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1、+2019年數(shù)學高考教學資料+高考真題備選題庫第二章 函數(shù)、導數(shù)及其應用第九節(jié) 函數(shù)模型及其應用 考點一 函數(shù)模型的實際應用1(2013陜西,5分)在如圖所示的銳角三角形空地中, 欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分), 則其邊長x為_(m)解析:本題主要考查構建函數(shù)模型,利用基本不等式求解應用問題的能力如圖,過A作AHBC于H,交DE于F,易知AFxFH40x.則Sx(40x)2,當且僅當40xx,即x20時取等號所以滿足題意的邊長x為20(m)答案:202(2013重慶,12分)某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度)設該蓄水池的底面半徑為r米,高為h米,體積為V立方米假設建造成
2、本僅與表面積有關,側面的建造成本為100元/平方米,底面的建造成本為160元/平方米,該蓄水池的總建造成本為12 000元(為圓周率)(1)將V表示成r的函數(shù)V(r),并求該函數(shù)的定義域;(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性,并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大解:本題主要考查導數(shù)在實際生活中的應用、導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系等基礎知識,考查轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想(1)因為蓄水池側面的總成本為1002rh200rh元,底面的總成本為160r2元,所以蓄水池的總成本為(200rh160r2)元根據(jù)題意得200rh160r212 000,所以h(3004r2),從而V(r)r2h(300r4r3)由h0,
3、且r0可得0r0,故V(r)在(0,5)上為增函數(shù);當r(5,5)時,V(r)3)千元設該容器的建造費用為y千元(1)寫出y關于r的函數(shù)表達式,并求該函數(shù)的定義域;(2)求該容器的建造費用最小時的r.解:(1)設容器的容積為V,由題意知Vr2lr3,又V,故lr(r)由于l2r,因此0r2.所以建造費用y2rl34r2c2r(r)34r2c,因此y4(c2)r2,0r2.(2)由(1)得y8(c2)r(r3),0r3,所以c20,當r30時,r.令 m,則m0.所以y(rm)(r2rmm2)當0m時,當rm時,y0;當r(0,m)時,y0,所以rm是函數(shù)y的極小值點,也是最小值點當m2即3c時
4、,當r(0,2)時,y0,函數(shù)單調(diào)遞減,所以r2是函數(shù)y的最小值點綜上所述,當3時,建造費用最小時r . 考點二 函數(shù)與其他知識的交匯1(2013安徽,12分)設函數(shù)f(x)ax(1a2)x2,其中a0,區(qū)間Ix|f(x)0(1)求I的長度(注:區(qū)間(,)的長度定義為);(2)給定常數(shù)k(0,1),當1ka1k時,求I長度的最小值解:本題考查含參數(shù)的一元二次不等式的解法、導數(shù)的應用等,意在考查考生恒等變形能力和綜合運用數(shù)學知識分析問題、解決問題的能力(1)因為方程ax(1a2)x20(a0)有兩個實根x10,x2,故f(x)0的解集為x|x1xx2因此區(qū)間I,I的長度為.(2)設d(a),則d
5、(a).令d(a)0,得a1.由于0k1,故當1ka0,d(a)單調(diào)遞增;當1a1k時,d(a)0,d(a)單調(diào)遞減所以當1ka1k時,d(a)的最小值必定在a1k或 a1k處取得而1,故d(1k)d(1k)因此當a1k時,d(a)在區(qū)間1k,1k上取得最小值.2(2012陜西,14分)設函數(shù)f(x)xnbxc(nN,b,cR)(1)設n2,b1,c1,證明:f(x)在區(qū)間(,1)內(nèi)存在唯一零點;(2)設n為偶數(shù),|f(1)|1,|f(1)|1,求b3c的最小值和最大值;(3)設n2,若對任意x1,x21,1,有|f(x1)f(x2)|4,求b的取值范圍解:(1)證明:當b1,c1,n2時,f
6、(x)xnx1.f()f(1)()10,f(x)在(,1)上是單調(diào)遞增的,f(x)在(,1)內(nèi)存在唯一零點(2)法一:由題意知即由圖象知,b3c在點(0,2)處取到最小值6,在點(0,0)處取到最大值0,b3c的最小值為6,最大值為0.法二:由題意知1f(1)1bc1,即2bc0,1f(1)1bc1,即2bc0,2得62(bc)(bc)b3c0,當b0,c2時,b3c6;當bc0時,b3c0,所以b3c的最小值為6,最大值為0.法三由題意知解得b,c,b3c2f(1)f(1)3.又1f(1)1,1f(1)1,6b3c0,當b0,c2時,b3c6;當bc0時,b3c0,所以b3c的最小值為6,最大值為0.(3)當n2時,f(x)x2bxc.對任意x1,x21,1都有|f(x1)f(x2)|4等價于f(x)在1,1上的最大值與最小值之差M4.據(jù)此分類討論如下:()當|1,即|b|2時,M|f(1)f(1)|2|b|4,與題設矛盾()當10,即0b2時,Mf(1)f()(1)24恒成立()當01,即2b0時,Mf(1)f()(1)24恒成立綜上可知,2b2.注:(),()也可合并證明如下:用maxa,b表示a,b中的較大者當11,即2b2時,Mmaxf(1),f(1)f()f()1c|b|(c)(1)24恒成立高考數(shù)學復習精品高考數(shù)學復習精品