《數(shù)學(xué) 理一輪對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練：323 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 Word版含解析》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué) 理一輪對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練：323 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 Word版含解析（13頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 1.設(shè)f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)>0，則關(guān)于x的函數(shù)g(x)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A1 B2C0 D0或2答案C解析由f(x)>0，得>0，當(dāng)x>0時(shí)，xf(x)f(x)>0，即xf(x)>0，函數(shù)xf(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x<0時(shí)，xf(x)f(x)<0，即xf(x)<0，函數(shù)xf(x)單調(diào)遞減xf(x)>0f(0)0，又g(x)f(x)x1，函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)yxf(x)1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)當(dāng)x>0時(shí)，yxf(x)1>1，當(dāng)x<0時(shí)，yxf(x)1>1，所以函數(shù)yxf(x)1無

2、零點(diǎn)，所以函數(shù)g(x)f(x)x1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.故選C.2設(shè)函數(shù)f(x)是定義在(，0)上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且有2f(x)xf(x)>x2，則不等式(x20xx)2f(x20xx)4f(2)>0的解集為_答案(，20xx)解析由2f(x)xf(x)>x2，x<0得2xf(x)x2f(x)<x3，x2f(x)<x3<0.令F(x)x2f(x)(x<0)，則F(x)<0(x<0)，即F(x)在(，0)上是減函數(shù)，因?yàn)镕(x20xx)(x20xx)2f(x20xx)，F(xiàn)(2)4f(2)，所以不等式(x20xx)2f(x20x

3、x)4f(2)>0即為F(x20xx)F(2)>0，即F(x20xx)>F(2)，又因?yàn)镕(x)在(，0)上是減函數(shù)，所以x20xx<2，x<20xx.3已知f(x)axcosx，x.若x1，x2，x1x2，<0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_答案a解析f(x)asinx.依題意可知f(x)在上為減函數(shù)，所以f(x)0對(duì)x恒成立，可得asinx對(duì)x恒成立設(shè)g(x)sinx，x.易知g(x)為減函數(shù)，故g(x)min，所以a.4設(shè)函數(shù)f(x)emxx2mx. (1)證明：f(x)在(，0)單調(diào)遞減，在(0，)單調(diào)遞增；(2)若對(duì)于任意x1，x21,1，都有|f(x1)

4、f(x2)|e1，求m的取值范圍解(1)證明：f(x)m(emx1)2x.若m0，則當(dāng)x(，0)時(shí)，emx10，f(x)<0；當(dāng)x(0，)時(shí)，emx10，f(x)>0.若m<0，則當(dāng)x(，0)時(shí)，emx1>0，f(x)<0；當(dāng)x(0，)時(shí)，emx1<0，f(x)>0.所以，f(x)在(，0)單調(diào)遞減，在(0，)單調(diào)遞增(2)由(1)知，對(duì)任意的m，f(x)在1,0單調(diào)遞減，在0,1單調(diào)遞增，故f(x)在x0處取得最小值所以對(duì)于任意x1，x21,1，|f(x1)f(x2)|e1的充要條件是即設(shè)函數(shù)g(t)ette1，則g(t)et1.當(dāng)t<0時(shí)，g

5、(t)<0；當(dāng)t>0時(shí)，g(t)>0.故g(t)在(，0)單調(diào)遞減，在(0，)單調(diào)遞增又g(1)0，g(1)e12e<0，故當(dāng)t1,1時(shí)，g(t)0.當(dāng)m1,1時(shí)，g(m)0，g(m)0，即式成立；當(dāng)m>1時(shí)，由g(t)的單調(diào)性，g(m)>0，即emm>e1；當(dāng)m<1時(shí)，g(m)>0，即emm>e1.綜上，m的取值范圍是1,15設(shè)a>1，函數(shù)f(x)(1x2)exa.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：f(x)在(，)上僅有一個(gè)零點(diǎn)；(3)若曲線yf(x)在點(diǎn)P處的切線與x軸平行，且在點(diǎn)M(m，n)處的切線與直線OP平行(O

6、是坐標(biāo)原點(diǎn))，證明：m 1.解(1)f(x)2xex(1x2)ex(x22x1)ex(x1)2ex0，故f(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，其單調(diào)增區(qū)間是(，)，無單調(diào)減區(qū)間(2)證明：因?yàn)閒(0)(102)e0a1a<0，且f(ln a)(1ln2a)eln aa(1ln2a)aaaln2a>0，由零點(diǎn)存在性定理知，f(x)在(，)上至少有一個(gè)零點(diǎn)又由(1)知，函數(shù)f(x)是(，)上的單調(diào)遞增函數(shù)，故函數(shù)f(x)在(，)上僅有一個(gè)零點(diǎn) (3)證明：設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，由曲線yf(x)在點(diǎn)P處的切線與x軸平行知，f(x0)0，即f(x0)(x01)2ex00，(x01)20，x01，即

7、P(1,2e1a)由點(diǎn)M(m，n)處的切線與直線OP平行知，f(m)kOP，即(1m)2ema.由em1m知，(1m)3(1m)2ema，即1m ，即m 1.6已知函數(shù)f(x)nxxn，xR，其中nN*，且n2.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)曲線yf(x)與x軸正半軸的交點(diǎn)為P，曲線在點(diǎn)P處的切線方程為yg(x)，求證：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)x，都有f(x)g(x)；(3)若關(guān)于x的方程f(x)a(a為實(shí)數(shù))有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根x1，x2，求證：|x2x1|<2.解(1)由f(x)nxxn，可得f(x)nnxn1n(1xn1)，其中nN*，且n2.下面分兩種情況討論：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)令f(x)0，

8、解得x1，或x1.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，1)(1,1)(1，)f(x)f(x)所以，f(x)在(，1)，(1，)上單調(diào)遞減，在(1,1)內(nèi)單調(diào)遞增當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)當(dāng)f(x)>0，即x<1時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)f(x)<0，即x>1時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減所以，f(x)在(，1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減(2)證明：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,0)，則x0n，f(x0)nn2.曲線yf(x)在點(diǎn)P處的切線方程為yf(x0)(xx0)，即g(x)f(x0)(xx0)令F(x)f(x)g(x)，即F(x)f(x)f(x0)(xx0)，則F(x

9、)f(x)f(x0)由于f(x)nxn1n在(0，)上單調(diào)遞減，故F(x)在(0，)上單調(diào)遞減又因?yàn)镕(x0)0，所以當(dāng)x(0，x0)時(shí)，F(xiàn)(x)>0，當(dāng)x(x0，)時(shí)，F(xiàn)(x)<0，所以F(x)在(0，x0)上單調(diào)遞增，在(x0，)上單調(diào)遞減，所以對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)x，都有F(x)F(x0)0，即對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)x，都有f(x)g(x)(3)證明：不妨設(shè)x1x2.由(2)知g(x)(nn2)(xx0)設(shè)方程g(x)a的根為x2，可得x2x0.當(dāng)n2時(shí)，g(x)在(，)上單調(diào)遞減又由(2)知g(x2)f(x2)ag(x2)，可得x2x2.類似地，設(shè)曲線yf(x)在原點(diǎn)處的切線方程為y

10、h(x)，可得h(x)nx.當(dāng)x(0，)，f(x)h(x)xn<0，即對(duì)于任意的x(0，)，f(x)<h(x)設(shè)方程h(x)a的根為x1，可得x1.因?yàn)閔(x)nx在(，)上單調(diào)遞增，且h(x1)af(x1)<h(x1)，因此x1<x1.由此可得x2x1<x2x1x0.因?yàn)閚2，所以2n1(11)n11C1n1n，故2nx0.所以|x2x1|<2.7已知函數(shù)f(x)ln (1x)，g(x)kx(kR)(1)證明：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<x；(2)證明：當(dāng)k<1時(shí)，存在x0>0，使得對(duì)任意的x(0，x0)，恒有f(x)>g(x)；(

11、3)確定k的所有可能取值，使得存在t>0，對(duì)任意的x(0，t)，恒有|f(x)g(x)|<x2.解(1)證明：令F(x)f(x)xln (1x)x，x0，)，則有F(x)1.當(dāng)x(0，)時(shí)，F(xiàn)(x)<0，所以F(x)在0，)上單調(diào)遞減，故當(dāng)x>0時(shí)，F(xiàn)(x)<F(0)0，即當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<x.(2)證明：令G(x)f(x)g(x)ln (1x)kx，x0，)，則有G(x)k.當(dāng)k0時(shí)，G(x)>0，故G(x)在0，)上單調(diào)遞增，G(x)>G(0)0，故任意正實(shí)數(shù)x0均滿足題意當(dāng)0<k<1時(shí)，令G(x)0，得x1>0，

12、取x01，對(duì)任意x(0，x0)，有G(x)>0，從而G(x)在0，x0)上單調(diào)遞增，所以G(x)>G(0)0，即f(x)>g(x)綜上，當(dāng)k<1時(shí)，總存在x0>0，使得對(duì)任意x(0，x0)，恒有f(x)>g(x)(3)解法一：當(dāng)k>1時(shí)，由(1)知，x(0，)，g(x)>x>f(x)，故g(x)>f(x)，|f(x)g(x)|g(x)f(x)kxln (1x)令M(x)kxln (1x)x2，x0，)，則有M(x)k2x.故當(dāng)x時(shí)，M(x)>0，M(x)在上單調(diào)遞增，故M(x)>M(0)0，即|f(x)g(x)|>x

13、2.所以滿足題意的t不存在當(dāng)k<1時(shí)，由(2)知，存在x0>0，使得當(dāng)x(0，x0)時(shí)，f(x)>g(x)，此時(shí)|f(x)g(x)|f(x)g(x)ln (1x)kx.令N(x)ln (1x)kxx2，x0，)，則有N(x)k2x ，當(dāng)x時(shí)，N(x)>0，N(x)在上單調(diào)遞增，故N(x)>N(0)0，即f(x)g(x)>x2.記x0與中的較小者為x1，則當(dāng)x(0，x1)時(shí)，恒有|f(x)g(x)|>x2.故滿足題意的t不存在當(dāng)k1時(shí)，由(1)知，當(dāng)x>0時(shí)，|f(x)g(x)|g(x)f(x)xln (1x)令H(x)xln (1x)x2，x0，

14、)，則有H(x)12x.當(dāng)x>0時(shí)，H(x)<0，所以H(x)在0，)上單調(diào)遞減，故H(x)<H(0)0.故當(dāng)x>0時(shí)，恒有|f(x)g(x)|<x2.此時(shí)，任意正實(shí)數(shù)t均滿足題意綜上，k1.解法二：當(dāng)k>1時(shí)，由(1)知，x(0，)，g(x)>x>f(x)，故|f(x)g(x)|g(x)f(x)kxln (1x)>kxx(k1)x.令(k1)x>x2，解得0<x<k1.從而得到，當(dāng)k>1時(shí)，對(duì)于x(0，k1)，恒有|f(x)g(x)|>x2，故滿足題意的t不存在當(dāng)k<1時(shí)，取k1，從而k<k1&l

15、t;1，由(2)知，存在x0>0，使得x(0，x0)，f(x)>k1x>kxg(x)，此時(shí)|f(x)g(x)|f(x)g(x)>(k1k)xx.令x>x2，解得0<x<，此時(shí)f(x)g(x)>x2.記x0與中的較小者為x1，當(dāng)x(0，x1)時(shí)，恒有|f(x)g(x)|>x2.故滿足題意的t不存在當(dāng)k1時(shí)，由(1)知，x>0，|f(x)g(x)|g(x)f(x)xln (1x)，令M(x)xln (1x)x2，x0，)，則有M(x)12x.當(dāng)x>0時(shí)，M(x)<0，所以M(x)在0，)上單調(diào)遞減，故M(x)<M(0)0

16、.故當(dāng)x>0時(shí)，恒有|f(x)g(x)|<x2，此時(shí)，任意正實(shí)數(shù)t均滿足題意綜上，k1.8已知函數(shù)f(x)ln .(1)求曲線yf(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程；(2)求證：當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)>2；(3)設(shè)實(shí)數(shù)k使得f(x)>k對(duì)x(0,1)恒成立，求k的最大值解(1)因?yàn)閒(x)ln (1x)ln(1x)，所以f(x)，f(0)2.又因?yàn)閒(0)0，所以曲線yf(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程為y2x.(2)證明：令g(x)f(x)2，則g(x)f(x)2(1x2).因?yàn)間(x)>0(0<x<1)，所以g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)

17、遞增所以g(x)>g(0)0，x(0,1)，即當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)>2.(3)由(2)知，當(dāng)k2時(shí)，f(x)>k對(duì)x(0,1)恒成立當(dāng)k>2時(shí)，令h(x)f(x)k，則h(x)f(x)k(1x2).所以當(dāng)0<x< 時(shí)，h(x)<0，因此h(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減當(dāng)0<x< 時(shí)，h(x)<h(0)0，即f(x)<k.所以當(dāng)k>2時(shí)，f(x)>k并非對(duì)x(0,1)恒成立綜上可知，k的最大值為2.9已知函數(shù)f(x)ln xax22x(a<0)(1)若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；(2)若a且關(guān)于

18、x的方程f(x)xb在1,4上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍解(1)f(x)(x>0)依題意f(x)0在x>0時(shí)恒成立，即ax22x10在x>0時(shí)恒成立則a21在x>0時(shí)恒成立，即amin(x>0)，當(dāng)x1時(shí)，21取最小值1.a的取值范圍是(，1(2)a，f(x)xbx2xln xb0.設(shè)g(x)x2xln xb(x>0)則g(x).列表：x(0,1)1(1,2)2(2,4)g(x)00g(x)極大值極小值g(x)極小值g(2)ln 2b2，g(x)極大值g(1)b，又g(4)2ln 2b2，方程g(x)0在1,4上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則得l

19、n 22<b.10.如圖，現(xiàn)要在邊長(zhǎng)為100 m的正方形ABCD內(nèi)建一個(gè)交通“環(huán)島”以正方形的四個(gè)頂點(diǎn)為圓心在四個(gè)角分別建半徑為x m(x不小于9)的扇形花壇，以正方形的中心為圓心建一個(gè)半徑為x2 m的圓形草地為了保證道路暢通，島口寬不小于60 m，繞島行駛的路寬均不小于10 m.(1)求x的取值范圍(運(yùn)算中取1.4)；(2)若中間草地的造價(jià)為a元/m2，四個(gè)花壇的造價(jià)為ax 元/m2，其余區(qū)域的造價(jià)為元/m2，當(dāng)x取何值時(shí)，可使“環(huán)島”的整體造價(jià)最低？解(1)由題意得，解得，即9x15.所以x的取值范圍是9,15(2)記“環(huán)島”的整體造價(jià)為y元，則由題意得ya××2ax×x2×x312x2，令f(x)x4x312x2，則f(x)x34x224x4x，由f(x)0，解得x10或x15或x0(舍)，列表如下：x9(9,10)10(10,15)15f(x)00f(x)極小值所以當(dāng)x10時(shí)，y取最小值即當(dāng)x10時(shí)，可使“環(huán)島”的整體造價(jià)最低