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1、2019屆高考數(shù)學復習資料高考真題備選題庫第2章 函數(shù)、導數(shù)及其應(yīng)用第11節(jié) 導數(shù)的應(yīng)用考點一 應(yīng)用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性1（2013新課標全國，5分）已知函數(shù)f(x)ex(axb)x24x，曲線yf(x)在點(0，f(0)處的切線方程為y4x4.(1)求a，b的值；(2)討論f(x)的單調(diào)性，并求f(x)的極大值解：本題主要考查導數(shù)的基本知識，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、求極值(1)f(x)ex(axab)2x4.由已知得f(0)4，f(0)4.故b4，ab8.從而a4，b4.(2)由(1)知，f(x)4ex(x1)x24x，f(x)4ex(x2)2x44(x2).令f(x)0得，xln 2或x2

2、.從而當x(，2)(ln 2，)時，f(x)0；當x(2，ln 2)時，f(x)0時，f(x)0，當0x時，f(x)時，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.當a0時，令f(x)0，得2ax2bx10.由b28a0，得x1，x2.當0xx2時，f(x)x2時，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.綜上所述，當a0，b0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，)；當a0，b0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；當a0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，.(2)由題意知，函數(shù)f(x)在

3、x1處取得最小值由(1)知是f(x)的唯一極小值點，故1，整理得2ab1即b12a.令g(x)24xln x，則g(x).令g(x)0，得x，當0x0，g(x)單調(diào)遞增；當x時，g(x)0，g(x)單調(diào)遞減因此g(x)g1ln 1ln 40.故g(a)0，即24aln a2bln a0，即ln a2b.3（2012福建，5分）已知f(x)x36x29xabc，ab0；f(0)f(1)0；f(0)f(3)0.其中正確結(jié)論的序號是()ABC D解析：f(x)x36x29xabc，f(x)3x212x93(x1)(x3)，令f(x)0，得x1或x3.依題意有，函數(shù)f(x)x36x29xabc的圖像與

4、x軸有三個不同的交點，故f(1)f(3)0，即(169abc)(3363293abc)0，0abc4，f(0)abc0，f(3)abc0，故是對的答案：C4（2012遼寧，5分）函數(shù)yx2ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為()A(1,1 B(0,1C1，) D(0，)解析：函數(shù)yx2ln x的定義域為(0，)，yx，令y0，則可得0x1.答案：B5(2009江蘇，5分)函數(shù)f(x)x315x233x6的單調(diào)減區(qū)間為_解析：f(x)3x230x333(x210x11)3(x1)(x11)0，解得：1x0時，(xk)f(x)x10，求k的最大值解：(1)f(x)的定義域為(，)，f(x)exa.若a0，則f

5、(x)0，所以f(x)在(，)上單調(diào)遞增若a0，則當x(，ln a)時，f(x)0，所以，f(x)在(，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，)上單調(diào)遞增(2)由于a1，所以(xk)f(x)x1(xk)(ex1)x1.故當x0時，(xk)f(x)x10等價于k0)令g(x)x，則g(x)1.由(1)知，函數(shù)h(x)exx2在(0，)上單調(diào)遞增而h(1)0，所以h(x)在(0，)上存在唯一的零點故g(x)在(0，)上存在唯一的零點設(shè)此零點為，則(1,2)當x(0，)時，g(x)0.所以g(x)在(0，)上的最小值為g()又由g()0，可得e2，所以g()1(2,3)由于式等價于k0.解：(1)由題

6、意得f(x)12x22a.當a0時，f(x)0恒成立，此時f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)當a0時，f(x)12(x)(x)，此時函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，和，)，單調(diào)遞減區(qū)間為， .(2)證明：由于0x1，故當a2時，f(x)|2a|4x32ax24x34x2.當a2時，f(x)|2a|4x32a(1x)24x34(1x)24x34x2.設(shè)g(x)2x32x1,0x1，則g(x)6x226(x)(x)，于是x0(0，)(，1)1g(x)0g(x)1減極小值增1所以，g(x)ming()10.所以當0x1時，2x32x10.故f(x)|2a|4x34x20.考點二 應(yīng)用導數(shù)研究函數(shù)的極值和

7、最值1（2013新課標全國，5分）已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc，下列結(jié)論中錯誤的是()A. x0R，f(x0)0B.函數(shù)yf(x)的圖象是中心對稱圖形C.若x0是f(x)的極小值點，則f(x)在區(qū)間(，x0)單調(diào)遞減D.若x0是f(x)的極值點，則 f(x0)0解析：本題考查三次函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查考生分析問題和解決問題的能力由于三次函數(shù)的三次項系數(shù)為正值，當x時，函數(shù)值，當x時，函數(shù)值也，又三次函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，故一定穿過x軸，即一定x0R，f(x0)0，選項A中的結(jié)論正確；函數(shù)f(x)的解析式可以通過配方的方法化為形如(xm)3n(xm)h的形式，通過平移函數(shù)圖象，

8、函數(shù)的解析式可以化為yx3nx的形式，這是一個奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標原點對稱，故函數(shù)f(x)的圖象是中心對稱圖形，選項B中的結(jié)論正確；由于三次函數(shù)的三次項系數(shù)為正值，故函數(shù)如果存在極值點x1，x2，則極小值點x2x1，即函數(shù)在到極小值點的區(qū)間上是先遞增后遞減的，所以選項C中的結(jié)論錯誤；根據(jù)導數(shù)與極值的關(guān)系，顯然選項D中的結(jié)論正確. 答案：C2（2013福建，5分）設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R，x0(x00)是f(x)的極大值點，以下結(jié)論一定正確的是()AxR，f(x)f(x0)Bx0是f(x)的極小值點Cx0是f(x)的極小值點Dx0是f(x)的極小值點解析：本題主要考查函數(shù)的極值點、導數(shù)等基礎(chǔ)

9、知識，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合能力、轉(zhuǎn)化和化歸能力、運算求解能力取函數(shù)f(x)x3x，則x為f(x)的極大值點，但f(3)f，排除A；取函數(shù)f(x)(x1)2，則x1是f(x)的極大值點，但1不是f(x)的極小值點，排除B；f(x)(x1)2，1不是f(x)的極小值點，排除C，故選D.答案：D3已知函數(shù)f(x)x(ln xax)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，0)B.C(0,1) D(0，)解析：本題主要考查導數(shù)的應(yīng)用，利用導數(shù)研究函數(shù)極值的方法，考查考生運算能力、綜合分析問題的能力和化歸與轉(zhuǎn)化能力由題知，x0，f(x)ln x12ax，由于函數(shù)f(x)有兩個極值點，則f(x)0有兩

10、個不等的正根，顯然a0時不合題意，必有a0，所以0a1，求f(x)在閉區(qū)間0,2|a|上的最小值解：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)，及導數(shù)應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，同時考查分類討論等綜合解題能力(1)當a1時，f(x)6x212x6，所以f(2)6.又因為f(2)4，所以切線方程為y6x8.(2)記g(a)為f(x)在閉區(qū)間0,2|a|上的最小值f(x)6x26(a1)x6a6(x1)(xa)令f(x)0，得到x11，x2a.當a1時，x0(0,1)1(1，a)a(a,2a)2af(x)00f(x)0單調(diào)遞增極大值3a1單調(diào)遞減極小值a2(3a)單調(diào)遞增4a3比較f(0)0和f(a)a2(3

11、a)的大小可得g(a)當a2時，f(x)0，函數(shù)f(x)為增函數(shù)；當0x2時，f(x)0，函數(shù)f(x)為減函數(shù)，所以x2為函數(shù)f(x)的極小值點答案：D7（2011福建，5分）若a0，b0，且函數(shù)(x)4x3ax22bx2在x1處有極值，則ab的最大值等于()A2 B3C6 D9解析：函數(shù)的導數(shù)為 (x)12x22ax2b，由函數(shù)(x)在x1處有極值，可知函數(shù)(x)在x1處的導數(shù)值為零，122a2b0，所以ab6，由題意知a，b都是正實數(shù)，所以ab()2()29，當且僅當ab3時取到等號答案：D8（2011浙江，5分）設(shè)函數(shù)f(x)ax2bxc(a，b，cR)若x1為函數(shù)f(x)ex的一個極值

12、點，則下列圖像不可能為yf(x)的圖像是()解析：若x1為函數(shù)f(x)ex的一個極值點，則易得ac.因選項A、B的函數(shù)為f(x)a(x1)2，則f(x)exf(x)exf(x)(ex)a(x1)(x3)ex，x1為函數(shù)f(x)ex的一個極值點滿足條件；選項C中，對稱軸x0，且開口向下，a0，b0.f(1)2ab0.也滿足條件；選項D中，對稱軸x1，且開口向上，a0，b2a.f(1)2ab0.與圖矛盾答案：D9（2010山東，5分）已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單元：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為yx381x234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為()A13萬件 B11萬件C9萬

13、件 D7萬件解析：因為yx281，所以當x9時，y0；當x(0,9)時，y0，所以函數(shù)yx381x234在(9，)上單調(diào)遞減，在(0,9)上單調(diào)遞增，所以x9是函數(shù)的極大值點，又因為函數(shù)在(0，)上只有一個極大值點，所以函數(shù)在x9處取得最大值答案：C10（2012廣東，14分）設(shè)0a0，BxR|2x23(1a)x6a0，DAB.(1)求集合D(用區(qū)間表示)；(2)求函數(shù)f(x)2x33(1a)x26ax在D內(nèi)的極值點解：(1)方程2x23(1a)x6a0的判別式9(1a)248a9(a3)(a)，而0a0，當0時，得a3，即0a，由2x23(1a)x6a0，解得x1，x2，有0x1x2，此時B

14、(，x1)(x2，)，DAB(0，x1)(x2，)；當0時，得a，由x22x10，得x1，此時B(，1)(1，)，DAB(0,1)(1，)；當0時，得a1，BR，DAB(0，)綜上所述：當0a時，D(0, )(，)；當a時，D(0,1)(1，)；當a1時，D(0，)(2)由題知f(x)6x26(1a)x6a6(x1)(xa)，0a1，令f(x)0得xa或x1，當x1時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，當ax1時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減當0a0，f(1)23(1a)6a3a10，再由f(x)的單調(diào)性可得0ax11x2，所以函數(shù)f(x)在D內(nèi)的極值點為xa.當a時，D(0,1)(1，)，函數(shù)f

15、(x)在D內(nèi)的極值點為xa.當a1時，D(0，)，函數(shù)f(x)在D內(nèi)的極值點為xa和x1.綜上，當a1時，函數(shù)f(x)在D內(nèi)的極值點為xa和x1；當a時，函數(shù)f(x)在D內(nèi)的極值點為x；當0a0)(1)求f(x)的最小值；(2)若曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程為yx，求a，b的值解：(1)法一：由題設(shè)和均值不等式可知，f(x)axb2b，其中等號成立當且僅當ax1，即當x時，f(x)取最小值為2b.法二：f(x)的導數(shù)f(x)a，當x時，f(x)0，f(x)在(，)上單調(diào)遞增；當0x時，f(x).證明：本題主要考查導數(shù)的運算及其幾何意義，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論思想

16、、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，考查綜合分析問題和解決問題的能力(1)設(shè)函數(shù)f1(x)x3(a5)x(x0)，f2(x)x3x2ax(x0)，f1(x)3x2(a5)，由于a2,0，從而當1x0時，f1(x)3x2(a5)3a50，所以函數(shù)f1(x)在區(qū)間(1,0內(nèi)單調(diào)遞減f2(x)3x2(a3)xa(3xa)(x1)，由于a2,0，所以當0x1時，f2(x)1時，f2(x)0.即函數(shù)f2(x)在區(qū)間0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(1，)內(nèi)單調(diào)遞增綜合，及f1(0)f2(0)，可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，1)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(1，)內(nèi)單調(diào)遞增(2)由(1)知f(x)在區(qū)間(，0)內(nèi)單調(diào)遞減，在

17、區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，因為曲線yf(x)在點Pi(xi，f(xi)(i1,2,3)處的切線相互平行，從而x1，x2，x3互不相等，且f(x1)f(x2)f(x3)不妨設(shè)x10x2x3，由3x(a5)3x(a3)x2a3x(a3)x3a，可得3x3x(a3)(x2x3)0，解得x2x3，從而0x2x3.設(shè)g(x)3x2(a3)xa，則gg(x2)g(0)a.由3x(a5)g(x2)a，解得x1，設(shè)t，則a，因為a2,0，所以t，故x1x2x3t(t1)2，即x1x2x3. 2（2013湖北，13分）設(shè)a0，b0，已知函數(shù)f(x).(1)當ab時，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當x0

18、時，稱f(x)為a，b關(guān)于x的加權(quán)平均數(shù)(i)判斷f(1)，f，f是否成等比數(shù)列，并證明ff；(ii)a，b的幾何平均數(shù)記為G.稱為a，b的調(diào)和平均數(shù)，記為H.若Hf(x)G，求x的取值范圍解：本題主要考查不等式、導數(shù)的應(yīng)用，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查運算能力及用函數(shù)思想分析解決問題的能力(1)f(x)的定義域為(，1)(1，)，f(x).當ab時，f(x)0，函數(shù)f(x)在(，1)，(1，)上單調(diào)遞增；當ab時，f(x)0，f0，f0.故f(1)fab2，即f(1)f2.所以f(1)，f2，f成等比數(shù)列因為，即f(1)f.由得ff.()由()知fH，fG.故由Hf(x)G，得f

19、f(x)f.當ab時，ff(x)fa.這時，x的取值范圍為(0，)；當ab時，01，從而，由f(x)在(0，)上單調(diào)遞增與式，得x，即x的取值范圍為；當a1，從而，由f(x)在(0，)上單調(diào)遞減與式，得x，即x的取值范圍為.綜上，當ab時，x的取值范圍為(0，)；當ab時，x的取值范圍為；當a0.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,0)內(nèi)恰有兩個零點，求a的取值范圍；(3)當a1時，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間t，t3上的最大值為M(t)，最小值為m(t)，記g(t)M(t)m(t)，求函數(shù)g(t)在區(qū)間3，1上的最小值解：(1)f(x)x2(1a)xa(x1)(xa)由f

20、(x)0，得x11，x2a0.當x變化時f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，1)1(1，a)a(a，)f(x)00f(x)極大值極小值故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，1)，(a，)；單調(diào)遞減區(qū)間是(1，a)(2)由(1)知f(x)在區(qū)間(2，1)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,0)內(nèi)單調(diào)遞減，從而函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,0)內(nèi)恰有兩個零點當且僅當解得0a0.(1)若對一切xR，f(x)1恒成立，求a的取值集合；(2)在函數(shù)f(x)的圖象上取定兩點A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)(x1x2)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x0(x1，x2)，使f(x0)k成立解：(1)f(x)exa

21、，令f(x)0得xln a.當xln a時，f(x)ln a時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，故當xln a時，f(x)取最小值f(ln a)aaln a.于是對一切xR，f(x)1恒成立，當且僅當aaln a1.令g(t)ttln t，則g(t)ln t.當0t0，g(t)單調(diào)遞增；當t1時，g(t)0，g(t)單調(diào)遞減故當t1時，g(t)取最大值g(1)1.因此，當且僅當a1時，式成立綜上所述，a的取值集合為1(2)由題意知，ka，令(x)f(x)kex，則(x1)ex2x1(x2x1)1，(x2)ex1x2(x1x2)1令F(t)ett1，則F(t)et1.當t0時，F(xiàn)(t)0時，F(xiàn)(t)0，F(xiàn)(t)單調(diào)遞增故當t0時，F(xiàn)(t)F(0)0，即ett10.從而ex2x1(x2x1)10，ex1x2(x1x2)10，又0，0，所以(x1)0.因為函數(shù)y(x)在區(qū)間x1，x2上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在x0(x1，x2)，使(x0)0，即f(x0)k成立高考數(shù)學復習精品高考數(shù)學復習精品