《高三數(shù)學第21練 利用導數(shù)研究不等式問題練習》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《高三數(shù)學第21練 利用導數(shù)研究不等式問題練習(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、 第21練 利用導數(shù)研究不等式問題訓練目標(1)利用導數(shù)處理與不等式有關的題型;(2)解題步驟的規(guī)范訓練訓練題型(1)利用導數(shù)證明不等式;(2)利用導數(shù)解決不等式恒成立問題及存在性問題;(3)利用導數(shù)證明與數(shù)列有關的不等式解題策略(1)構造與所證不等式相關的函數(shù);(2)利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性或者最值再證明不等式;(3)處理恒成立問題注意參變量分離.1.已知函數(shù)f(x)x2axalnx(aR)(1)若函數(shù)f(x)在x1處取得極值,求a的值;(2)在(1)的條件下,求證:f(x)4x.2(20xx·煙臺模擬)已知函數(shù)f(x)x2ax,g(x)lnx,h(x)f(x)g(x)(1)若函數(shù)
2、yh(x)的單調(diào)減區(qū)間是,求實數(shù)a的值;(2)若f(x)g(x)對于定義域內(nèi)的任意x恒成立,求實數(shù)a的取值范圍3(20xx·山西四校聯(lián)考)已知f(x)lnxxa1.(1)若存在x(0,),使得f(x)0成立,求a的取值范圍;(2)求證:在(1)的條件下,當x>1時,x2axa>xlnx成立4.已知函數(shù)f(x)(2a)lnx2ax.(1)當a<0時,討論f(x)的單調(diào)性;(2)若對任意的a(3,2),x1,x21,3,恒有(mln 3)a2ln 3>|f(x1)f(x2)|成立,求實數(shù)m的取值范圍5(20xx·福州質(zhì)檢)設函數(shù)f(x)exax1.(1)
3、當a>0時,設函數(shù)f(x)的最小值為g(a),求證:g(a)0;(2)求證:對任意的正整數(shù)n,都有1n12n13n1nn1<(n1)n1.答案精析1(1)解f(x)2xa,由題意可得f(1)0,解得a1.經(jīng)檢驗,a1時f(x)在x1處取得極值,所以a1.(2)證明由(1)知,f(x)x2xlnx,令g(x)f(x)3xlnx,由g(x)x23x33(x1)(x>0),可知g(x)在(0,1)上是減函數(shù),在(1,)上是增函數(shù),所以g(x)g(1)0,所以f(x)4x成立2解(1)由題意可知,h(x)x2axlnx(x>0),由h(x)(x>0),若h(x)的單調(diào)減區(qū)
4、間是,由h(1)h0,解得a3,而當a3時,h(x)(x>0)由h(x)<0,解得x,即h(x)的單調(diào)減區(qū)間是,a3.(2)由題意知x2axlnx(x>0),ax(x>0)令(x)x(x>0),則(x),yx2lnx1在(0,)上是增函數(shù),且x1時,y0.當x(0,1)時,(x)<0;當x(1,)時,(x)>0,即(x)在(0,1)上是減函數(shù),在(1,)上是增函數(shù),(x)min(1)1,故a1.即實數(shù)a的取值范圍為(,13(1)解原題即為存在x>0,使得lnxxa10,alnxx1,令g(x)lnxx1,則g(x)1.令g(x)0,解得x1.當0
5、<x<1時,g(x)<0,g(x)為減函數(shù),當x>1時,g(x)>0,g(x)為增函數(shù),g(x)ming(1)0,ag(1)0.故a的取值范圍是0,)(2)證明原不等式可化為x2axxlnxa>0(x>1,a0)令G(x)x2axxlnxa,則G(1)0.由(1)可知xlnx1>0,則G(x)xalnx1xlnx1>0,G(x)在(1,)上單調(diào)遞增,G(x)>G(1)0成立,x2axxlnxa>0成立,即x2axa>xlnx成立4解(1)求導可得f(x)2a,令f(x)0,得x1,x2,當a2時,f(x)0,函數(shù)f(x)在
6、定義域(0,)內(nèi)單調(diào)遞減;當2<a<0時,在區(qū)間(0,),(,)上f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,在區(qū)間(,)上f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當a<2時,在區(qū)間(0,),(,)上f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,在區(qū)間(,)上f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增(2)由(1)知當a(3,2)時,函數(shù)f(x)在區(qū)間1,3上單調(diào)遞減,所以當x1,3時,f(x)maxf(1)12a,f(x)minf(3)(2a)ln 36a.問題等價于:對任意的a(3,2),恒有(mln 3)a2ln 3>12a(2a)ln 36a成立,即am>4a,因為a<0
7、,所以m<4,因為a(3,2),所以只需m(4)min,所以實數(shù)m的取值范圍為(,5證明(1)由a>0及f(x)exa可得,函數(shù)f(x)在(,lna)上單調(diào)遞減,在(lna,)上單調(diào)遞增,故函數(shù)f(x)的最小值為g(a)f(lna)elnaalna1aalna1,則g(a)lna,故當a(0,1)時,g(a)>0;當a(1,)時,g(a)<0,從而可知g(a)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,)上單調(diào)遞減,且g(1)0,故g(a)0.(2)由(1)可知,當a1時,總有f(x)exx10,當且僅當x0時等號成立,即當x>0時,總有ex>x1.于是,可得(x1)n1<(ex)n1e(n1)x.令x1,即x,可得n1<en;令x1,即x,可得n1<e(n1);令x1,即x,可得n1<e(n2);令x1,即x,可得n1<e1.對以上各式求和可得:n1n1n1n1<ene(n1)e(n2)e1<<1.故對任意的正整數(shù)n,都有1n12n13n1nn1<(n1)n1.