《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第七章 ：第五節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)突破熱點(diǎn)題型》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第七章 ：第五節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)突破熱點(diǎn)題型（11頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、+2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料+第五節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) 高頻考點(diǎn)來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)考點(diǎn)一 直線與平面垂直的判定與性質(zhì)1直線與平面垂直的判定與性質(zhì)是每年高考的必考內(nèi)容，題型多為解答題，難度適中，屬中檔題2高考對(duì)直線與平面垂直的判定與性質(zhì)的考查常有以下幾個(gè)命題角度：(1)同真假命題的判斷相結(jié)合考查；(2)以多面體為載體，證明線面垂直問(wèn)題；(3)以多面體為載體，考查與線面垂直有關(guān)的探索性問(wèn)題例1(1)(2013浙江高考)設(shè)m，n是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面()A若m，n，則mnB若m，m，則C若mn，m，則nD若m，則m來(lái)源:(2)(2013廣東高考)如圖1，在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC

2、中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，ADAE，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)G.將ABF沿AF折起，得到如圖2所示的三棱錐ABCF，其中BC.證明：DE平面BCF；證明：CF平面ABF；當(dāng)AD時(shí)，求三棱錐FDEG的體積VFDEG.自主解答(1)設(shè)直線a，b，abA，m，ma，mb.又nm，na，nb，n.(2)證明：在等邊三角形ABC中，ABAC.ADAE，DEBC，DGBF，又BF平面BCF，DG平面BCF，DG平面BCF.同理可證GE平面BCF.DGGEG，平面GDE平面BCF，又DE平面GDE，DE平面BCF.證明：在等邊三角形ABC中，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，AFCF，BFFCBC.在圖2中，

3、BC，BC2BF2FC2，BFC90，CFBF.BFAFF，BF平面ABF，AF平面ABF，CF平面ABF.AD，BD，ADDB21，在圖2中，AFFC，AFBF，又BFFCF，AF平面BCF，由知平面GDE平面BCF，AF平面GDE.在等邊三角形ABC中，AFAB，F(xiàn)GAF，DGBFGE，SDGEDGEG，VFDGESDGEFG.答案(1)C線面垂直問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)與命題真假判斷有關(guān)的問(wèn)題解決此類問(wèn)題的方法是結(jié)合圖形進(jìn)行推理，或者依據(jù)條件舉出反例否定(2)線面垂直的證明證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線

4、面垂直的基本思想(3)線面垂直的探索性問(wèn)題此類問(wèn)題的解決方法同“線面平行的探索性問(wèn)題”的求解方法(見(jiàn)本章第四節(jié)的通關(guān)錦囊)如圖1所示，在RtABC中，C90，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn)，將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如圖2所示(1)求證：DE平面A1CB；(2)求證：A1FBE；(3)線段A1B上是否存在點(diǎn)Q，使A1C平面DEQ？說(shuō)明理由來(lái)源:解：(1)證明：因?yàn)镈，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，所以DEBC.又因?yàn)镈E平面A1CB，BC平面A1CB，所以DE平面A1CB.(2)證明：由已知得ACBC且DEBC，所以DEAC.所以DEA1D，DECD.

5、又A1DCDD，A1D平面A1DC，CD平面A1DC，所以DE平面A1DC.因?yàn)锳1F平面A1DC，所以DEA1F.又因?yàn)锳1FCD，CDDED，CD平面BCDE，DE平面BCDE，所以A1F平面BCDE，又BE平面BCDE，所以A1FBE.(3)線段A1B上存在點(diǎn)Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如圖所示，分別取A1C，A1B的中點(diǎn)P，Q，則PQBC.又因?yàn)镈EBC，所以DEPQ.所以平面DEQ即為平面DEP.由(2)知，DE平面A1DC，所以DEA1C.又因?yàn)镻是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點(diǎn)，所以A1CDP.又DPDED，DP平面DEP，DE平面DEP，所以A1C平面DEP.從而A1

6、C平面DEQ.故線段A1B上存在點(diǎn)Q，使得A1C平面DEQ.考點(diǎn)二面面垂直的判定與性質(zhì) 例2(2014濟(jì)南模擬)如圖，四棱錐PABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點(diǎn)求證：(1)CE平面PAD；(2)平面EFG平面EMN.自主解答(1)法一：取PA的中點(diǎn)H，連接EH，DH.因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，所以EHAB，EHAB.又ABCD，CDAB，所以EHCD，EHCD，因此四邊形DCEH是平行四邊形所以CEDH.又DH平面PAD，CE平面PAD，所以CE平面PAD.法二：連接CF.因?yàn)镕為AB的中點(diǎn)，所以AFAB.又CDAB，所以

7、AFCD.又AFCD，所以四邊形AFCD為平行四邊形因此CFAD.又CF平面PAD，AD平面PAD，所以CF平面PAD.因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)，所以EFPA.又EF平面PAD，PA平面PAD，所以EF平面PAD.因?yàn)镃FEFF，故平面CEF平面PAD.又CE平面CEF，所以CE平面PAD.(2)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)，所以EFPA.又ABPA，所以ABEF.同理可證ABFG.又EFFGF，EF平面EFG，F(xiàn)G平面EFG，因此AB平面EFG.又M，N分別為PD，PC的中點(diǎn)，所以MNCD.又ABCD，所以MNAB，所以MN平面EFG.又MN平面EMN，所以平面EFG平面EMN.

8、【互動(dòng)探究】在本例條件下，證明：平面EMN平面PAC.證明：因?yàn)锳BPA，ABAC，且PAACA，所以AB平面PAC.又MNCD，CDAB，所以MNAB，所以MN平面PAC.又MN平面EMN，所以平面EMN平面PAC. 【方法規(guī)律】面面垂直的性質(zhì)應(yīng)用技巧(1)兩平面垂直，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個(gè)平面這是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直線”(2)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線也垂直于第三個(gè)平面，此性質(zhì)是在課本習(xí)題中出現(xiàn)的，在不是很復(fù)雜的題目中，要對(duì)此進(jìn)行證明如圖所示，三棱柱ABCA1B1C1中， 側(cè)棱A1A底面ABC，且各棱長(zhǎng)均相等，D

9、，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC，A1C1的中點(diǎn)求證：(1)EF平面A1CD；(2)平面A1CD平面A1ABB1.證明：(1)如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，ACA1C1，且ACA1C1，連接ED，在ABC中，因?yàn)镈，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以DEAC，且DEAC.又F為A1C1的中點(diǎn)，所以A1FA1CAC，且A1FA1C1AC，所以A1FDE，且A1FDE，即四邊形A1DEF為平行四邊形，所以EFDA1.又EF平面A1CD，DA1平面A1CD，所以EF平面A1CD.(2)由于底面ABC是正三角形，D為AB的中點(diǎn)，來(lái)源:故CDAB，又側(cè)棱A1A底面ABC，CD平面ABC，所以AA1CD，

10、又AA1ABA，因此CD平面A1ABB1，而CD平面A1CD，所以平面A1CD平面A1ABB1.考點(diǎn)三垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用 例3如圖所示，在四棱錐PABCD中，AB平面PAD，ABCD，PDAD，E是PB的中點(diǎn)，F(xiàn)是DC上的點(diǎn)且DFAB，PH為PAD中AD邊上的高(1)證明：PH平面ABCD；(2)若PH1，AD，F(xiàn)C1，求三棱錐EBCF的體積；(3)證明：EF平面PAB.自主解答(1)證明：由于AB平面PAD，PH平面PAD，故ABPH.又PH為PAD中AD邊上的高，ADPH.ABADA，AB平面ABCD，AD平面ABCD，PH平面ABCD.(2)由于PH平面ABCD，E為PB的中點(diǎn)，PH1，

11、故E到平面ABCD的距離hPH.又ABCD，ABAD，ADCD，故SBCFFCAD1.因此VEBCFSBCFh.(3)證明：過(guò)E作EGAB交PA于G，連接DG.由于E為PB的中點(diǎn)，所以G為PA的中點(diǎn)ADPD，DGPA.AB平面PAD，DG平面PAD，ABDG.又ABPAA，AB平面PAB，PA平面PAB，DG平面PAB.又GEAB，GE=AB，DFAB，DF=ABGEDF. GE=DF.四邊形DFEG為平行四邊形，故DGEF.EF平面PAB.【方法規(guī)律】垂直關(guān)系綜合題的類型及解法(1)三種垂直的綜合問(wèn)題一般通過(guò)作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化(2)垂直與平行結(jié)合問(wèn)題求解時(shí)應(yīng)注意平行、垂

12、直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用(3)垂直與體積結(jié)合問(wèn)題在求體積時(shí)，可根據(jù)線面垂直得到表示高的線段，進(jìn)而求得體積如圖所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中(側(cè)棱垂直于底面的三棱柱叫直三棱柱)，ABBB1，AC1平面A1BD，D為AC的中點(diǎn)求證：(1)B1C平面A1BD；(2)B1C1平面ABB1A1.證明：(1)如圖所示，連接AB1，交A1B于點(diǎn)O，則O為AB1的中點(diǎn)連接OD，D為AC的中點(diǎn)，在ACB1中，有ODB1C.又OD平面A1BD，B1C平面A1BD.B1C平面A1BD.(2)ABB1B，三棱柱ABCA1B1C1為直三棱柱，四邊形ABB1A1為正方形A1BAB1.又AC1平面A1BD，A1B平

13、面A1BD，AC1A1B.又AC1平面AB1C1，AB1平面AB1C1，AC1AB1A，A1B平面AB1C1.又B1C1平面AB1C1，A1BB1C1.又A1A平面A1B1C1，B1C1平面A1B1C1，A1AB1C1.又A1A平面ABB1A1，A1B平面ABB1A1，A1AA1BA1，B1C1平面ABB1A1.考點(diǎn)四線面角、二面角的求法例4(2014杭州模擬)在幾何體中，AA1平面ABC，ABBC，CC1AA1，ABBCAA12，CC11，D，E分別是AB，AA1的中點(diǎn)(1)求證：BC1平面CDE；(2)求二面角EDCA的平面角的正切值自主解答(1)證明：連接AC1交EC于點(diǎn)F，連接EC1，

14、由題意知四邊形ACC1E是矩形，則F是AC1的中點(diǎn)，連接DF，D是AB的中點(diǎn)，DF是ABC1的中位線，BC1DF，BC1平面CDE，DF平面CDE，BC1平面CDE. (2)過(guò)點(diǎn)A作AH直線CD，垂足為H，連接HE，AA1平面ABC，AA1CD，又AHAA1A，AH，AA1平面AHE，CD平面AHE，CDEH，AHE是二面角EDCA的平面角D是AB的中點(diǎn)，AH等于點(diǎn)B到CD的距離，在BCD中，求得點(diǎn)B到CD的距離為，則AH.在AEH中，tan AHE，即所求二面角的正切值為.【方法規(guī)律】1求斜線與平面所成的角的步驟(1)作圖：作(或找)出斜線在平面上的射影，將空間角(斜線與平面所成的角)轉(zhuǎn)化為

15、平面角(兩條相交直線所成的銳角)，作射影要過(guò)斜線上一點(diǎn)作平面的垂線，再過(guò)垂足和斜足(有時(shí)可以是兩垂足)作直線，注意斜線上點(diǎn)的選取以及垂足的位置要與問(wèn)題中已知量有關(guān)，才能便于計(jì)算(2)證明：證明某平面角就是斜線與平面所成的角(3)計(jì)算：通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計(jì)算2求二面角的步驟(1)作出二面角的平面角；(2)證明該角就是二面角的平面角；(3)計(jì)算該角的大小以上3步簡(jiǎn)記為作、證、算3作二面角平面角的方法法一：(定義法)在二面角的棱上找一特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線如圖，AOB為二面角a的平面角法二：(垂面法)過(guò)棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)

16、生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角如圖，AOB為二面角l的平面角法三：(垂線法)過(guò)二面角的一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線，過(guò)垂足作棱的垂線，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補(bǔ)角如圖，AFE為二面角ABCD的平面角(2012廣東高考)如圖所示，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD為矩形，PA平面ABCD，點(diǎn)E在線段PC上，PC平面BDE.(1)證明：BD平面PAC；(2)若PA1，AD2，求二面角B PCA的正切值解：(1)證明：PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD.同理由PC平面BDE可證得PCBD.又PAPCP，PA、PC平面PAC，BD平面PAC.(2)如圖，設(shè)BD

17、與AC交于點(diǎn)O，連接OE.PC平面BDE，BE、OE平面BDE，PCBE，PCOE.BEO即為二面角BPCA的平面角由(1)知BD平面PAC.又OE、AC平面PAC，BDOE，BDAC.故矩形ABCD為正方形，BDAC2，BOBD.由PA平面ABCD，BC平面ABCD，得PABC.又BCAB，PAABA，PA，AB平面PAB，BC平面PAB.而PB平面PAB，BCPB.在RtPAB中，PB，在RtPAC中，PC3，在RtPBC中，由PBBCPCBE，得BE.在RtBOE中，OE.tan BEO3，即二面角BPCA的正切值為3.課堂歸納通法領(lǐng)悟1個(gè)轉(zhuǎn)化三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化在證明兩平面垂直時(shí)一般先從

18、現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若圖中不存在這樣的直線，則可通過(guò)作輔助線來(lái)解決如有平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直3種方法三種垂直關(guān)系的證明來(lái)源:(1)判定線線垂直的方法定義：兩條直線所成的角為90；平面幾何中證明線線垂直的方法；線面垂直的性質(zhì)：a，bab；線面垂直的性質(zhì)：a，bab.(2)判定線面垂直的常用方法利用線面垂直的判定定理；利用“兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與這個(gè)平面垂直”；利用“一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則與另一個(gè)也垂直”；利用面面垂直的性質(zhì)(3)判定面面垂直的方法利用定義：兩個(gè)平面相交，所成的二面角是直二面角；判定定理：a，a.高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品