《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第九章 :第六節(jié)數(shù)學(xué)歸納法回扣主干知識(shí)提升學(xué)科素養(yǎng)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第九章 :第六節(jié)數(shù)學(xué)歸納法回扣主干知識(shí)提升學(xué)科素養(yǎng)(4頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、+2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料+第六節(jié)數(shù)學(xué)歸納法1了解數(shù)學(xué)歸納法的原理2能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題來源:數(shù)理化網(wǎng)1數(shù)學(xué)歸納法一般地,證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行:(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0N*)時(shí)命題成立;(2)(歸納遞推)假設(shè)nk(kn0,kN*)時(shí)命題成立,證明當(dāng)nk1時(shí)命題也成立只要完成這兩個(gè)步驟,就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立2數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示對(duì)于不等式n1(nN*),某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下:(1)當(dāng)n1時(shí),11,不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*且k1)時(shí),不等式成立,即k1,則當(dāng)nk1時(shí),(k1)1.當(dāng)nk
2、1時(shí),不等式成立上述證明過程是否正確?為什么?提示:不正確從nk到nk1的推理不正確,沒能利用當(dāng)nk時(shí)的假設(shè) 1在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸邊形的對(duì)角線為條時(shí),第一步檢驗(yàn)n等于()A1 B2 C3 D0解析:選C因?yàn)橥惯呅蔚倪厰?shù)n3,所以第一步檢驗(yàn)n3.2若f(n)1(nN*),則f(1)為()A1 B.C1 D非以上答案解析:選Cf(n)1,f(1)11.3某個(gè)命題與自然數(shù)n有關(guān),若nk(kN*)時(shí)命題成立,那么可推得當(dāng)nk1時(shí)該命題也成立,現(xiàn)已知n5時(shí),該命題不成立,那么可以推得()An6時(shí)該命題不成立 Bn6時(shí)該命題成立Cn4時(shí)該命題不成立 Dn4時(shí)該命題成立解析:選C因?yàn)楫?dāng)nk(kN*)時(shí)命
3、題成立,則當(dāng)nk1時(shí),命題也成立現(xiàn)n5時(shí),命題不成立,故n4時(shí)命題也不成立4(教材習(xí)題改編)用數(shù)學(xué)歸納法證明11),第一步要證的不等式是_解析:當(dāng)n2時(shí),左邊為11,右邊為2.故應(yīng)填12.答案:10),其中r為有理數(shù),且0r1,(1)已知當(dāng)x(0,)時(shí),有f(x)f(1)0,試證明如下命題:設(shè)a10,a20,b1,b2為正有理數(shù),若b1b21,則a1b1a2b2a1b1a2b2;(2)請(qǐng)將(1)中的命題推廣到一般形式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題解題指導(dǎo)(1)對(duì)于不等式的證明要注意利用已知條件進(jìn)行突破;(2)本問數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用相對(duì)而言難度高,運(yùn)算量大,在歸納證明時(shí)一要細(xì)心運(yùn)算,二要注意假
4、設(shè)條件的恰當(dāng)運(yùn)用來源:解(1)由已知,當(dāng)x(0,)時(shí),有f(x)f(1)0,即xrrx(1r)若a1,a2中有一個(gè)為0,則ab11ab22a1b1a2b2成立若a1,a2均不為0,由b1b21,可得b21b1,于是在中令x,rb1,可得b1b1(1b1),即ab11a1b12a1b1a2(1b1),亦即ab11ab22a1b1a2b2.綜上,對(duì)a10,a20,b1,b2為正有理數(shù),且b1b21,總有ab11ab22a1b1a2b2.來源:(2)(1)中命題的推廣形式為:設(shè)a1,a2,an為非負(fù)實(shí)數(shù),b1,b2,bn為正有理數(shù)若b1b2bn1,則ab11ab22abnna1b1a2b2anbn,
5、用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:a當(dāng)n1時(shí),b11,有a1a1,成立b假設(shè)當(dāng)nk時(shí),成立,即若a1,a2,ak為非負(fù)實(shí)數(shù),b1,b2,bk為正有理數(shù),且b1b2bk1,則ab11ab22abkka1b1a2b2akbk.當(dāng)nk1時(shí),已知a1,a2,ak,ak1為非負(fù)實(shí)數(shù),b1,b2,bk,bk1為正有理數(shù),且b1b2bkbk11,此時(shí)0bk10,于是ab11ab22abk1k1(ab11ab22abkk)abk1k1a1a2ak1bk1abk1k1.因?yàn)?,由歸納假設(shè)可得a1a2akaa2ak.從而ab11ab22abkkabk1k11bk1abk1k1.又因?yàn)?1bk1)bk11,由得1bk1abk1
6、k1(1bk1)ak1bk1a1b1a2b2akbkak1bk1,從而ab11ab22abkkabk1k1a1b1a2b2akbkak1bk1.故當(dāng)nk1時(shí),成立由a,b可知,對(duì)一切正整數(shù)n,所推廣的命題成立 名師點(diǎn)評(píng)解決數(shù)學(xué)歸納法中“歸納猜想證明”問題及不等式證明時(shí)要特別關(guān)注:一是需驗(yàn)證n1,n2時(shí)結(jié)論成立,易忽略驗(yàn)證n2;二是需要熟練掌握數(shù)學(xué)歸納法幾種常見的推證技巧,才能快速正確地解決問題除此外,應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí),以下幾點(diǎn)容易造成失分:1把初始值搞錯(cuò);2在推證nk1時(shí),沒有用上歸納假設(shè);3對(duì)項(xiàng)數(shù)估算的錯(cuò)誤,特別是尋找nk與nk1的關(guān)系時(shí),項(xiàng)數(shù)發(fā)生的變化被弄錯(cuò)數(shù)列xn滿足x10,xn1xxn
7、c(nN*)(1)證明:xn是遞減數(shù)列的充分必要條件是c0;來源:(2)求c的取值范圍,使xn是遞增數(shù)列解:(1)證明:先證充分性,若c0,由于xn1xxncxncxn,故xn是遞減數(shù)列;再證必要性,若xn是遞減數(shù)列,則由x2x1,可得c0.(2)()假設(shè)xn是遞增數(shù)列由x10,得x2c,x3c22c.由x1x2x3,得0c1.由xnxn1xxnc知,對(duì)任意n1都有xn0,即xn1.由式和xn0還可得,對(duì)任意n1都有xn1(1)(xn)反復(fù)運(yùn)用式,得xn(1)n1(x1)(1)n1,xn1和 xn(1)n1兩式相加,知21(1)n1對(duì)任意n1成立根據(jù)指數(shù)函數(shù)y(1)n的性質(zhì),得210,c,故0c.()若00,即證xn 對(duì)任意n1成立下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)0c時(shí),xn對(duì)任意n1成立(i)當(dāng)n1時(shí),x10,結(jié)論成立(ii)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)結(jié)論成立,即xn.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)x2xc在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,所以xk1f(xk)f(),這就是說當(dāng)nk1時(shí),結(jié)論也成立故xnxn,即xn是遞增數(shù)列由知,使得數(shù)列xn單調(diào)遞增的c的范圍是.高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品