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1、
跟蹤強(qiáng)化訓(xùn)練(十七)
一、選擇題
1．(20xx·湖南衡陽(yáng)一模)已知等差數(shù)列{an}中，a2＝7，a4＝15，則{an}前10項(xiàng)的和S10＝( )
A．100 B．210 C．380 D．400
[解析] 公差d＝＝＝4，∴a1＝7－4＝3，
∴S10＝10×3＋×4＝210，故選B.
[答案] B
2．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a1＋1，a3＋4，a5＋7成等差數(shù)列，則公差d為( )
A．2 B．3 C．4 D．5
[解析] 設(shè){an}的公比為q，由題意得2(a3＋4)＝a1＋1＋a5＋7?2a3＝a1＋a5?2q
2、2＝1＋q4?q2＝1，即a1＝a3，d＝a3＋4－(a1＋1)＝4－1＝3，選B.
[答案] B
3．(20xx·唐山一模)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝，若a4＝32，則a1的值為( )
A. B. C. D.
[解析] ∵Sn＝，a4＝32，∴S4－S3＝－＝32，∴a1＝，選A.
[答案] A
4．(20xx·天津卷)設(shè){an}是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，則“q<0”是“對(duì)任意的正整數(shù)n，a2n－1＋a2n<0”的( )
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
[
3、解析] 由題意得，an＝a1qn－1(a1>0)，a2n－1＋a2n＝a1q2n－2＋a1q2n－1＝a1q2n－2(1＋q)．若q<0，因?yàn)?＋q的符號(hào)不確定，所以無(wú)法判斷a2n－1＋a2n的符號(hào)；反之，若a2n－1＋a2n<0，即a1q2n－2(1＋q)<0，可得q<－1<0.故“q<0”是“對(duì)任意的正整數(shù)n，a2n－1＋a2n<0”的必要不充分條件，選C.
[答案] C
5．(20xx·山東青島模擬)已知an＝(n∈N*)，則在數(shù)列{an}的前50項(xiàng)中，最小項(xiàng)和最大項(xiàng)分別是( )
A．a(chǎn)1，a50 B．a(chǎn)1，a44
4、C．a(chǎn)45，a50 D．a(chǎn)44，a45
[解析] an＝
＝
＝1＋.
結(jié)合函數(shù)y＝a＋(c>0)的圖象，要使an最大，則需n－最小且n－>0，
∴當(dāng)n＝45時(shí)，an最大，當(dāng)n＝44時(shí)，an最小．
[答案] D
6．(20xx·廣東珠海模擬)公差不為0的等差數(shù)列{an}的部分項(xiàng)ak1，ak2，ak3，…構(gòu)成等比數(shù)列{akn}，且k1＝1，k2＝2，k3＝6，則k4為( )
A．20 B．22 C．24 D．28
[解析] 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
∵a1，a2，a6成等比數(shù)列，
∴a＝a1·a6，
即(a1＋d)2＝a1
5、(a1＋5d)，
∴d＝3a1，∴a2＝4a1，
∴等比數(shù)列ak1，ak2，ak3…的公比q＝4，
∴ak4＝a1·q3＝a1·43＝64a1.
又ak4＝a1＋(k4－1)·d＝a1＋(k4－1)·3a1，
∴a1＋(k4－1)·3a1＝64a1，a1≠0，
∴3k4－2＝64，
∴k4＝22，故選B.
[答案] B
二、填空題
7．已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S5＝5a4－10，則數(shù)列{an}的公差為_(kāi)_______．
[解析] 由S5＝5a4－10，得5a3＝5a4－10，則公差d＝2.
[答案] 2
6、
8．(20xx·山西四校聯(lián)考)若等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且＝5，則＝________.
[解析] 解法一：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由已知得＝1＋＝5，即1＋q2＝5，
所以q2＝4，＝1＋＝1＋q4＝1＋16＝17.
解法二：由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比數(shù)列，若設(shè)S2＝a，則S4＝5a，
由(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)得S6＝21a，同理得S8＝85a，
所以＝＝17.
[答案] 17
9．(20xx·廣州測(cè)試)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和，且對(duì)任意的n∈N*，均有a
7、n，Sn，a成等差數(shù)列，則an＝________.
[解析] 因?yàn)閍n，Sn，a成等差數(shù)列，所以2Sn＝a＋an，當(dāng)n＝1時(shí)，有2S1＝2a1＝a＋a1，解得a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，有2Sn－1＝a＋an－1，與2Sn＝a＋an作差得2an＝a＋an－a－an－1，化簡(jiǎn)得(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，又因?yàn)閿?shù)列{an}為正項(xiàng)數(shù)列，所以an－an－1－1＝0，即an－an－1＝1，所以數(shù)列{an}為首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，則an＝n.
[答案] n
三、解答題
10．(20xx·沈陽(yáng)市高三第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè))已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，滿足a1＝2，a4＝8，數(shù)
8、列{bn}是等比數(shù)列，滿足b2＝4，b5＝32.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列{an＋bn}的前n項(xiàng)和Sn.
[解] (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意得d＝＝2，
所以an＝a1＋(n－1)·d＝2＋(n－1)×2＝2n.
設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，由題意得q3＝＝8，解得q＝2.
因?yàn)閎1＝＝2，所以bn＝b1·qn－1＝2×2n－1＝2n.
(2)由(1)可得，Sn＝＋＝n2＋n＋2n＋1－2.
11．(20xx·安徽池州模擬)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，且數(shù)列{Sn}
9、是以2為公比的等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.
[解] (1)∵S1＝a1＝1，
且數(shù)列{Sn}是以2為公比的等比數(shù)列，
∴Sn＝2n－1，
又當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－2(2－1)＝2n－2.
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，不適合上式．
∴an＝
(2)a3，a5，…，a2n＋1是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，
∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝＝.
∴a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋＝.
12．(20xx·銀川模擬)已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，且a2a5＝32，a3＋a4＝12，數(shù)列{bn}滿足b1
10、＝1，且bn＋1＝2bn＋2an(n∈N*)．
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)若對(duì)任意n∈N*，不等式(n＋2)bn＋1≥λbn總成立，求實(shí)數(shù)λ的最大值．
[解] (1)設(shè){an}的公比為q，因?yàn)閍2a5＝a3a4＝32，a3＋a4＝12，且{an}是遞增數(shù)列，
所以a3＝4，a4＝8，所以q＝2，a1＝1，所以an＝2n－1.
因?yàn)閎n＋1＝2bn＋2an，
所以＝＋1，
所以數(shù)列是以＝1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．
(2)由(1)知bn＝n×2n－1，
所以λ≤＝＝2，
因?yàn)閚∈N*，易知當(dāng)n＝1或2時(shí)，2取得最小值12，所以λ的最大值為12.
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