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1、2019屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料高考真題備選題庫(kù)第7章 立體幾何第2節(jié) 空間幾何體的表面積與體積考點(diǎn) 柱、錐、臺(tái)、球的表面積與體積1（2013遼寧，5分）已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，則球O的半徑為()A. B2C. D3解析：本題主要考查多面體、球等基本概念以及如何根據(jù)組合體中的位置關(guān)系進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算，意在考查考生的空間想象能力、運(yùn)算求解能力以及轉(zhuǎn)化思想如圖，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點(diǎn)M.又AMBC，OMAA16，所以球O的半徑ROA .答案：C2（2013天津，5分）已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面

2、上若球的體積為， 則正方體的棱長(zhǎng)為_(kāi)解析：本題主要考查球的體積、正方體與其外接球的關(guān)系，意在考查考生的空間想象能力設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為x，其外接球的半徑為R，則由球的體積為，得R3，解得R.由2Rx，得x.答案：3（2013新課標(biāo)全國(guó)，5分）已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn)，AHHB12，AB平面，H為垂足，截球O所得截面的面積為，則球O的表面積為_(kāi)解析：本題主要考查球及其組合體的基本知識(shí)如圖，設(shè)截面小圓的半徑為r，球的半徑為R，因?yàn)锳HHB12，所以O(shè)HR.由勾股定理，有R2r2OH2，又由題意得r2，則r1，故R212，即R2.由球的表面積公式，得S4R2.答案：4（2013江蘇，5分）如圖，在三

3、棱柱A1B1C1­ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，AA1的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐F­ADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1­ABC的體積為V2，則V1V2_.解析：本題考查多面體的體積，意在考查學(xué)生的化歸能力及運(yùn)算能力設(shè)三棱柱A1B1C1­ABC的高為h，底面三角形ABC的面積為S，則V1×S·hShV2，即V1V2124.答案：1245（2013新課標(biāo)全國(guó),12分）如圖，三棱柱ABC­A1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160°.(1)證明：ABA1C；(2)若ABCB2，A1C，求三棱柱ABC­

4、A1B1C1的體積解：本題主要考查線面垂直問(wèn)題，考查空間想象能力、邏輯思維能力、運(yùn)算能力及轉(zhuǎn)化能力(1)證明：取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA1，A1B.因?yàn)镃ACB，所以O(shè)CAB.由于ABAA1，BAA160°，故AA1B為等邊三角形，所以O(shè)A1AB.因?yàn)镺COA1O，所以AB平面OA1C.又A1C平面OA1C，故ABA1C.(2)由題設(shè)知ABC與AA1B都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以O(shè)COA1.又A1C，則A1C2OC2OA，故OA1OC.因?yàn)镺CABO，所以O(shè)A1平面ABC，OA1為三棱柱ABC­A1B1C1的高又ABC的面積SABC，故三棱柱ABC­A1B1

5、C1的體積VSABC×OA13.6(2013安徽,12分)如圖，四棱錐P­ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，BAD60°，已知PBPD2，PA.(1)證明：PCBD；(2)若E為PA的中點(diǎn)，求三棱錐P­BCE的體積解：本題主要考查空間直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，三棱錐體積等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，考查空間想象能力，推理論證能力和運(yùn)算求解能力(1)證明：連接AC，交BD于O點(diǎn)，連接PO.因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，所以ACBD，BODO.由PBPD知，POBD.再由POACO知，BD面APC，又PC平面PAC，因此BDPC.(2)因?yàn)镋是PA的中點(diǎn)，所

6、以VP­BCEVC­PEBVC­PABVB­APC.由PBPDABAD2知，ABDPBD.因?yàn)锽AD60°，所以POAO，AC2，BO1.又PA，PO2AO2PA2，即POAC，故SAPCPO·AC3.由(1)知，BO平面APC，因此VP­BCEVB­APC··BO·SAPC.7(2013福建,12分)如圖，在四棱錐P­ABCD中，PD平面ABCD，ABDC，ABAD，BC5，DC3，AD4，PAD60°. (1)當(dāng)正視方向與向量的方向相同時(shí)，畫出四棱錐P­

7、;ABCD的正視圖(要求標(biāo)出尺寸，并寫出演算過(guò)程)；(2)若M為PA的中點(diǎn)，求證：DM平面PBC；(3)求三棱錐D­PBC的體積解：本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系及幾何體的三視圖和體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想法一：(1)在梯形ABCD中，過(guò)點(diǎn)C作CEAB，垂足為E.由已知得，四邊形ADCE為矩形，AECD3，在RtBEC中，由BC5，CE4，依勾股定理得BE3，從而AB6.又由PD平面ABCD得，PDAD，從而在RtPDA中，由AD4，PAD60°，得PD4.正視圖如圖所示：(2)證明：取PB中

8、點(diǎn)N，連接MN，CN.在PAB中，M是PA中點(diǎn)，MNAB，MNAB3.又CDAB，CD3，MNCD，MNCD，四邊形MNCD為平行四邊形，DMCN.DM平面PBC，CN平面PBC，DM平面PBC.(3)VD­PBCVP­DBCSDBC·PD，又SDBC6，PD4，所以VD­PBC8.法二：(1)同法一(2)證明：取AB的中點(diǎn)E，連接ME，DE.在梯形ABCD中，BECD，且BECD，四邊形BCDE為平行四邊形，DEBC.DE平面PBC，BC平面PBC，DE平面PBC.在PAB中，MEPB，ME平面PBC，PB平面PBC，ME平面PBC.DEMEE，平面D

9、ME平面PBC.DM平面DME，DM平面PBC.(3)同法一8(2013湖北,13分)如圖，某地質(zhì)隊(duì)自水平地面A，B，C三處垂直向地下鉆探，自A點(diǎn)向下鉆到A1處發(fā)現(xiàn)礦藏，再繼續(xù)下鉆到A2處后下面已無(wú)礦，從而得到在A處正下方的礦層厚度為A1A2d1.同樣可得在B，C處正下方的礦層厚度分別為B1B2d2，C1C2d3，且d1<d2<d3.過(guò)AB，AC的中點(diǎn)M，N且與直線AA2平行的平面截多面體A1B1C1­A2B2C2所得的截面DEFG為該多面體的一個(gè)中截面，其面積記為S中(1)證明：中截面DEFG是梯形；(2)在ABC中，記BCa，BC邊上的高為h，面積為S.在估測(cè)三角形A

10、BC區(qū)域內(nèi)正下方的礦藏儲(chǔ)量(即多面體A1B1C1­A2B2C2的體積V)時(shí)，可用近似公式V估S中·h來(lái)估算已知V(d1d2d3)S，試判斷V估與V的大小關(guān)系，并加以證明解：本題主要考查空間線線、線面、面面位置關(guān)系，線面角等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理論證能力(1)證明：依題意A1A2平面ABC，B1B2平面ABC，C1C2平面ABC，所以A1A2B1B2C1C2.又A1A2d1，B1B2d2，C1C2d3，且d1<d2<d3.因此四邊形A1A2B2B1，A1A2C2C1均是梯形由AA2平面MEFN，AA2平面AA2B2B，且平面AA2B2B平面MEFNM

11、E，可得AA2ME，即A1A2DE.同理可證A1A2FG，所以DEFG.又M，N分別為AB，AC的中點(diǎn)，則D，E，F(xiàn)，G分別為A1B1，A2B2，A2C2，A1C1的中點(diǎn)，即DE、FG分別為梯形A1A2B2B1、A1A2C2C1的中位線因此DE(A1A2B1B2)(d1d2)，F(xiàn)G(A1A2C1C2)(d1d3)，而d1<d2<d3，故DE<FG，所以中截面DEFG是梯形(2)V估<V.證明如下：由A1A2平面ABC，MN平面ABC，可得A1A2MN.而EMA1A2，所以EMMN，同理可得FNMN.由MN是ABC的中位線，可得MNBCa，即為梯形DEFG的高，因此S中S

12、梯形DEFG·(2d1d2d3)，即V估S中·h(2d1d2d3)又Sah，所以V(d1d2d3)S(d1d2d3)于是VV估(d1d2d3)(2d1d2d3)(d2d1)(d3d1)由d1<d2<d3，得d2d1>0，d3d1>0，故V估<V.9(2012新課標(biāo)全國(guó)，5分)平面截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面的距離為，則此球的體積為()A.B4C4 D6解析：設(shè)球的半徑為R，由球的截面性質(zhì)得R，所以球的體積VR34.答案：B10.（2012山東，4分）如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E為線段B1C上的一點(diǎn)，則三棱錐A

13、DED1的體積為_(kāi)解析：三棱錐ADED1的體積等于三棱錐EDD1A的體積，即VADED1VEDD1A××1×1×1.答案：11（2012遼寧，5分）已知點(diǎn)P，A，B，C，D是球O表面上的點(diǎn)，PA平面ABCD，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形若PA2，則OAB的面積為_(kāi)解析：把球O的內(nèi)接四棱錐還原為長(zhǎng)方體，則球O的直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，則(2R)2(2)2(2)2(2)2，可得R212.OAB中，設(shè)AB邊上的高為h，則h2R2()29，則h3，所以SOAB×2×33.答案：312（2011新課標(biāo)全國(guó)，5分）已知兩個(gè)圓錐有公共底面，且兩

14、圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上若圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的，則這兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為_(kāi)解析：設(shè)球心為O1，半徑為r1，圓錐底面圓圓心為O2，半徑為r2，則有×4rr，即r2r1，所以O(shè)1O2，設(shè)兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高分別為h1、h2，則.答案：13.（2012新課標(biāo)全國(guó)，12分）如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，ACB90°，ACBCAA1，D是棱AA1的中點(diǎn)(1)證明：平面BDC1平面BDC；(2)平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比解：(1)證明：由題設(shè)知BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC.由題設(shè)知A1DC1ADC45°，所以CDC190°，即DC1DC.又DCBCC，所以DC1平面BDC.又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BDC.(2)設(shè)棱錐BDACC1的體積為V1，AC1.由題意得V1××1×1.又三棱柱ABCA1B1C1的體積V1，所以(VV1)V111.故平面BDC1分此棱柱所得兩部分體積的比為11.高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品