb1d1ad，Dc(d1b1)，則對于所有的nN*，有An3Bn2cd1nD.(*)在(*)式中分別取n1,2,3,4，得ABcd18A4B2cd127A9B3cd164A16B4cd1，從而有由，得A0，cd15B，代入方程，得B0，從而cd10.即d1d0，b1d1ad0，cd10.若d10，則由d1d0，得d0，與題設矛盾，所以d

3、10.又cd10，所以c0.2（2013浙江，14分）在公差為d的等差數列an中，已知a110，且a1，2a22,5a3成等比數列(1)求d，an；(2) 若d0，求|a1|a2|a3|an|.解：本題主要考查等差數列、等比數列的概念，等差數列通項公式，求和公式等基礎知識，同時考查運算求解能力(1)由題意得5a3a1(2a22)2，即d23d40.故d1或d4.所以ann11，nN*或an4n6，nN*.(2)設數列an的前n項和為Sn.因為d0，由(1)得d1，ann11.則當n11時，|a1|a2|a3|an|Snn2n.當n12時，|a1|a2|a3|an|Sn2S11n2n110.綜上

4、所述，|a1|a2|a3|an|3（2013天津，14分）已知首項為的等比數列an的前n項和為Sn(nN*), 且2S2，S3,4S4成等差數列 (1)求數列an的通項公式； (2)證明Sn(nN*)解：本題主要考查等差數列的概念，等比數列的概念、通項公式、前n項和公式，數列的基本性質等基礎知識考查分類討論的思想，考查運算能力、分析問題和解決問題的能力(1)設等比數列an的公比為q，因為2S2，S3,4S4成等差數列，所以S32S24S4S3，即S4S3S2S4，可得2a4a3，于是q.又a1，所以等比數列an的通項公式為ann1(1)n1.(2)證明：Sn1n，Sn1n當n為奇數時，Sn隨n

5、的增大而減小，所以SnS1；當n為偶數時，Sn隨n的增大而減小，所以SnS2.故對于nN*，有Sn.4. （2013陜西，12分）設Sn表示數列an的前n項和(1)若an為等差數列，推導Sn的計算公式；(2)若a11，q0，且對所有正整數n，有Sn.判斷an是否為等比數列，并證明你的結論解：本題主要考查等差數列前n項和公式推導所用的倒序相加法，考查等比數列的證明方法和一般數列切入點的技巧，深度考查考生應用數列作工具進行邏輯推理的思維方法(1)法一：設an的公差為d，則Sna1a2ana1(a1d)a1(n1)d，又Snan(and)an(n1)d，2Snn(a1an)，Sn.法二：設an的公差

6、為d，則Sna1a2ana1(a1d)a1(n1)d，又Snanan1a1a1(n1)da1(n2)da1，2Sn2a1(n1)d2a1(n1)d2a1(n1)d2na1n(n1)d，Snna1d.(2)an是等比數列證明如下：Sn，an1Sn1Snqn.a11，q0，當n1時，有q，因此，an是首項為1且公比為q的等比數列5（2013重慶，13分）設數列an 滿足：a11，an13an，nN.(1)求an的通項公式及前n項和Sn；(2)已知bn是等差數列，Tn為其前n項和，且b1a2，b3a1a2a3，求T20.解：本題主要考查等比數列、等差數列的通項公式與前n項和等基礎知識，考查邏輯思維能

7、力(1)由題設知an是首項為1，公比為3的等比數列，所以an3n1，Sn(3n1)(2)b1a23，b3a1a2a313913，b3b1102d，所以數列bn的公差d5，故T2020351 010.6(2009寧夏、海南，5分)等比數列an的前n項和為Sn，且4a1,2a2，a3成等差數列若a11，則S4()A7B8C15 D16解析：4a1,2a2，a3成等差數列，4a24a1a3.an是等比數列，4a1q4a1a1q2，a11.q24q40，q2，S415.答案：C7（2011江蘇，5分）設1a1a2a7，其中a1，a3，a5，a7成公比為q的等比數列，a2，a4，a6成公差為1的等差數列

8、，則q的最小值是_解析：設a2t，則1tqt1q2t2q3，由于t1，所以qmaxt，故q的最小值是.答案：8（2012山東，12分）已知等差數列an的前5項和為105，且a102a5.(1)求數列an的通項公式；(2)對任意mN*，將數列an中不大于72m的項的個數記為bm，求數列bm的前m項和Sm.解：(1)設數列an的公差為d，前n項和為Tn.由T5105，a102a5，得到解得a17，d7.因此ana1(n1)d77(n1)7n(nN*)(2)對mN*，若an7n72m，則n72m1.因此bm72m1，所以數列bm是首項為7公比為49的等比數列故Sm.9（2012浙江，14分）已知數列

9、an的前n項和為Sn，且Sn2n2n，nN*，數列bn滿足an4log2bn3，nN*.(1)求an，bn；(2)求數列anbn的前n項和Tn.解：(1)由Sn2n2n，得當n1時，a1S13；當n2時，anSnSn14n1，易知當n1時也滿足通式an4n1，所以an4n1，nN*.由4n1an4log2bn3，得bn2n1，nN*.(2)由(1)知anbn(4n1)2n1，nN*，所以Tn3721122(4n1)2n1,2Tn32722(4n5)2n1(4n1)2n，所以2TnTn(4n1)2n34(2222n1)(4n5)2n5.故Tn(4n5)2n5，nN*.10(2010天津，14分)

10、在數列an中，a10，且對任意kN*，a2k1，a2k，a2k1成等差數列，其公差為2k.(1)證明：a4，a5，a6成等比數列；(2)求數列an的通項公式；(3)記Tn，證明：2nTn2(n2)解：(1)證明：由題設可知，a2a122，a3a224，a4a348，a5a4412，a6a5618.從而.所以a4，a5，a6成等比數列(2)由題設，可得a2k1a2k14k，kN*.所以a2k1a1(a2k1a2k1)(a2k1a2k3)(a3a1)4k4(k1)412k(k1)，kN*.由a10，得a2k12k(k1)，從而a2ka2k12k2k2.所以數列an的通項公式為an或寫為an，nN*

11、.(3)證明：由(2)可知a2k12k(k1)，a2k2k2.以下分兩種情況進行討論：當n為偶數時，設n2m(mN*)若m1，則2n2.若m2，則2m2m2()2m2(m1)(1)2n.所以2n，從而2nTn2，n4,6,8，當n為奇數時，設n2m1(mN*)4m4m2n，所以2n，從而2nTn2，n3,5,7，.綜合和可知，對任意n2，nN*，有2nTn2.11(2010北京，13分)已知an為等差數列，且a36，a60.(1)求an的通項公式；(2)若等比數列bn滿足b18，b2a1a2a3，求bn的前n項和公式解：(1)設等差數列an的公差為d.因為a36，a60，所以解得a110，d2

12、.所以an10(n1)22n12.(2)設等比數列bn的公比為q.因為b2a1a2a324，b18，所以8q24，即q3.所以bn的前n項和公式為Sn4(13n)考點二 遞推數列及其應用1（2013湖南，13分）設Sn為數列an的前n項和，已知a10,2ana1S1Sn，nN*.(1)求a1，a2，并求數列an的通項公式；(2)求數列nan的前n項和解：本題主要考查數列的通項公式和數列求和，結合轉化思想，意在考查考生的運算求解能力(1)令n1，得2a1a1a，即a1a.因為a10，所以a11.令n2，得2a21S21a2，解得a22.當n2時，由2an1Sn,2an11Sn1兩式相減得2an2

13、an1an，即an2an1.于是數列an是首項為1，公比為2的等比數列因此，an2n1.所以數列an的通項公式為an2n1.(2)由(1)知，nann2n1.記數列n2n1的前n項和為Bn，于是Bn122322n2n1，2Bn12222323n2n.得Bn12222n1n2n2n1n2n.從而Bn1(n1)2n.2（2013廣東，14分）設各項均為正數的數列an的前n項和為Sn，滿足4Sna4n1，nN*，且a2，a5，a14構成等比數列(1)證明：a2 ；(2)求數列an的通項公式；(3)證明：對一切正整數n，有.解：本題主要考查通過“an與Sn法”將遞推數列轉化為等差數列及裂項求和法，意在

14、考查考生運用化歸與轉化思想解決問題的能力(1)證明：an0，令n1，有4S1a41，即4a1a41，a2.(2)當n2時，4Sna4n1,4Sn1a4(n1)1，兩式相減得4anaa4，有a(an2)2，即an1an2，an從第2項起，是公差為2的等差數列，a5a232a26，a14a2122a224，又a2，a5，a14構成等比數列，有aa2a14，則(a26)2a2(a224)，解得a23，由(1)得a11，又an1an2(n2)an是首項為1，公差為2的等差數列，即an1(n1)22n1.(3)證明：由(2)得.3（2012新課標全國，5分）數列an滿足an1(1)nan2n1，則an的

15、前60項和為()A3 690B3 660C1 845 D1 830解析：不妨令a11，根據題意，得a22，a3a5a71，a46，a610，所以當n為奇數時，an1，當n為偶數時構成以a22為首項，以4為公差的等差數列所以前60項和為S603023041 830.答案：D4(2009福建，4分)五位同學圍成一圈依序循環(huán)報數，規(guī)定：第一位同學首次報出的數為1，第二位同學首次報出的數也為1，之后每位同學所報出的數都是前兩位同學所報出的數之和；若報出的數為3的倍數，則報該數的同學需拍一次已知甲同學第一個報數，當五位同學依序循環(huán)報到第100個數時，甲同學拍手的總次數為_解析：五位同學報數所構成的數列為

16、1,1,2,3,5,8,13,21，該數列被3除所得的余數構成的數列為1,1,2,0,2,2,1,0，所得新數列中每4個數出現一個0，而又有5名同學，因而甲同學報的數為3的倍數的間隔為20，所以甲同學報的數為3的倍數的數依次是第16,36,56,76,96，共5個數答案：55(2011廣東，14分)設b0，數列an滿足a1b，an(n2)(1)求數列an的通項公式；(2)證明：對于一切正整數n,2anbn11.(1)由an聯想到取倒數得，令cn，有cncn1，當b1時，cn為等差數列，當b1時，設cnk(cn1k)，展開對比得k，構造等比數列cn，求得cn后再求an；(2)當b1時，易驗證，當

17、b1時，先用分析法將2anbn11轉化為bn11，利用公式anbn(ab)(an1an2bbn1)，再轉化為2nbn(bn11)(1bb2bn1)，然后將右邊乘開，再利用基本不等式即可得證解：(1)a1b0，an，令cn，則cncn1，當b1時，cn1cn1，且c11cn是首項為1，公差為1的等差數列，cn1(n1)1n，于是cnn，這時an1；當b1時，cn(cn1)，且c1，cn是首項為，公比為的等比數列，cn()n1，由得an，an.(2)證明：由(1)得，當b1時，an1,2anbn1122成立，當b1時，an，2anbn11bn11，而1bn(1b)(1bb2bn1)，又b0，故只需證：2nbn(bn11)(1bb2bn1)，()而(bn11)(1bb2bn2bn1)(b2nb2n1bn1)(bn1bn2b1)(b2n1)(b2n1b)(bn1bn1)2bn2bn2bn2nbn，()式成立，原不等式成立高考數學復習精品高考數學復習精品