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1、2019屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料高考真題備選題庫(kù)第3章 三角函數(shù)、解三角形第7節(jié) 正弦定理和余弦定理考點(diǎn) 正、余弦定理及其應(yīng)用1(2013新課標(biāo)全國(guó),5分)已知銳角ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,23cos2Acos 2A0,a7,c6,則b()A10B9C8 D5解析:選D本題主要考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn),考查利用余弦定理解三解形以及方程思想化簡(jiǎn)23cos2Acos 2A0,得23cos2A2cos2 A10,解得cos A.由余弦定理,知a2b2c22bccos A,代入數(shù)據(jù),解方程,得b5.2(2013山東,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若B2A,a1,b,則c
2、()A2 B2C. D1解析:選B本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用,考查運(yùn)算能力和分類討論思想由已知及正弦定理得,所以cos A,A30.結(jié)合余弦定理得12()2c22c,整理得c23c20,解得c1或c2.當(dāng)c1時(shí),ABC為等腰三角形,AC30,B2A60,不滿足內(nèi)角和定理,故c2.3(2013遼寧,5分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若asin Bcos Ccsin B cos Ab,且ab,則B()A. B.C. D.解析:選A本題主要考查正弦定理、誘導(dǎo)公式、三角形內(nèi)角和定理,意在考查考生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握情況邊換角后約去sin B,得sin(AC
3、),所以sin B,但B非最大角,所以B.4(2013北京,5分)在ABC中,a3,b5,sin A,則sin B()A. B.C. D. 1解析:選B本題主要考查正弦定理,意在考查考生對(duì)正、余弦定理掌握的熟練程度,屬于容易題依題意,由,即,得sin B,選B.5(2013陜西,5分)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若bcos Cccos Ba sinA,則ABC的形狀為()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D不確定解析:本題考查正弦定理和兩角和的正弦公式的逆用依據(jù)題設(shè)條件的特點(diǎn),由正弦定理,得sin Bcos Ccos Bsin Csin2A,有sin(BC)sin2
4、A,從而sin(BC)sin Asin2A,解得sin A1,A,故選B.答案:B6(2100湖南,5分)在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c.若C120,ca,則()Aab BabCab Da與b的大小關(guān)系不能確定解析:法一:由余弦定理得2a2a2b22abcos120,b2aba20,即()210,1,故ba.法二:由余弦定理得2a2a2b22abcos120,b2aba20,b,由aab得,ba.答案:A7(2012廣東,5分)在ABC中,若A60,B45,BC3,則AC()A4 B2C. D.解析:由正弦定理得:,即,所以AC2.答案:B8(2012陜西,5分)在ABC中
5、,角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c.若a2,B,c2,則b_.解析:由余弦定理得b2a2c22accos B4122224,所以b2.答案:29(2011新課標(biāo)全國(guó),5分)ABC中,B120,AC7,AB5,則ABC的面積為_解析:設(shè)BCx,由余弦定理得4925x210xcos120,整理得:x25x240,即x3.因此SABCABBCsinB35.答案:10(2010江蘇,5分)在銳角ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若6cosC,則的值是_解析:取ab1,則cosC,由余弦定理得c2a2b22abcosC,c,在如圖所示的等腰三角形ABC中,可得tanAtanB,又sin
6、C,tanC2,4.另解:由6cosC得,6,即a2b2c2,tanC()4.答案:411(2013福建,12分)如圖,在等腰直角OPQ中,POQ90,OP2,點(diǎn)M在線段PQ上(1)若OM,求PM的長(zhǎng);(2)若點(diǎn)N在線段MQ上,且MON30,問:當(dāng)POM取何值時(shí),OMN的面積最?。坎⑶蟪雒娣e的最小值解:本題主要考查解三角形、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、抽象概括能力、運(yùn)算求解能力,考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想(1)在OMP中,OPM45,OM,OP2,由余弦定理,得OM2OP2MP22OPMPcos 45,得MP24MP30,解得
7、MP1或MP3.(2)設(shè)POM,060,在OMP中,由正弦定理,得,所以O(shè)M,同理ON.故SOMNOMONsin MON.因?yàn)?60,則30230150,所以當(dāng)30時(shí),sin(230)的最大值為1,此時(shí)OMN的面積取到最小值即POM30時(shí),OMN的面積的最小值為84.12(2013浙江,14分)在銳角ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且2asin Bb.(1)求角A的大?。?2) 若a6,bc8,求ABC的面積解:本題主要考查正、余弦定理、三角形面積公式及三角運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查運(yùn)算求解能力(1)由2asin Bb及正弦定理,得sin A.因?yàn)锳是銳角,所以A.(2)由余弦定
8、理a2b2c22bccos A,得b2c2bc36.又bc8,所以bc.由三角形面積公式Sbcsin A,得ABC的面積為.13(2013天津,13分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.已知bsin A3csin B,a3,cos B. (1)求b的值; (2)求sin的值解:本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦與余弦公式、兩角差的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力(1)在ABC中,由,可得bsin Aasin B,又由bsin A3csin B,可得a3c,又a3,故c1.由b2a2c22accos B,cos B,可得b.(2)由cos
9、 B,得sin B,從而得cos 2B2cos2 B1,sin 2B2sin Bcos B.所以sinsin 2Bcos cos 2Bsin .14(2012江西,12分)在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知3cos(BC)16cos Bcos C.(1)求cos A;(2)若a3,ABC的面積為2,求b,c.解:(1)由3cos(BC)16cos Bcos C,得3(cos Bcos Csin Bsin C)1,即cos(BC),從而cos Acos(BC).(2)由于0A,cos A,所以sin A.又SABC2,即bcsin A2,解得bc6.由余弦定理a2b2c22bc
10、cos A,得b2c213,解方程組得或15(2011安徽,13分)在ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng),a,b,12cos(BC)0,求邊BC上的高解:由12cos(BC)0和BCA,得12cosA0,所以cosA,sinA.再由正弦定理,得sinB.由ba知BA,所以B不是最大角,B,從而cosB.由上述結(jié)果知sinCsin(AB)().設(shè)邊BC上的高為h,則有hbsinC.16(2010遼寧,12分)在ABC中a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.(1)求A的大小;(2)若sinBsinC1,試判斷ABC的形狀解:(1)由已知,根據(jù)正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c,即a2b2c2bc.由余弦定理得a2b2c22bccosA,故cosA,又A(0,),故A120.(2)由(1)得sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.又sinBsinC1,得sinBsinC.因?yàn)?B90,0C90,故BC.所以ABC是等腰的鈍角三角形高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品