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1、+2019年數(shù)學高考教學資料+課時限時檢測(四十五)立體幾何中的向量方法(時間：60分鐘滿分：80分)命題報告考查知識點及角度題號及難度基礎中檔稍難利用空間向量解決平行、垂直問題1,36,10利用空間向量求線線角、線面角2,48,9利用空間向量求二面角5,7空間向量的綜合應用11、12一、選擇題(每小題5分，共30分)1若直線l的方向向量為a，平面的法向量為n，有可能使l的是()Aa(1,0,0)，n(2,0,0)Ba(1,3,5)，n(1,0,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1)Da(1，1,3)，n(0,3,1)【解析】若l，則an0.而選項A中an2.選項B中an156.選項C中an

2、1，選項D中an330，故選D.【答案】D2平面的一個法向量為n(1，0)則y軸與平面所成的角的大小為()A.B.C.D.【解析】y軸的方向向量為m(0,1,0)，設y軸與平面所成的角為，則sin |cosm，n|，cosm，n，sin ，.【答案】B3已知平面，的法向量分別為(2,3，5)，v(3，1，4)則()A BC、相交但不垂直 D以上都不正確【解析】，與v不是共線向量，又v233(1)(5)4290，與v不垂直，平面與平面相交但不垂直【答案】C4在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是A1B1和BB1的中點，則直線AM與CN所成角的余弦值為()圖7711A. B.C

3、. D.【解析】以點D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系則A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N，.故0101，|，|，cos ，即直線AM與CN所成角的余弦值為.故選A.【答案】A5二面角的棱上有A，B兩點，直線AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，則該二面角的大小為()A150 B45 C60 D120【解析】如圖所示，二面角的大小就是，22222()2222(2)262428224.因此24，cos，60，故二面角為60.【答案】C6如圖7712，正方形ABCD與矩形A

4、CEF所在平面互相垂直，AB，AF1，M在EF上且AM平面BDE.則M點的坐標為()圖7712A(1,1,1) B.C. D.【解析】M在EF上，設MEx，M，A(，0)，D(，0,0)，E(0,0,1)，B(0，0)，(，0，1)，(0，1)，(x，x，1)設平面BDE的法向量n(a，b，c)，由得abc.故可取一個法向量n(1,1，)n0，x1，M.【答案】C二、填空題(每小題5分，共15分)7在正方體ABCDA1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為_【解析】以A為原點建系，設棱長為1，則A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，(0,1

5、，1)，(1,0，)，設平面A1ED的法向量為n1(1，y，z)，則n1(1,2,2)，平面ABCD的一個法向量為n2(0,0,1)，cosn1，n2.即所成的銳二面角的余弦值為.【答案】8在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCAA11，則D1C1與平面A1BC1所成角的正弦值為_【解析】如圖，建立空間直角坐標系Dxyz，則D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，A1(1,0,1)，B(1,2,0)，(0,2,0)，設平面A1BC1的一個法向量為n(x，y，z)，由得令y1，得n(2,1,2)，設D1C1與平面A1BC1所成角為，則sin |cos，n|，即直線D1C1與平面A1BC

6、1所成角的正弦值為.【答案】9正四棱錐SABCD中，O為頂點在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點，且SOOD，則直線BC與平面PAC所成的角是_【解析】如圖，以O為原點建立空間直角坐標系Oxyz.設ODSOOAOBOCa，則A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P(0，)，則(2a,0,0)，(a，a,0)，設平面PAC的一個法向量為n，可取n(0,1,1)，則cos，n，n60，直線BC與平面PAC所成的角為906030.【答案】30三、解答題(本大題共3小題，共35分)10(10分)(2014青島二中月考)圖7713四棱錐PABCD底面是平行四邊形，面PAB面ABCD，PAP

7、BABAD，BAD60，E，F(xiàn)分別為AD，PC的中點(1)求證：EF面PAB；(2)求證：EF面PBD；(3)求二面角DPAB的余弦值【解】(1)ABD中，AD2AB，BAD60，由余弦定理得BD2AB2AD22ABADcos 60AD2AB2，所以BDAB，ABD90.面PAB面ABCD，BDAB，DB面PAB.建系，z令AB2，A(2,0,0)，D(0,2，0)，P(1,0，)，C(2,2 ,0)(3,0，)(，0,1)因為平面PAB的法向量n2(0,1,0)，n20，EF面PAB.(2)(0,2，0)，(1,0，)，0，0，EFBD，EFBP，EF面PBD.(3)設平面PAD的法向量為n

8、1(x1，y1，z1)，(1,0，)，(2,2，0)，令x所以n1(，1,1)，平面PAB的法向量n2(0,1,0)，cosn1，n2，即二面角DPAB的余弦值為.11(12分)(2013江蘇高考)圖7714如圖7714，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，點D是BC的中點(1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值【解】(1)以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4) ，C1(0,2,4)，所以(2,0，4)

9、，(1，1，4). 因為cos，所以異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為.(2)設平面ADC1的法向量為n1(x，y，z)，因為(1,1,0)，(0,2,4)，所以n10，n10，即xy0且y2z0，取z1，得x2，y2，所以，n1(2，2,1)是平面ADC1的一個法向量取平面AA1B的一個法向量為n2(0,1,0)，設平面ADC1與平面ABA1所成二面角的大小為.由|cos |，得sin .因此，平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值為.12(13分)如圖7715，四邊形ABCD為矩形，PD平面ABCD，PDQA，QAADPD.圖7715(1)求證：平面PQC平面DCQ；(2)若二面

10、角QBPC的余弦值為.求的值【解】(1)證明法一設AD1，則DQ，DP2，又PDQA，PDQAQD45，在DPQ中，由余弦定理可得PQ.DQ2PQ2DP2，PQDQ.又PD平面ABCD，PDDC.CDDA，DAPDD，CD平面ADPQ.PQ平面ADPQ，CDPQ，又CDDQD，PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ.法二如圖，以D為坐標原點，DA，DP，DC所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Dxyz.設AD1，ABm(m0)依題意有D(0,0,0)，C(0,0，m)，P(0,2,0)，Q(1,1,0)則(0,0，m)，(1,1,0)(1，1,0)，所以0，0，即PQDC，PQDQ.又DQDCD.所以PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ.(2)依題意有B(1,0，m)，(1,0,0)，(1,2，m)設n1(x1，y1，z1)是平面PBC的法向量，則即因此可取n1(0，m,2)設n2(x2，y2，z2)是平面PBQ的法向量，則即可取n2(m，m,1)又二面角QBPC的余弦值為，|cosn1，n2|.整理得m47m280.又m0，解得m1.因此，所求的值為1.高考數(shù)學復習精品高考數(shù)學復習精品