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1、[正五邊形的畫法] 　　圓內接正五邊形的畫法如下: 　　1、任作一圓O 　　2、任作圓O中互相垂直的兩直徑AB、CD 　　3、作OD的垂直平分線交OD于E 　　4、以E為圓心，EA長為半徑作弧，交CD于F 　　5、在圓O上順序作弦AG=GH=HM=MN=NA=AF 　　則得正五邊形AGHMN 　　 　　已知邊長作正五邊形的近似畫法如下: 　?、僮骶€段AB等于定長l,并分別以A,B為圓心,已知長l為半徑畫弧與AB的中垂線交于K. 　?、谝訩為圓心，取AB的2/3長度為半徑向外側取C點，使CK=2/3AB 　?、垡?C為圓心,已知邊長 AB為半徑畫弧,分別與前兩弧相交于

2、M,N. 　　④順次連接A,B,N,C,M各點即近似作得所要求的正五邊形. 　　正多邊形的尺規(guī)作圖是大家感興趣的.正三邊形很好做;正四邊形稍難一點;正六邊形也很好做;正五邊形就更難一點，但人們也找到了正五邊形的直規(guī)作圖方法.確實，有的困難一些，有的容易一些.正七邊形的尺規(guī)作圖是容易一些，還是困難一些呢?人們很久很久未找到作正七邊形的辦法，這一事實本身就說明作正七邊形不容易;一直未找到這種作法，也使人懷疑：究竟用尺規(guī)能否作出正七邊形來?數(shù)學不容許有這樣的判斷：至今一直沒有人找到正七邊形的尺規(guī)作圖方法來，所以斷言它是不能用尺規(guī)作出的. 　　人們迅速地解決了正三、四、五、六邊形的尺規(guī)作圖問題，

3、卻在正七邊形面前止步了：究竟能作不能作，得不出結論來.這個懸案一直懸而未決兩千余年. 　　17世紀的費馬，就是我們在前面已兩次提到了的那個法國業(yè)余數(shù)學家，他研究了形如 　Fi (i為右下角標)=22i(底數(shù)2指數(shù)2的i次冪)+1 的數(shù). 　　費馬的一個著名猜想是，當 n≥3時，不定方程xn+yn=zn沒有正整數(shù)解.現(xiàn)在他又猜測Fi都是素數(shù)，對于i=0，1，2，3，4時，容易算出來相應的Fi： 　　F0=3，F(xiàn)1=5，F(xiàn)2=17， 　　F3=257，F(xiàn)4=65 537 　　驗證一下，這五個數(shù)的確是素數(shù).F5=225+1是否素數(shù)呢?僅這么一個問題就差不多一百年之后才有了一個結論，偉大的

4、歐拉發(fā)現(xiàn)它竟不是素數(shù)，因而，偉大的費馬這回可是猜錯了!F5是兩素數(shù)之積： 　　F5=641×6 700 417. 　　當然，這一事例多少也說明：判斷一個較大的數(shù)是否素數(shù)也決不是件簡單的事，不然，何以需要等近百年?何以需要歐拉這樣的人來解決問題? 　　更奇怪的是，不僅F5不是素數(shù)，F(xiàn)6，F(xiàn)7也不是素數(shù)，F(xiàn)8，F(xiàn)9，F(xiàn)10，F(xiàn)11等還不是素數(shù)，甚至，對于F14也能判斷它不是素數(shù)，但是它的任何真因數(shù)還不知道.至今，人們還只知F0，F(xiàn)1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，F(xiàn)4這樣5個數(shù)是素數(shù).由于除此而外還未發(fā)現(xiàn)其他素數(shù)，于是人們產生了一個與費馬的猜想大相徑庭的猜想，形如22i+1的素數(shù)只有有限個.但對此也

5、未能加以證明. 　　當然，形如Fi=22i+1的素數(shù)被稱為費馬素數(shù).由于素數(shù)分解的艱難，不僅對形如Fi=22i+1的數(shù)的一般結論很難做出，而且具體分解某個Fi也不是一件簡單的事. 　　更加令人驚奇的事情發(fā)生在距歐拉發(fā)現(xiàn)F5不是素數(shù)之后的60多年，一位德國數(shù)學家高斯，在他僅20歲左右之時發(fā)現(xiàn)，當正多邊形的邊數(shù)是費馬素數(shù)時是可以尺規(guī)作圖的，他發(fā)現(xiàn)了更一般的結論：正n邊形可尺規(guī)作圖的充分且必要的條件是 　　n=2k(2的k次冪)或 2k×p1×p2×…×ps，(1，2…s為右下角標) 　　其中，p1，p2，…，ps是費馬素數(shù). 　　正7邊形可否尺規(guī)作

6、圖呢?否!因為7是素數(shù)，但不是費馬素數(shù). 　　倒是正17邊形可尺規(guī)作圖，高斯最初的一項成就就是作出了正17邊形.根據(jù)高斯的理論，還有一位德國格丁根大學教授作了正257邊形. 　　就這樣，一個懸而未決兩千余年的古老幾何問題得到了圓滿的解決，而這一問題解決的過程是如此的蹊蹺，它竟與一個沒有猜對的猜想相關連. 　　正17邊形被用最簡單的圓規(guī)和直尺作出來了，而正多邊形可以換個角度被視為是對圓的等分，那么這也相當于僅用圓規(guī)和直尺對圓作了17等分，其圖形更覺完美、好看.高斯本人對此也頗為欣賞，由此引導他走上數(shù)學道路(他早期曾在語言學與數(shù)學之間猶豫過)，而且在他逝后的墓碑上就鐫刻著一個正17邊形圖案.

7、 高斯把問題是解決得如此徹底，以致有了高斯的定理，我們對于早已知道如何具體作圖的正三邊形、正五邊形，還進而知道了它們?yōu)槭裁茨苡贸咭?guī)作圖，就因為3和5都是費馬素數(shù)(3=F0，5=F1);對于很久以來未找到辦法來作出的正七邊形，乃至于正11邊形、正 13邊形，現(xiàn)在我們能有把握地說，它們不可能由尺規(guī)作圖，因為7、11、13都不是費馬素數(shù);對于正257邊形、正65 537邊形，即使我們不知道具體如何作，可是理論上我們已經(jīng)知道它們是可尺規(guī)作圖的;此外，為什么正四邊形、正六邊形可尺規(guī)作圖呢?因為4=22，因為 6= 2· 3而 3=F0. 費馬數(shù) 費馬數(shù)是以數(shù)學家費馬命名一組自然數(shù)，具有形

8、式： 其中 n 為非負整數(shù)。若 2n + 1 是素數(shù)，可以得到 n 必須是2的冪。（若 n = ab，其中 1 < a, b < n 且 b 為奇數(shù)，則 2n + 1 ≡ (2a)b + 1 ≡ (?1)b + 1 ≡ 0 (mod 2a + 1)。）也就是說，所有具有形式 2n + 1 的素數(shù)必然是費馬數(shù)，這些素數(shù)稱為費馬素數(shù)。已知的費馬素數(shù)只有 F0 至 F4 五個。 　費馬猜想 　　法國數(shù)學家費馬于1640年提出了以下猜想: 　　揭示了十進制和二進制的關系 　　可以發(fā)現(xiàn) 　　F0=2^(2^0)+1=3 　　F1=2^(2^1)+1=5 　　F2=2^

9、(2^2)+1=17 　　F3=2^(2^3)+1=257 　　F4=2^(2^4)+1=65537 　　F5=2^(2^5)+1=4294967297 　　前5個是質數(shù)，因為第6個數(shù)實在太大了，費馬認為這個數(shù)  是質數(shù)。 　　由此提出(費馬沒給出證明)，形如Fn=2^(2^n)+1 的數(shù)都是質數(shù)的猜想。后來人們就把形如2^(2^n)+1的數(shù)叫費馬數(shù)。 猜想結論 　　1732年，歐拉算出F5=641×6700417，也就是說F5不是質數(shù)，宣布了費馬的這個猜想不成立，它不能作為一個求質數(shù)的公式。以后，人們又陸續(xù)找到了不少反例，如n=6 時，

10、F6=2^(2^6)+1=274177×67280421310721不是質數(shù)。至今這樣的反例共找到了243個，卻還沒有找到第6個正面的例子，也就是說目前只有n=0，1，2，3，4這5個情況下，F(xiàn)n才是質數(shù)。甚至有人猜想：費馬數(shù)N≥4時，費馬數(shù)全是合數(shù)！ 　　接下來的幾個費馬數(shù)的分解情況是： 　　F6 = 274177 × 67280421310721 　　F7 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721 　　F9 = 2424833 × 7455602825647884208337395736

11、200454918783366342657 × 74164006262753080152 47871419019374740599407810975190239058213 161444157 59504705008092818711693940737 　　F10 = 45592577 × 6487031809 × 4659775785220018543264560743076778192897 × P252 　　F11 = 319489 × 974849 × 167988556341760475137 × 3560

12、841906445833920513 × P564 　　F12 = 114689 × 26017793 × 63766529 × 190274191361 × 12561 32134125569 × 　　568630647535356955169033410940867804839360742060818433 × C1133 　　F13 = 2710954639361 × 2663848877152141313 × 3603109844542291969 × 　　3195460

13、20820551643220672513 × C2391 　　早已經(jīng)有人證明，費馬數(shù)的因數(shù)必然是2^(n+2)*k+1 形，注：（n+2)是右上標。例如n=5時，4294967297=(128×5+1)×(128×52347+1)，其中128就是2的7次方。 素數(shù)的普遍公式 　　實際上幾千年來,數(shù)學家們一直在尋找這樣的一個公式,一個能求出所有質數(shù)的公式;但直到現(xiàn)在,誰也未能找到這樣一個公式,而且誰也未能找到證據(jù),說這樣的公式就一定不存在;這樣的公式存不存在,也就成了一個著名的數(shù)學難題.。 　　雖然費馬數(shù)作為一個關于指數(shù)公式的嘗試失敗了,但有

14、意思的是,1801年數(shù)學家高斯證明:如果費馬數(shù)K為質數(shù),那么就可以用直尺和圓規(guī)將圓周k等分.高斯本人就根據(jù)這個定理作出了正十七邊形. 費馬數(shù)猜想：大師的失誤 　　1640年，在數(shù)論領域留下不可磨滅足跡的費馬思考了一個問題：式子2^(2^n)+1 的值是否一定為素數(shù)。當 n取0、1、2、3、4時，這個式子對應值分別為3、5、17、257、65537，費馬發(fā)現(xiàn)這五個數(shù)都是素數(shù)。由此，費馬提出一個猜想：形如2^(2^n)+1 的數(shù)一定為素數(shù)。在給朋友的一封信中，費馬寫道： “我已經(jīng)發(fā)現(xiàn)形如2^(2^n)+1的數(shù)永遠為素數(shù)。很久以前我就向分析學家們指出了這個結論是正確的?！辟M馬同時坦白承認，他自

15、己未能找到一個完全的證明?！? 　　費馬所研究的2^(2^n)+1 這種具有美妙形式的數(shù)，后人稱之為費馬數(shù)，并用Fn 表示。費馬當時的猜想相當于說：所有費馬數(shù)都一定是素數(shù)。費馬是正確的嗎？　 　　進一步驗證費馬的猜想并不容易。因為隨著n的增大， Fn 迅速增大。比如對后人來說第一個需要檢驗的F5?。?294967297已經(jīng)是一個十位數(shù)了。非常可能的是，由于這一數(shù)太大，所以費馬在得出自己的猜想時并沒有對它進行驗證。那么，它到底是否如同費馬所相信的那樣是一個素數(shù)呢？　 　　1729年12月1日，哥德巴赫（哥德巴赫猜想的提出者）在寫給歐拉的一封信中問道：“費馬認為所有形如 2^(2^n)+

16、1 的數(shù)都是素數(shù)，你知道這個問題嗎？他說他沒能作出證明。據(jù)我所知，也沒有其他任何人對這個問題作出過證明?！薄? 　　這個問題吸引了歐拉。 1732年，年僅25歲的歐拉在費馬死后67年得出F5 ＝641×6700417，其中641=5×27+1 這一結果意味著 是一個合數(shù)，因此費馬的猜想是錯的。　 　　在對費馬數(shù)的研究上，費馬這位偉大的數(shù)論天才過分看重自己的直覺，輕率地做出了他一生唯一一次錯誤猜測。更為不幸的是，研究的進展表明費馬不但是錯的，而且非?？赡苁谴箦e特錯了?！? 　　此后人們對更多的費馬數(shù)進行了研究。隨著電子計算機的發(fā)展，計算機成為數(shù)學家研究費馬數(shù)的有力工具

17、。但即使如此，在所知的費馬數(shù)中竟然沒有再添加一個費馬素數(shù)。迄今為止，費馬素數(shù)除了被費馬本人所證實的那五個外竟然沒有再發(fā)現(xiàn)一個！因此人們開始猜想：在所有的費馬數(shù)中，除了前五個是素數(shù)外，其他的都是合數(shù)。如果這一結論被證實，那么對于費馬的草率猜想來說，恐怕不會。 　　費馬合數(shù)都是可以用佩爾方程表示，費馬素數(shù)不能用佩爾方程表示， 變形費馬.3^2^n+2 　　變形費馬數(shù)是改變了數(shù)值，采用同樣性質的費馬數(shù)，例如：3^2^n+2。 　　n=0時，3^2^0+2=5，素數(shù)； 　　n=1時，3^2^1+2=11，素數(shù)； 　　n=2時，3^2^2+2=83，素數(shù)； 　　n=3時，3^2

18、^3+2=6563，素數(shù)； 　　n=4時，3^2^4+2=43046727=19×2265617。 　　是否有無窮多個變形費馬素數(shù)？是否有無窮多個變形費馬合數(shù)？還是一個未知問題。 1.費馬 　　費馬在古典數(shù)論領域中的成果很多，比如提出了不定方程無解證明的無窮遞降法， 引入了費馬數(shù)等等。 　　與費馬相關的著名結論如下： 　　費馬小定理：a^p-a≡0(mod p)，其中p是一個素數(shù)，a是正整數(shù)。 　　事實上它是歐拉定理的一個特殊情況，Euler定理是說：a^φ(n)-1≡0(mod n),a，n都是正整數(shù)，φ(n)是Euler函數(shù)，表示和n互素的小于n的正整數(shù)的

19、個數(shù)。 　　費馬大定理（當時是猜想）：n>2是整數(shù)，則方程x^n+y^n=z^n沒有滿足xyz≠0的整數(shù)解。這個是不定方程，它已經(jīng)由美國數(shù)學家外爾斯證明了(1995年)，證明的過程相當艱深。 2.歐拉 　　引入歐拉函數(shù)， 得到著名的歐拉定理——費馬小定理推廣； 研究了連分數(shù)展開問題；用解析方法證明了素數(shù)無限；討論平方和問題及哥德巴赫猜想——加性數(shù)論內容。 3.高斯 　　被譽為“數(shù)學王子” 。解決了正多邊形尺規(guī)作圖問題， 將它和費馬數(shù)聯(lián)系起來。高斯的著作《算術研究》提出了同余理論， 討論了平方剩余問題，發(fā)現(xiàn)了二次互反律。 高斯提出了著名的素數(shù)定理（當時是猜想），研究了指標和

20、估計問題——表示論的雛形。 素數(shù)定理 定理 定理描述素數(shù)素數(shù)的大致分布情況。 素數(shù)的出現(xiàn)規(guī)律一直困惑著數(shù)學家。一個個地看，素數(shù)在正整數(shù)中的出現(xiàn)沒有什么規(guī)律。可是總體地看，素數(shù)的個數(shù)竟然有規(guī)可循。對正實數(shù)x，定義π(x)為不大于x的素數(shù)個數(shù)。數(shù)學家找到了一些函數(shù)來估計π(x)的增長。以下是第一個這樣的估計。 π(x)≈x/ln x 其中l(wèi)n x為x的自然對數(shù)。上式的意思是當x趨近∞，π(x) 和x/ln x的比趨  近1（注：該結果為高斯所發(fā)現(xiàn)）。但這不表示它們的數(shù)值隨著x增大而接近。 下面是對π(x)更好的估計： π(x)=Li (x) + O (x e^(-(l

21、n x)^(1/2)/15)，當 x 趨近∞。 其中 Li(x) = ∫(dt/ln x2,x)，而關系式右邊第二項是誤差估計，詳見大O符號。 下表比較了π(x)，x/ln x和Li(x)： x π(x) π(x) - x/ln(x) Li(x) - π(x) x/π(x) 佩爾方程 　　由費爾馬提出，但后來歐拉誤記為佩爾提出，并寫入他的著作中。后人多稱佩爾方程。沿續(xù)至今 　　設d是正整數(shù)，且d不含平方因子。 　　下面的不定方程稱為佩爾（Pell）方程： 　　x^2-dy^2=1 　　求正整數(shù)解(x,y). 　　這是初等數(shù)論中最經(jīng)典的內容之一。 　　假設(x_0,y

22、_0)是一個最小解， 那么所有的解可寫為 　　x_n+y_n*(d)^0.5=(x_0+y_0*(d)^0.5)^(n+1) 　　佩爾方程與連分數(shù)，二次型，代數(shù)數(shù)域等等都有密切聯(lián)系。 　　在一般的函數(shù)域上，我們也有類似的佩爾方程， 它和向量叢的穩(wěn)定性有著微妙的關系。 　　以上的公式就是Pell方程的一般形態(tài). 　　對于 當n為完全平方數(shù)時無解； 　　1. 首先構造一個系數(shù)矩陣,顯然為了構造這個矩陣，我們需要先得到 　　下面方程的一個最小特解(x,y>0) 　　利用Euler的算法 　　1: p[?1] ? 1; p[?2] ? 0 　　2: q[?

23、1] ? 0; q[?2] ? 1 　　3: a[0] ?sqrt(n) 　　4: g[?1] ? 0; h[?1] ? 1 　　5: for i = 0 → ∞ do 　　{ 　　6: g[i] ? ?g[i?1] + a[i]h[i?1] 　　7: h[i] ? （n?g[i]*g[i]） / h[i-1] 　　8: a[i+1] ? floor( (g[i]+a[0]) / h[i] 　　9: p[i] ? a[i]p[i?1] + p[i?2] 　　10: q[i] ? a[i]q[i?1] + q[i?2] 　　if( p[i]*p[i]-n*q[i]*q[i]=1 ) return (p[i],q[i]); 　　}假設我們得到了以上方程的最小特解: x0 y0 (x0,y0>0,并是最小的滿足條件的解) 　　C++程序求解佩爾方程：