《人教版 高中數(shù)學 選修23 學案1.2.2.2 組合的綜合應用》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《人教版 高中數(shù)學 選修23 學案1.2.2.2 組合的綜合應用（16頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、2019人教版精品教學資料高中選修數(shù)學第2課時組合的綜合應用1學會運用組合的概念分析簡單的實際問題(重點)2能解決無限制條件的組合問題3掌握解決組合問題的常見的方法(難點)基礎初探教材整理組合的實際應用閱讀教材P23例6P25，完成下列問題1組合與排列的異同點共同點：排列與組合都是從n個不同元素中取出m(mn)個元素不同點：排列與元素的順序有關，組合與元素的順序無關2應用組合知識解決實際問題的四個步驟(1)判斷：判斷實際問題是否是組合問題(2)方法：選擇利用直接法還是間接法解題(3)計算：利用組合數(shù)公式結合兩個計數(shù)原理計算(4)結論：根據(jù)計算結果寫出方案個數(shù)1把三張游園票分給10個人中的3人，

2、分法有_【解析】把三張票分給10個人中的3人，不同分法有C120(種)【答案】1202甲、乙、丙三位同學選修課程，從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有_種【解析】甲選修2門，有C6(種)不同方案乙選修3門，有C4(種)不同選修方案丙選修3門，有C4(種)不同選修方案由分步乘法計數(shù)原理，不同的選修方案共有64496(種)【答案】963從0,1, ， ，2這六個數(shù)字中，任取兩個數(shù)字作為直線yxtan b的傾斜角和截距，可組成_條平行于x軸的直線【解析】要使得直線與x軸平行，則傾斜角為0，截距在0以外的五個數(shù)字均可故有C5條滿足條件【答案】54將7名學生分配到甲、乙兩個宿

3、舍中，每個宿舍至少安排2名學生，那么互不相同的分配方案共有_種. 【導學號：97270018】【解析】每個宿舍至少2名學生，故甲宿舍安排的人數(shù)可以為2人，3人，4人，5人，甲宿舍安排好后，乙宿舍隨之確定，所以有CCCC112種分配方案【答案】112質疑手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 小組合作型無限制條件的組合問題在一次數(shù)學競賽中，某學校有12人通過了初試，學校要從中選出5人參加市級培訓在下列條件下，有多少種不同的選法？(1)任意選5人；(2)甲、乙、丙三人必需參加；(3)甲、乙、丙三人不能參加；(4)甲、乙、丙三

4、人只能有1人參加【精彩點撥】本題屬于組合問題中的最基本的問題，可根據(jù)題意分別對不同問題中的“含”與“不含”作出正確分析和判斷，弄清每步從哪里選，選出多少等問題【自主解答】(1)從中任取5人是組合問題，共有C792種不同的選法(2)甲、乙、丙三人必需參加，則只需要從另外9人中選2人，是組合問題，共有C36種不同的選法(3)甲、乙、丙三人不能參加，則只需從另外的9人中選5人，共有C126種不同的選法(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加，可分兩步：先從甲、乙、丙中選1人，有C3種選法；再從另外9人中選4人，有C種選法共有CC378種不同的選法解答簡單的組合問題的思考方法1弄清要做的這件事是什么事2選出

5、的元素是否與順序有關，也就是看看是不是組合問題3結合兩個計數(shù)原理，利用組合數(shù)公式求出結果再練一題1現(xiàn)有10名教師，其中男教師6名，女教師4名(1)現(xiàn)要從中選2名去參加會議，有多少種不同的選法？(2)選出2名男教師或2名女教師去外地學習的選法有多少種？【解】(1)從10名教師中選2名去參加會議的選法種數(shù)，就是從10個不同元素中取出2個元素的組合數(shù)，即C45.(2)可把問題分兩類：第1類，選出的2名是男教師有C種方法；第2類，選出的2 名是女教師有C種方法，即CC21(種)有限制條件的組合問題高二(1)班共有35名同學，其中男生20名，女生15名，今從中選出3名同學參加活動(1)其中某一女生必須在

6、內，不同的取法有多少種？(2)其中某一女生不能在內，不同的取法有多少種？(3)恰有2名女生在內，不同的取法有多少種？(4)至少有2名女生在內，不同的取法有多少種？(5)至多有2名女生在內，不同的取法有多少種？【精彩點撥】可從整體上分析，進行合理分類，弄清關鍵詞“恰有”“至少”“至多”等字眼使用兩個計數(shù)原理解決【自主解答】(1)從余下的34名學生中選取2名，有C561(種)不同的取法有561種(2)從34名可選學生中選取3名，有C種或者CCC5 984種不同的取法有5 984種(3)從20名男生中選取1名，從15名女生中選取2名，有CC2 100種不同的取法有2 100種(4)選取2名女生有CC

7、種，選取3名女生有C種，共有選取方式NCCC2 1004552 555種不同的取法有2 555種(5)選取3名的總數(shù)有C，因此選取方式共有NCC6 5454556 090種不同的取法有6 090種常見的限制條件及解題方法1特殊元素：若要選取的元素中有特殊元素，則要以有無特殊元素，特殊元素的多少作為分類依據(jù)2含有“至多”“至少”等限制語句：要分清限制語句中所包含的情況，可以此作為分類依據(jù)，或采用間接法求解3分類討論思想：解題的過程中要善于利用分類討論思想，將復雜問題分類表達，逐類求解再練一題2“抗震救災，眾志成城”，在我國“四川512”抗震救災中，某醫(yī)院從10名醫(yī)療專家中抽調6名奔赴賑災前線，其

8、中這10名醫(yī)療專家中有4名是外科專家問：(1)抽調的6名專家中恰有2名是外科專家的抽調方法有多少種？(2)至少有2名外科專家的抽調方法有多少種？(3)至多有2名外科專家的抽調方法有多少種？【解】(1)分步：首先從4名外科專家中任選2名，有C種選法，再從除外科專家的6人中選取4人，有C種選法，所以共有CC90(種)抽調方法(2)“至少”的含義是不低于，有兩種解答方法法一(直接法)按選取的外科專家的人數(shù)分類：選2名外科專家，共有CC種選法；選3名外科專家，共有CC種選法；選4名外科專家，共有CC種選法根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有CCCCCC185(種)抽調方法法二(間接法)不考慮是否有外科專家，共有

9、C種選法，考慮選取1名外科專家參加，有CC種選法；沒有外科專家參加，有C種選法，所以共有：CCCC185(種)抽調方法(3)“至多2名”包括“沒有”“有1名”“有2名”三種情況，分類解答沒有外科專家參加，有C種選法；有1名外科專家參加，有CC種選法；有2名外科專家參加，有CC種選法所以共有CCCCC115(種)抽調方法.組合在幾何中的應用平面內有12個點，其中有4個點共線，此外再無任何3點共線以這些點為頂點，可構成多少個不同的三角形？【精彩點撥】解答本題可以從共線的4個點中選取2個、1個、0個作為分類標準，也可以從反面考慮，任意三點的取法種數(shù)減去共線三點的取法種數(shù)【自主解答】法一：以從共線的4

10、個點中取點的多少作為分類標準第1類：共線的4個點中有2個點為三角形的頂點，共有CC48個不同的三角形；第2類：共線的4個點中有1個點為三角形的頂點，共有CC112個不同的三角形；第3類：共線的4個點中沒有點為三角形的頂點，共有C56個不同的三角形由分類加法計數(shù)原理知，不同的三角形共有4811256216(個)法二(間接法)：從12個點中任意取3個點，有C220種取法，而在共線的4個點中任意取3個均不能構成三角形，即不能構成三角形的情況有C4種故這12個點能構成三角形的個數(shù)為CC216個1解決幾何圖形中的組合問題，首先應注意運用處理組合問題的常規(guī)方法分析解決問題，其次要注意從不同類型的幾何問題中

11、抽象出組合問題，尋找一個組合的模型加以處理2圖形多少的問題通常是組合問題，要注意共點、共線、共面、異面等情形，防止多算常用直接法，也可采用排除法再練一題3四面體的一個頂點為A，從其他頂點和各棱中點中取3個點，使它們與點A在同一平面上，有多少種不同的取法？【解】如圖所示，含頂點A的四面體的3個面上，除點A外每個面都有5個點，從中取出3點必與點A共面，共有3C種取法，含頂點A的三條棱上各有三個點，它們與所對的棱的中點共面，共有3種取法根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同的取法有3C333種探究共研型排列、組合的綜合應用探究1從集合1,2,3,4中任取兩個不同元素相乘，有多少個不同的結果？完成的“這件事”指的

12、是什么？【提示】共有C6(個)不同結果完成的“這件事”是指：從集合1,2,3,4中任取兩個不同元素并相乘探究2從集合1,2,3,4中任取兩個不同元素相除，有多少不同結果？這是排列問題，還是組合問題？完成的“這件事”指的是什么？【提示】共有A210(個)不同結果；這個問題屬于排列問題；完成的“這件事”是指：從集合1,2,3,4中任取兩個不同元素并相除探究3完成“從集合0,1,2,3,4中任取三個不同元素組成一個是偶數(shù)的三位數(shù)”這件事需先分類，還是先分步？有多少個不同的結果？【提示】由于0不能排在百位，而個位必須是偶數(shù).0是否排在個位影響百位與十位的排法，所以完成這件事需按0是否在個位分類進行第一

13、類：0在個位，則百位與十位共A種排法；第二類：0不在個位且不在百位，則需先從2,4中任選一個排個位再從剩下非零數(shù)字中取一個排百位，最后從剩余數(shù)字中任取一個排十位，共CCC18(種)不同的結果，由分類加法原理，完成“這件事”共有ACCC30(種)不同的結果有5個男生和3個女生，從中選出5人擔任5門不同學科的課代表，求分別符合下列條件的選法數(shù)：(1)有女生但人數(shù)必須少于男生；(2)某女生一定擔任語文課代表；(3)某男生必須包括在內，但不擔任數(shù)學課代表；(4)某女生一定要擔任語文課代表，某男生必須擔任課代表，但不擔任數(shù)學課代表【精彩點撥】(1)按選中女生的人數(shù)多少分類選取(2)采用先選后排的方法(3

14、)先安排該男生，再選出其他人擔任4科課代表(4)先安排語文課代表的女生，再安排“某男生”課代表，最后選其他人擔任余下三科的課代表【自主解答】(1)先選后排，先選可以是2女3男，也可以是1女4男，共有CCCC種，后排有A種，共(CCCC)A5 400種(2)除去該女生后，先選后排，有CA840種(3)先選后排，但先安排該男生，有CCA3 360種(4)先從除去該男生、該女生的6人中選3人有C種，再安排該男生有C種，其余3人全排有A種，共CCA360種解決排列、組合綜合問題要遵循兩個原則1按事情發(fā)生的過程進行分步2按元素的性質進行分類解決時通常從以下三個途徑考慮：(1)以元素為主考慮，即先滿足特殊

15、元素的要求，再考慮其他元素；(2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；(3)先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù)再練一題4(1)某外商計劃在四個候選城市投資3個不同的項目，且在同一個城市投資的項目不超過2個，則該外商不同的投資方案共有()A16種B36種C42種D60種(2)某班班會準備從甲、乙等7名學生中選派4名學生發(fā)言，要求甲、乙兩名同學至少有一人參加，且若甲、乙同時參加，則他們發(fā)言時不能相鄰，那么不同的發(fā)言順序的種數(shù)為()A360 B520 C600 D720【解析】(1)若選擇了兩個城市，則有CCA36種投資方案；若選擇了三個城市，則

16、有CA24種投資方案，因此共有362460種投資方案(2)分兩類：第一類，甲、乙中只有一人參加，則有CCA21024480種選法第二類，甲、乙都參加時，則有C(AAA)10(2412)120種選法所以共有480120600種選法【答案】(1)D(2)C構建體系 1樓道里有12盞燈，為了節(jié)約用電，需關掉3盞不相鄰的燈，則關燈方案有()A72種 B84種 C120種 D168種【解析】需關掉3盞不相鄰的燈，即將這3盞燈插入9盞亮著的燈的空中，所以關燈方案共有C120(種)故選C.【答案】C2編號為1,2,3,4,5,6,7的七盞路燈，晚上用時只亮三盞燈，且任意兩盞亮燈不相鄰，則不同的開燈方案有()

17、A60種 B20種 C10種 D8種【解析】四盞熄滅的燈產生的5個空檔中放入三盞亮燈，即C10.【答案】C3將4名大學生分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當村官，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有_種(用數(shù)字作答). 【導學號：97270019】【解析】有CCA36種滿足題意的分配方案其中C表示從3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)中任選定1個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，且其中某2名大學生去的方法數(shù)；C表示從4名大學生中任選2名到上一步選定的鄉(xiāng)鎮(zhèn)的方法數(shù)；A表示將剩下的2名大學生分配到另2個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去的方法數(shù)【答案】364在直角坐標平面xOy上，平行直線xn(n0,1,2，5)與平行直線yn(n0,1,2，5)組成的圖形中，矩形共有_個【解析】在垂直于x軸的6條

18、直線中任取2條，在垂直于y軸的6條直線中任取2條，四條直線相交得出一個矩形，所以矩形總數(shù)為CC1515225個【答案】2255車間有11名工人，其中5名是鉗工，4名是車工，另外兩名老師傅既能當車工又能當鉗工，現(xiàn)在要在這11名工人里選派4名鉗工，4名車工修理一臺機床，問有多少種選派方法【解】法一：設A，B代表兩名老師傅A，B都不在內的選派方法有：CC5(種)；A，B都在內且當鉗工的選派方法有：CCC10(種)；A，B都在內且當車工的選派方法有：CCC30(種)；A，B都在內，一人當鉗工，一人當車工的選派方法有：CACC80(種)；A，B有一人在內且當鉗工的選派方法有：CCC20(種)；A，B有一

19、人在內且當車工的選派方法有：CCC40(種)所以共有CCCCCCCCCACCCCCCCC185(種)選派方法法二：5名鉗工有4名被選上的方法有：CC75(種)；5名鉗工有3名被選上的方法有：CCC100(種)；5名鉗工有2名被選上的方法有：CCC10(種)所以一共有7510010185(種)選派方法我還有這些不足：(1) (2) 我的課下提升方案：(1) (2) 學業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)學業(yè)達標一、選擇題1(2016中山高二檢測)圓上有10個點，過每三個點畫一個圓內接三角形，則一共可以畫的三角形個數(shù)為()A720B360C240D120【解析】確定三角形的個數(shù)為C120.【答案】D2

20、某電視臺連續(xù)播放5個廣告，其中有3個不同的商業(yè)廣告和2個不同的奧運廣告要求最后必須播放奧運廣告，且2個奧運廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式有()A120種 B48種 C36種 D18種【解析】最后必須播放奧運廣告有C種，2個奧運廣告不能連續(xù)播放，倒數(shù)第2個廣告有C種，故共有CCA36種不同的播放方式【答案】C3若從1,2,3，9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有()A60種 B63種 C65種 D66種【解析】均為奇數(shù)時，有C5種；均為偶數(shù)時，有C1種；兩奇兩偶時，有CC60種，共有66種【答案】D4(2016青島高二檢測)將標號為1,2，10的10個球放入標號為1

21、,2，10的10個盒子里，每個盒內放一個球，恰好3個球的標號與其在盒子的標號不一致的放入方法種數(shù)為()A120 B240 C360 D720【解析】先選出3個球有C120種方法，不妨設為1,2,3號球，則1,2,3號盒中能放的球為2,3,1或3,1,2兩種這3個號碼放入標號不一致的盒子中有2種不同的方法，故共有1202240種方法【答案】B5從乒乓球運動員男5名、女6名中組織一場混合雙打比賽，不同的組合方法種數(shù)為()ACC BCACCACA DAA【解析】分兩步進行：第一步，選出兩名男選手，有C種方法；第二步，從6名女生中選出2名且與已選好的男生配對，有A種故有CA種【答案】B二、填空題6某單

22、位有15名成員，其中男性10人，女性5人，現(xiàn)需要從中選出6名成員組成考察團外出參觀學習，如果按性別分層，并在各層按比例隨機抽樣，則此考察團的組成方法種數(shù)是_【解析】按性別分層，并在各層按比例隨機抽樣，則需從10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有CC2 100種抽法【答案】2 1007某球隊有2名隊長和10名隊員，現(xiàn)選派6人上場參加比賽，如果場上最少有1名隊長，那么共有_種不同的選法【解析】若只有1名隊長入選，則選法種數(shù)為CC；若兩名隊長均入選，則選法種數(shù)為C，故不同選法有CCC714(種)【答案】7148現(xiàn)有6張風景區(qū)門票分配給6位游客，若其中A，B風景區(qū)門票各2張，C，D風景區(qū)門票各

23、1張，則不同的分配方案共有_種【解析】6位游客選2人去A風景區(qū)，有C種，余下4位游客選2人去B風景區(qū)，有C種，余下2人去C，D風景區(qū)，有A種，所以分配方案共有CCA180(種)【答案】180三、解答題9，是兩個平行平面，在內取四個點，在內取五個點(1)這些點最多能確定幾條直線，幾個平面？(2)以這些點為頂點最多能作多少個三棱錐？【解】(1)在9個點中，除了內的四點共面和內的五點共面外，其余任意四點不共面且任意三點不共線時，所確定直線才能達到最多，此時，最多能確定直線C36條在此條件下，只有兩直線平行時，所確定的平面才最多又因為三個不共線的點確定一個平面，故最多可確定CCCC272個平面(2)同

24、理，在9個點中，除了內的四點共面和內的五點共面外，其余任意四點不共面且任意三點不共線時，所作三棱錐才能達到最多此時最多能作CCCCCC120個三棱錐10按照下列要求，分別求有多少種不同的方法？(1)6個不同的小球放入4個不同的盒子；(2)6個不同的小球放入4個不同的盒子，每個盒子至少一個小球；(3)6個相同的小球放入4個不同的盒子，每個盒子至少一個小球【解】(1)每個小球都有4種方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有464 096種不同放法(2)分兩類：第1類，6個小球分3,1,1,1放入盒中；第2類，6個小球分2,2,1,1放入盒中，共有CCACCA1 560(種)不同放法(3)法一按3,1,1,

25、1放入有C種方法，按2,2,1,1，放入有C種方法，共有CC10(種)不同放法法二(擋板法)在6個球之間的5個空中插入三個擋板，將6個球分成四位，共有C10(種)不同放法能力提升1(2015四川高考)用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中比40 000大的偶數(shù)共有()A144個 B120個 C96個 D72個【解析】分兩類進行分析：第一類是萬位數(shù)字為4，個位數(shù)字分別為0,2；第二類是萬位數(shù)字為5，個位數(shù)字分別為0,2,4.當萬位數(shù)字為4時，個位數(shù)字從0,2中任選一個，共有2A個偶數(shù)；當萬位數(shù)字為5時，個位數(shù)字從0,2,4中任選一個，共有CA個偶數(shù)故符合條件的偶數(shù)共有2ACA

26、120(個)【答案】B2如圖121，A，B，C，D為海上的四個小島，要建三座橋，將這四個小島連接起來，則不同的建橋方案共有_種圖121【解析】四個小島中每兩島建一座橋共建六座橋，其中建三座橋連接四個小島符合要求的建橋方案是只要三座橋不圍成封閉的三角形區(qū)域符合要求，如橋AC，BC，BD符合要求，而圍成封閉三角形不符合要求，如橋AC，CD，DA，不符合要求，故共有C416種不同的建橋方案【答案】163(2016孝感高級中學期中)正五邊形ABCDE中，若把頂點A，B，C，D，E染上紅、黃、綠、黑四種顏色中的一種，使得相鄰頂點所染顏色不相同，則不同的染色方法共有_種. 【導學號：97270020】【解

27、析】若用三種顏色，有CA種染法，若用四種顏色，有5A種染法，則不同的染色方法有CA5A240(種)【答案】2404已知10件不同產品中有4件是次品，現(xiàn)對它們進行一一測試，直至找出所有4件次品為止(1)若恰在第5次測試，才測試到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，則這樣的不同測試方法數(shù)是多少？(2)若恰在第5次測試后，就找出了所有4件次品，則這樣的不同測試方法數(shù)是多少？【解】(1)先排前4次測試，只能取正品，有A種不同測試方法，再從4件次品中選2件排在第5和第10的位置上測試，有CAA種測法，再排余下4件的測試位置，有A種測法所以共有不同測試方法AAA103 680種(2)第5次測試恰為最后一件次品，另3件在前4次中出現(xiàn)，從而前4次有一件正品出現(xiàn)，所以共有不同測試方法CCA576種.