《人教版 高中數(shù)學(xué)【選修 21】 教學(xué)案：第二章2．22.2.2反證法》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《人教版 高中數(shù)學(xué)【選修 21】 教學(xué)案：第二章2．22.2.2反證法（16頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2019 人教版精品教學(xué)資料高中選修數(shù)學(xué) 22.2 反證法 預(yù)習(xí)課本預(yù)習(xí)課本 P4243，思考并完成下列問(wèn)題思考并完成下列問(wèn)題 (1)反證法的定義是什么？有什么特點(diǎn)？反證法的定義是什么？有什么特點(diǎn)？ (2)利用反證法證題的關(guān)鍵是什么？步驟是什么？利用反證法證題的關(guān)鍵是什么？步驟是什么？ 新知初探新知初探 反證法的定義及證題的關(guān)鍵反證法的定義及證題的關(guān)鍵 點(diǎn)睛點(diǎn)睛 對(duì)反證法概念的理解對(duì)反證法概念的理解 (1)反證法的原理是反證法的原理是“否定之否定等于肯定否定之否定等于肯定” 第一個(gè)否定是指第一個(gè)否定是指“否定結(jié)論否定結(jié)論(假設(shè)假設(shè))”； 第； 第二個(gè)否定是指二個(gè)否定是指“邏輯推理結(jié)果否定邏輯推

2、理結(jié)果否定” (2)反證法屬反證法屬“間接解題方法間接解題方法” 2“反證法反證法”和和“證逆否命題證逆否命題”的區(qū)別與聯(lián)系的區(qū)別與聯(lián)系 (1)聯(lián)系：通聯(lián)系：通過(guò)證明逆否命題成立來(lái)證明原命題成立和通過(guò)反證法說(shuō)明原命題成立屬于過(guò)證明逆否命題成立來(lái)證明原命題成立和通過(guò)反證法說(shuō)明原命題成立屬于間接證明，都是很好的證明方法間接證明，都是很好的證明方法 (2)區(qū)別：證明逆否命題實(shí)際上就是從結(jié)論的反面出發(fā)，推出條件的反面成立而反證區(qū)別：證明逆否命題實(shí)際上就是從結(jié)論的反面出發(fā)，推出條件的反面成立而反證法一般是假設(shè)結(jié)論的反面成立，然后通過(guò)推理導(dǎo)出矛盾法一般是假設(shè)結(jié)論的反面成立，然后通過(guò)推理導(dǎo)出矛盾 小試身手小

3、試身手 1判斷判斷(正確的打正確的打“”“”，錯(cuò)誤的打，錯(cuò)誤的打“”“”) (1)反證法屬于間接證明問(wèn)題的方法反證法屬于間接證明問(wèn)題的方法( ) (2)反證法的證明過(guò)程既可以是合情推理也可以是一種演繹推理反證法的證明過(guò)程既可以是合情推理也可以是一種演繹推理( ) (3)反證法的實(shí)質(zhì)是否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾反證法的實(shí)質(zhì)是否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾( ) 答案：答案：(1) (2) (3) 2應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過(guò)程中，要把下列哪些作為條件使用過(guò)程中，要把下列哪些作為條件使用( ) 結(jié)論的否定即假設(shè)；結(jié)論的否定即假設(shè)；原命題的條件；原命題的條件；公理、定理、定義等；公理、定理、定義等；

4、原命題的結(jié)論原命題的結(jié)論 A B C D 答案：答案：C 3如果兩個(gè)實(shí)數(shù)之和為正數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)如果兩個(gè)實(shí)數(shù)之和為正數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)( ) A一個(gè)是正數(shù)，一個(gè)是負(fù)數(shù)一個(gè)是正數(shù)，一個(gè)是負(fù)數(shù) B兩個(gè)都是正數(shù)兩個(gè)都是正數(shù) C至少有一個(gè)正數(shù)至少有一個(gè)正數(shù) D兩個(gè)都是負(fù)數(shù)兩個(gè)都是負(fù)數(shù) 答案：答案：C 4用反證法證明用反證法證明“如果如果 ab，那么，那么3a3b ”，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是_ 答案：答案：3a3b 用反證法證明否定性命題用反證法證明否定性命題 典例典例 已知三個(gè)正數(shù)已知三個(gè)正數(shù) a，b，c 成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列求證：成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列求證： a， b， c不不成等差數(shù)列

5、成等差數(shù)列 證明證明 假設(shè)假設(shè) a， b， c成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，則 a c2 b， 即即 ac2 ac4b. a，b，c 成等比數(shù)列成等比數(shù)列，b2ac，即即 b ac， ac2 ac4 ac，( a c)20，即即 a c. 從而從而 abc，與，與 a，b，c 不成等差數(shù)列矛盾，不成等差數(shù)列矛盾， 故故 a， b， c不成等差數(shù)列不成等差數(shù)列 1用反證法證明否定性命題的適用類(lèi)型用反證法證明否定性命題的適用類(lèi)型 結(jié)論中含有結(jié)論中含有“不不”“”“不是不是”“”“不可能不可能”“”“不存在不存在”等詞語(yǔ)的命題稱為否定性命題，此等詞語(yǔ)的命題稱為否定性命題，此類(lèi)問(wèn)題的正面比較模糊，而反面比

6、較具體，適合使用反證法類(lèi)問(wèn)題的正面比較模糊，而反面比較具體，適合使用反證法 2用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟 活活學(xué)活用學(xué)活用 已知已知 f(x)axx2x1(a1)，證明方程，證明方程 f(x)0 沒(méi)有負(fù)數(shù)根沒(méi)有負(fù)數(shù)根 證明：證明：假設(shè)假設(shè) x0是是 f(x)0 的負(fù)數(shù)根，的負(fù)數(shù)根， 則則 x00 且且 x01，且，且 ax0 x02x01， 由由 0ax010 x02x011， 解得解得12x02，這與，這與 x00 矛盾，所以假設(shè)不成立，矛盾，所以假設(shè)不成立， 故方程故方程 f(x)0 沒(méi)有負(fù)數(shù)根沒(méi)有負(fù)數(shù)根. 用反證法證明用反證法證明“至至多多”“”“至少至少”問(wèn)題

7、問(wèn)題 典例典例 已知已知 a1，求證三個(gè)方程：，求證三個(gè)方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0 中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解 證明證明 假設(shè)三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)根，則三個(gè)方程中：它們的判別式都小于假設(shè)三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)根，則三個(gè)方程中：它們的判別式都小于 0，即：，即： (4a)24(4a3)0，(a1)24a20，(2a)242a0 32a12，a13或或a1，32a1，2a0. 這這與已知與已知 a1 矛盾，所以假設(shè)不成立，故三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解矛盾，所以假設(shè)不成立，故三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解 一題多變一題多變 1變條件，變?cè)O(shè)問(wèn)變

8、條件，變?cè)O(shè)問(wèn)將本題改為：已知下列三個(gè)方程將本題改為：已知下列三個(gè)方程 x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0 至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，如何求實(shí)數(shù)至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，如何求實(shí)數(shù) a 的取值范圍？的取值范圍？ 解：解：若方程沒(méi)有一個(gè)有實(shí)根，則若方程沒(méi)有一個(gè)有實(shí)根，則 16a24(34a)0，(a1)24a20，4a28a0， 解得解得 32a12，a13或或a1，即，即32a1，2a0. 故三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根，實(shí)數(shù)故三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根，實(shí)數(shù) a 的取值范圍是的取值范圍是 a a1或或a32. 2變條件，變?cè)O(shè)問(wèn)變條件，變?cè)O(shè)問(wèn)將本題條件改為三個(gè)方程中至多有將

9、本題條件改為三個(gè)方程中至多有 2 個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù) a的取值范圍的取值范圍 解：解：假設(shè)三個(gè)方程都有實(shí)數(shù)根，則假設(shè)三個(gè)方程都有實(shí)數(shù)根，則 (4a)24(4a3)0，(a1)24a20，(2a)242a0， 即即 4a24a30，3a22a10，a22a0， 解得解得 a32或或a12，1a13，a2或或a0. 即即 a . 所以實(shí)數(shù)所以實(shí)數(shù) a 的取值范圍為實(shí)數(shù)的取值范圍為實(shí)數(shù) R. 3變條件，變?cè)O(shè)問(wèn)變條件，變?cè)O(shè)問(wèn)已知已知 a，b，c，dR，且，且 abcd1，acbd1，求證：，求證：a，b，c，d 中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù) 證明：證明：假設(shè)假設(shè) a0

10、，b0，c0，d0. abcd1， (ab)(cd)1， acbdbcad1. 而而 acbdbcadacbd1，與上式矛盾，與上式矛盾， 假設(shè)不成立，假設(shè)不成立， a，b，c，d 中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù) 用反證法證明用反證法證明“至多至多”“”“至少至少”等問(wèn)題的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)等問(wèn)題的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn) (1)反設(shè)情況要全面，在使用反證法時(shí)，必須在假設(shè)中羅列出與原命題相異的結(jié)論，缺反設(shè)情況要全面，在使用反證法時(shí)，必須在假設(shè)中羅列出與原命題相異的結(jié)論，缺少任何一種可能，反證法都是不完全的少任何一種可能，反證法都是不完全的 (2)常用題型：對(duì)于否定性命題常用題型：對(duì)于否定性命題或結(jié)論中出現(xiàn)或結(jié)

11、論中出現(xiàn)“至多至多”“”“至少至少”“”“不可能不可能”等字樣時(shí)，等字樣時(shí)，常用反證法常用反證法 用反證法證明唯一性命題用反證法證明唯一性命題 典例典例 求證：兩條相交直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)求證：兩條相交直線有且只有一個(gè)交點(diǎn) 證明證明 假設(shè)結(jié)論不成立，則有兩種可能：無(wú)交點(diǎn)或不止一個(gè)交點(diǎn)假設(shè)結(jié)論不成立，則有兩種可能：無(wú)交點(diǎn)或不止一個(gè)交點(diǎn) 若直線若直線 a，b 無(wú)交點(diǎn)，則無(wú)交點(diǎn)，則 ab 或或 a，b 是異面直線，與已知矛盾是異面直線，與已知矛盾 若直線若直線 a，b 不只有一個(gè)交點(diǎn)，則至少有兩個(gè)交點(diǎn)不只有一個(gè)交點(diǎn)，則至少有兩個(gè)交點(diǎn) A 和和 B， 這樣同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)這樣同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn) A，B 就有兩條直線

12、，這與就有兩條直線，這與“經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線”相矛盾相矛盾 綜上所述，兩條相交直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)綜上所述，兩條相交直線有且只有一個(gè)交點(diǎn) 巧用反證法證明唯一性命題巧用反證法證明唯一性命題 (1)當(dāng)證明結(jié)論有以當(dāng)證明結(jié)論有以“有且只有有且只有”“當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)”“”“唯一存在唯一存在”“”“只有一個(gè)只有一個(gè)”等形式出現(xiàn)等形式出現(xiàn)的命題時(shí)，由于反設(shè)結(jié)論易于推出矛盾，故常用反證法證明的命題時(shí)，由于反設(shè)結(jié)論易于推出矛盾，故常用反證法證明 (2)用反證法證題時(shí)，如果欲證明命題的反面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒用反證法證題時(shí)，如果欲證明命題的反面情況只有一種，那么只

13、要將這種情況駁倒了就可以；若結(jié)論的反面情況有多種，則必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷結(jié)論了就可以；若結(jié)論的反面情況有多種，則必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷結(jié)論成立成立 (3)證明證明“有且只有一個(gè)有且只有一個(gè)”的問(wèn)題，需要證明兩個(gè)命題，即存在性和唯一性的問(wèn)題，需要證明兩個(gè)命題，即存在性和唯一性 活學(xué)活用活學(xué)活用 求證：過(guò)直線外一點(diǎn)只有一條直線與它平行求證：過(guò)直線外一點(diǎn)只有一條直線與它平行 證明：證明：已知：直線已知：直線 ba，A a，Ab， 求證：直線求證：直線 b 唯一唯一 假設(shè)過(guò)點(diǎn)假設(shè)過(guò)點(diǎn) A 還有一條直線還有一條直線 ba. 根據(jù)平行公理，根據(jù)平行公理，ba，bb， 與與

14、 bbA 矛盾，矛盾，假設(shè)不成立，原命題成立假設(shè)不成立，原命題成立 層級(jí)一層級(jí)一 學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo) 1用反證法證明命題：用反證法證明命題：“若直線若直線 AB，CD 是異面直線，則直線是異面直線，則直線 AC，BD 也是異面直也是異面直線線”的過(guò)程歸納為以下三個(gè)步驟：的過(guò)程歸納為以下三個(gè)步驟： 則則 A，B，C，D 四點(diǎn)共面，所以四點(diǎn)共面，所以 AB，CD 共面，這與共面，這與 AB，CD 是異面直線矛盾；是異面直線矛盾；所以假設(shè)錯(cuò)誤，即直線所以假設(shè)錯(cuò)誤，即直線 AC，BD 也是異面直線；也是異面直線；假設(shè)直線假設(shè)直線 AC，BD 是共面直線是共面直線 則正確的序號(hào)順序?yàn)閯t正確的序號(hào)順

15、序?yàn)? ) A B C D 解析：解析：選選 B 根據(jù)反證法的三個(gè)基本步驟根據(jù)反證法的三個(gè)基本步驟“反設(shè)反設(shè)歸謬歸謬結(jié)論結(jié)論”可可知順序應(yīng)為知順序應(yīng)為. 2用反證法證明命題用反證法證明命題“如果如果 a，bN，ab 可被可被 5 整除，那么整除，那么 a，b 中至少有一個(gè)能被中至少有一個(gè)能被5 整除整除”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為( ) Aa，b 都能被都能被 5 整除整除 Ba，b 都不能被都不能被 5 整除整除 Ca，b 不都能被不都能被 5 整除整除 Da 不能被不能被 5 整除整除 解析：解析：選選 B “至少有一個(gè)至少有一個(gè)”的否定是的否定是“一個(gè)也沒(méi)有一個(gè)也沒(méi)有”，即，即

16、“a，b 都不能被都不能被 5 整除整除”，故選故選 B. 3用反證法證明命題用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至多有一個(gè)鈍角三角形的內(nèi)角中至多有一個(gè)鈍角”時(shí)，反設(shè)正確的是時(shí)，反設(shè)正確的是( ) A三個(gè)內(nèi)角中至少有一個(gè)鈍角三個(gè)內(nèi)角中至少有一個(gè)鈍角 B三個(gè)內(nèi)角中至少有兩個(gè)鈍角三個(gè)內(nèi)角中至少有兩個(gè)鈍角 C三個(gè)內(nèi)角都不是鈍角三個(gè)內(nèi)角都不是鈍角 D三個(gè)內(nèi)角都不是鈍角或至少有三個(gè)內(nèi)角都不是鈍角或至少有兩個(gè)鈍角兩個(gè)鈍角 解析：解析：選選 B “至多有一個(gè)至多有一個(gè)”即要么一個(gè)都沒(méi)有，要么有一個(gè)，故反設(shè)為即要么一個(gè)都沒(méi)有，要么有一個(gè)，故反設(shè)為“至少有兩至少有兩個(gè)個(gè)” 4已知已知 a，b 是異面直線，直線是異面

17、直線，直線 c 平行于直線平行于直線 a，那么，那么 c 與與 b 的位置關(guān)系為的位置關(guān)系為( ) A一定是異面直線一定是異面直線 B一定是相交直線一定是相交直線 C不可能是平行直線不可能是平行直線 D不可能是相交直線不可能是相交直線 解析：解析：選選 C 假設(shè)假設(shè) cb，而由，而由 ca，可得，可得 ab，這與，這與 a，b 異面矛盾，故異面矛盾，故 c 與與 b 不可不可能是平行直線，故應(yīng)選能是平行直線，故應(yīng)選 C. 5已知已知 a，b，c，d 為實(shí)數(shù)，且為實(shí)數(shù)，且 cd，則，則“ab”是是“acbd”的的( ) A充分而不必要條件充分而不必要條件 B必要而不充分條件必要而不充分條件 C充

18、要條件充要條件 D既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件 解析：解析：選選 B cd，cd，ab，ac 與與 bd 的大小無(wú)法比較可采用反的大小無(wú)法比較可采用反證法，當(dāng)證法，當(dāng) acbd 成立時(shí)，假設(shè)成立時(shí)，假設(shè) ab，cd，acbd，與題設(shè)矛盾，與題設(shè)矛盾，ab.綜上可知，綜上可知，“ab”是是“acbd”的必要不充分條件的必要不充分條件 6否定否定“自然數(shù)自然數(shù) a，b，c 中恰有一個(gè)偶數(shù)中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)，正確的反設(shè)是時(shí)，正確的反設(shè)是_ 答案：答案：自然數(shù)自然數(shù) a，b，c 中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù) 7命題命題“a，bR，若，若|a1|b1|0，則，則 ab

19、1”用反證法證明時(shí)應(yīng)假設(shè)為用反證法證明時(shí)應(yīng)假設(shè)為_(kāi) 解析：解析：“ab1”的反面是的反面是“a1 或或 b1”，所以設(shè)為，所以設(shè)為 a1 或或 b1. 答案：答案：a1 或或 b1 8和兩條異面直線和兩條異面直線 AB，CD 都相交的兩條直線都相交的兩條直線 AC，BD 的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是_ 解析：解析：假設(shè)假設(shè) AC 與與 BD 共面于平面共面于平面 ，則，則 A，C，B，D 都在平面都在平面 內(nèi)，內(nèi)，AB，CD，這與，這與 AB，CD 異面相矛盾，故異面相矛盾，故 AC 與與 BD 異面異面 答案：答案：異面異面 9求證：求證：1， 3，2 不能為同一等差數(shù)列的三項(xiàng)不能為同一等差數(shù)列

20、的三項(xiàng) 證明：證明：假設(shè)假設(shè) 1， 3，2 是某一等差數(shù)列的三項(xiàng)，設(shè)這一等差數(shù)列的公差為是某一等差數(shù)列的三項(xiàng)，設(shè)這一等差數(shù)列的公差為 d， 則則 1 3md,2 3nd，其中，其中 m，n 為兩個(gè)正整數(shù)，為兩個(gè)正整數(shù)， 由上面兩式消去由上面兩式消去 d，得，得 n2m 3(nm) 因?yàn)橐驗(yàn)?n2m 為有理數(shù)，而為有理數(shù)，而 3(nm)為無(wú)理數(shù)，為無(wú)理數(shù)， 所以所以 n2m 3(nm)，矛盾，因此假設(shè)不成立，矛盾，因此假設(shè)不成立， 即即 1， 3，2 不能為同一等差數(shù)列的三項(xiàng)不能為同一等差數(shù)列的三項(xiàng) 10已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)在在 R 上是增函數(shù)，上是增函數(shù)，a，bR. (1)求證：如果求證

21、：如果 ab0，那么，那么 f(a)f(b)f(a)f(b)； (2)判斷判斷(1)中的命題的逆命題是否成立？并證明中的命題的逆命題是否成立？并證明你的結(jié)論你的結(jié)論 解：解：(1)證明：當(dāng)證明：當(dāng) ab0 時(shí)，時(shí)，ab 且且 ba. f(x)在在 R 上是增函數(shù)，上是增函數(shù)， f(a)f(b)，f(b)f(a)， f(a)f(b)f(a)f(b) (2)(1)中命題的逆命題為中命題的逆命題為“如果如果 f(a)f(b)f(a)f(b)，那么，那么 ab0”，此命題成，此命題成立立 用反證法證明如下：用反證法證明如下： 假設(shè)假設(shè) ab0，則，則 ab，f(a)f(b) 同理可得同理可得 f(b)

22、f(a) f(a)f(b)f(a)f(b)，這與，這與 f(a)f(b)f(a)f(b)矛盾，故假設(shè)不矛盾，故假設(shè)不成立，成立， ab0 成立，即成立，即(1)中命題的逆命題成立中命題的逆命題成立 層級(jí)二層級(jí)二 應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)應(yīng)試能力達(dá)標(biāo) 1用反證法證明命題用反證法證明命題“關(guān)于關(guān)于 x 的方程的方程 axb(a0)有且只有一個(gè)解有且只有一個(gè)解”時(shí)，反設(shè)是關(guān)于時(shí)，反設(shè)是關(guān)于 x的方程的方程 axb(a0)( ) A無(wú)解無(wú)解 B有兩解有兩解 C至少有兩解至少有兩解 D無(wú)解或至少有兩解無(wú)解或至少有兩解 解析：解析：選選 D “唯一唯一”的否定是的否定是“至少兩解或無(wú)解至少兩解或無(wú)解” 2下列四個(gè)命題

23、中錯(cuò)誤的是下列四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是( ) A在在ABC 中，若中，若A90，則，則B 一定是銳角一定是銳角 B. 17， 13， 11不可能成等差數(shù)列不可能成等差數(shù)列 C在在ABC 中，若中，若 abc，則，則C60 D若若 n 為整數(shù)且為整數(shù)且 n2為偶數(shù)，則為偶數(shù)，則 n 是偶數(shù)是偶數(shù) 解析：解析：選選 C 顯然顯然 A、B、D 命題均真，命題均真，C 項(xiàng)中若項(xiàng)中若 abc，則，則ABC，若，若C60，則，則A60，B60，ABC180與與ABC180矛盾，故選矛盾，故選 C. 3設(shè)設(shè) a，b，c(，0)，則，則 a1b，b1c，c1a( ) A都不大于都不大于2 B都不小于都不小于2 C至

24、少有一個(gè)不大于至少有一個(gè)不大于2 D至少有一個(gè)不小于至少有一個(gè)不小于2 解解析：析：選選 C 假設(shè)都大于假設(shè)都大于2，則，則 a1bb1cc1a6，但，但 a1b b1c c1a a1a b1b c1c2(2)(2)6，矛盾，矛盾 4若若ABC 能被一條直線分成兩個(gè)與自身相似的三角形，那么這個(gè)三角形的形狀是能被一條直線分成兩個(gè)與自身相似的三角形，那么這個(gè)三角形的形狀是( ) A鈍角三角形鈍角三角形 B直角三角形直角三角形 C銳角三角形銳角三角形 D不能確定不能確定 解析：解析：選選 B 分分ABC 的直線只能過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)且與對(duì)邊相交，如直線的直線只能過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)且與對(duì)邊相交，如直線 AD(點(diǎn)點(diǎn) D

25、 在在 BC上上)， 則， 則ADBADC， 若， 若ADB 為鈍角， 則為鈍角， 則ADC 為銳角 而為銳角 而ADCBAD， ADCABD，ABD 與與ACD 不可能相似，與已知不符，只有當(dāng)不可能相似，與已知不符，只有當(dāng)ADBADCBAC2時(shí)，才符合題意時(shí)，才符合題意 5已知數(shù)列已知數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式分別為的通項(xiàng)公式分別為 anan2，bnbn1(a，b 是常數(shù)，且是常數(shù)，且 ab)，那么這兩個(gè)數(shù)列中序號(hào)與數(shù)值均對(duì)應(yīng)相同的項(xiàng)有，那么這兩個(gè)數(shù)列中序號(hào)與數(shù)值均對(duì)應(yīng)相同的項(xiàng)有_個(gè)個(gè) 解析：解析：假設(shè)存在序號(hào)和數(shù)值均相等的項(xiàng)，即存在假設(shè)存在序號(hào)和數(shù)值均相等的項(xiàng)，即存在 n 使得使得 anbn

26、，由題意，由題意 ab，nN*，則恒有則恒有 anbn，從而，從而 an2bn1 恒成立，所以不存在恒成立，所以不存在 n 使使 anbn. 答案：答案：0 6完成反證法證題的全完成反證法證題的全過(guò)程設(shè)過(guò)程設(shè) a1，a2，a7是是 1,2，7 的一個(gè)排列，求證：乘的一個(gè)排列，求證：乘積積 p(a11)(a22)(a77)為偶數(shù)為偶數(shù) 證明：證明：假設(shè)假設(shè) p 為奇數(shù)，則為奇數(shù)，則 a11，a22，a77 均為奇數(shù)因奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和為奇均為奇數(shù)因奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)，故有數(shù)，故有 奇數(shù)奇數(shù)_0. 但但 0奇數(shù)，這一矛盾說(shuō)明奇數(shù)，這一矛盾說(shuō)明 p 為偶數(shù)為偶數(shù) 解析：解析：據(jù)題目要求及解題步驟，據(jù)題

27、目要求及解題步驟， a11，a22，a77 均為奇數(shù)，均為奇數(shù)， (a11)(a22)(a77)也為奇數(shù)也為奇數(shù) 即即(a1a2a7)(127)為奇數(shù)為奇數(shù) 又又a1，a2，a7是是 1,2，7 的一個(gè)排列，的一個(gè)排列， a1a2a7127，故上式為，故上式為 0， 所以奇數(shù)所以奇數(shù)(a11)(a22)(a77) (a1a2a7)(127)0. 答案答案：(a11)(a22)(a77) (a1a2a7)(127) 7已知已知 a，b，c(0,1)，求證求證：(1a)b，(1b)c，(1c)a 不能都大于不能都大于14. 證明：證明：假設(shè)假設(shè)(1a)b，(1b)c，(1c)a 都大于都大于14.

28、 因?yàn)橐驗(yàn)?0a1,0b1,0c1， 所以所以 1a0.由基本不等式，由基本不等式， 得得(1a)b2 (1a)b1412. 同理，同理，(1b)c212，(1c)a212. 將這三個(gè)不等式兩邊分別相加，得將這三個(gè)不等式兩邊分別相加，得 (1a)b2(1b)c2(1c)a2121212， 即即3232，這是不成立的，這是不成立的， 故故(1a)b，(1b)c，(1c)a 不能都大于不能都大于14. 8已知數(shù)列已知數(shù)列an滿足：滿足：a112，3(1an1)1an2(1an)1an1，anan10(n1)；數(shù)列；數(shù)列bn滿足：滿足：bna2n1a2n(n1) (1)求數(shù)列求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公

29、式；的通項(xiàng)公式； (2)證明：數(shù)列證明：數(shù)列bn中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列 解：解：(1)由題意可知，由題意可知，1a2n123(1a2n) 令令 cn1a2n，則，則 cn123cn. 又又 c11a2134，則數(shù)列，則數(shù)列cn是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為 c134，公比為，公比為23的等比數(shù)列，即的等比數(shù)列，即 cn34 23n1， 故故 1a2n34 23n1a2n134 23n1. 又又 a1120，anan10， 故故 an(1)n1 134 23n1. bna2n1a2n 134 23n134 23n114 23n1. (2)用反證法證明用反證法證明 假設(shè)數(shù)列假設(shè)

30、數(shù)列bn存在三項(xiàng)存在三項(xiàng) br，bs，bt(rst)按某種順序成等差數(shù)列，由于數(shù)列按某種順序成等差數(shù)列，由于數(shù)列bn是首項(xiàng)是首項(xiàng)為為14，公比為，公比為23的等比數(shù)列，于是有的等比數(shù)列，于是有 brbsbt，則只可能有，則只可能有 2bsbrbt成立成立 214 23s114 23r114 23t1， 兩邊同乘以兩邊同乘以 3t121r，化簡(jiǎn)得，化簡(jiǎn)得 3tr2tr2 2sr3ts. 由于由于 rst，上式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，故上式不可能成立，導(dǎo)致矛盾故數(shù)上式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，故上式不可能成立，導(dǎo)致矛盾故數(shù)列列bn中任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列中任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列 (時(shí)間：時(shí)間：

31、120 分鐘分鐘 滿分：滿分：150 分分) 一一、選擇題選擇題(本大題本大題共共 12 小題小題，每小題每小題 5 分分，共共 60 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1根據(jù)偶函數(shù)定義可推得根據(jù)偶函數(shù)定義可推得“函數(shù)函數(shù) f(x)x2在在 R 上是偶函數(shù)上是偶函數(shù)”的推理過(guò)程是的推理過(guò)程是( ) A歸納推理歸納推理 B類(lèi)比推理類(lèi)比推理 C演繹推理演繹推理 D非以上答案非以上答案 解析：解析：選選 C 根據(jù)演繹推理的定義知根據(jù)演繹推理的定義知，推理過(guò)程是演繹推理推理過(guò)程是演繹推理，故選故選 C. 2自然數(shù)是整數(shù)自然數(shù)是整數(shù)

32、，4 是自然數(shù)是自然數(shù)，所以所以 4 是整數(shù)以上三段論推理是整數(shù)以上三段論推理( ) A正確正確 B推理形式不正確推理形式不正確 C兩個(gè)兩個(gè)“自然數(shù)自然數(shù)”概念不一致概念不一致 D“兩個(gè)整數(shù)兩個(gè)整數(shù)”概念不一致概念不一致 解析：解析：選選 A 三段論中的大前提三段論中的大前提、小前提及推理形小前提及推理形式都是正確的式都是正確的 3設(shè)設(shè) a，b，c 都是非零實(shí)數(shù)都是非零實(shí)數(shù)，則關(guān)于則關(guān)于 a，bc，ac，b 四個(gè)數(shù)四個(gè)數(shù)，有以下說(shuō)法：有以下說(shuō)法： 四個(gè)數(shù)可能都是正數(shù)；四個(gè)數(shù)可能都是正數(shù)；四個(gè)數(shù)可能都是負(fù)數(shù)；四個(gè)數(shù)可能都是負(fù)數(shù)；四個(gè)數(shù)中既有正數(shù)又有負(fù)數(shù)四個(gè)數(shù)中既有正數(shù)又有負(fù)數(shù) 則說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)

33、有則說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)有( ) A0 B1 C2 D3 解析：解析：選選 B 可用反證法推出可用反證法推出，不正確不正確，因此因此正確正確 4下列推理正確的是下列推理正確的是( ) A把把 a(bc)與與 loga(xy)類(lèi)比類(lèi)比，則有則有 loga(xy)logaxlogay B把把 a(bc)與與 sin(xy)類(lèi)比類(lèi)比，則有則有 sin(xy)sin xsin y C把把 a(bc)與與 axy類(lèi)比類(lèi)比，則有則有 axyaxay D把把(ab)c 與與(xy)z 類(lèi)比類(lèi)比，則有則有(xy)zx(yz) 解析：解析：選選 D (xy)zx(yz)是乘法的結(jié)合律是乘法的結(jié)合律，正確正確 5 已

34、知已知“整數(shù)對(duì)整數(shù)對(duì)”按如下規(guī)律排列：按如下規(guī)律排列： (1,1)， (1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)， (1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，則第則第 70 個(gè)個(gè)“整數(shù)對(duì)整數(shù)對(duì)”為為( ) A(3,9) B(4,8) C(3,10) D(4,9) 解析：解析：選選 D 因?yàn)橐驗(yàn)?121166，所以第所以第 67 個(gè)個(gè)“整數(shù)對(duì)整數(shù)對(duì)”是是(1,12)，第第 68 個(gè)個(gè)“整整數(shù)對(duì)數(shù)對(duì)”是是(2,11)，第第 69 個(gè)個(gè)“整數(shù)對(duì)整數(shù)對(duì)”是是(3,10)，第第 70 個(gè)個(gè)“整數(shù)對(duì)整數(shù)對(duì)”是是(4,9)，故選故選 D. 6求證：求證： 2 3 5. 證明：因?yàn)樽C明：

35、因?yàn)?2 3和和 5都是正數(shù)都是正數(shù)， 所以為了證明所以為了證明 2 3 5， 只需證明只需證明( 2 3)2( 5)2，展開(kāi)得展開(kāi)得 52 65， 即即 2 60，此式顯然成立此式顯然成立，所以不等式所以不等式 2 3 5成立成立 上述證明過(guò)程應(yīng)用了上述證明過(guò)程應(yīng)用了( ) A綜合法綜合法 B分析法分析法 C綜合法綜合法、分析法配合使用分析法配合使用 D間接證法間接證法 解析：解析：選選 B 證明過(guò)程中的證明過(guò)程中的“為了證明為了證明”，“只需證明只需證明”這樣的語(yǔ)句是分析這樣的語(yǔ)句是分析法所特有的法所特有的，是分析法的證明模式是分析法的證明模式 7已知已知bn為等比數(shù)列為等比數(shù)列，b52，

36、則則 b1b2b3b929.若若an為等差數(shù)列為等差數(shù)列，a52，則則an的類(lèi)似結(jié)論為的類(lèi)似結(jié)論為( ) Aa1a2a3a929 Ba1a2a929 Ca1a2a929 Da1a2a929 解析解析：選選 D 由等差數(shù)列性質(zhì)由等差數(shù)列性質(zhì)，有有 a1a9a2a82a5.易知易知 D 成立成立 8若數(shù)列若數(shù)列an是等比數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列則數(shù)列anan1( ) A一定是等比數(shù)列一定是等比數(shù)列 B一定是等差數(shù)列一定是等差數(shù)列 C可能是等比數(shù)列也可能是等差數(shù)列可能是等比數(shù)列也可能是等差數(shù)列 D一定不是等比數(shù)列一定不是等比數(shù)列 解析：解析：選選 C 設(shè)等比數(shù)列設(shè)等比數(shù)列an的公比為的公比為 q，則則

37、 anan1an(1q)當(dāng)當(dāng) q1 時(shí)時(shí)，anan1一定是等比數(shù)列；一定是等比數(shù)列； 當(dāng)當(dāng) q1 時(shí)時(shí)，anan10，此時(shí)為等差數(shù)列此時(shí)為等差數(shù)列 9已知已知 abc0，則則 abbcca 的值的值( ) A大于大于 0 B小于小于 0 C不小于不小于 0 D不大于不大于 0 解析：解析：選選 D 法一：法一：abc0，a2b2c22ab2ac2bc0，abacbca2b2c220. 法二：法二：令令 c0，若若 b0，則則 abbcac0，否則否則 a，b 異號(hào)異號(hào)，abbcacab0，排除排除 A、B、C，選選 D. 10已知已知 123332433n3n13n(nab)c 對(duì)一切對(duì)一切

38、nN*都成立都成立，那么那么 a，b，c 的值的值為為( ) Aa12，bc14 Babc14 Ca0，bc14 D不存在這樣的不存在這樣的 a，b，c 解析：解析：選選 A 令令 n1,2,3， 得得 3 ab c1，9 2ab c7，27 3ab c34. 所以所以 a12，bc14. 11已知數(shù)列已知數(shù)列an的前的前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和 Sn，且且 a11，Snn2an(nN*)，可歸納猜想出可歸納猜想出 Sn的表達(dá)的表達(dá)式為式為( ) ASn2nn1 BSn3n1n1 CSn2n1n2 DSn2nn2 解析：解析：選選 A 由由 a11，得得 a1a222a2，a213，S243；又；又 1

39、13a332a3，a316，S33264； 又又 11316a416a4，得得 a4110，S485. 由由 S122，S243，S364，S485可以猜想可以猜想 Sn2nn1. 12設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x)定義如下表定義如下表，數(shù)列數(shù)列xn滿足滿足 x05，且對(duì)任意的自然數(shù)均有且對(duì)任意的自然數(shù)均有 xn1f(xn)，則則 x2 016( ) x 1 2 3 4 5 f(x) 4 1 3 5 2 A.1 B2 C4 D5 解析：解析： 選選 D x1f(x0)f(5)2， x2f(2)1， x3f(1)4， x4f(4)5， x5f(5)2， ，數(shù)列數(shù)列xn是周期為是周期為 4 的數(shù)列的數(shù)列，

40、所以所以 x2 016x45，故應(yīng)選故應(yīng)選 D. 二二、填空題填空題(本大題共本大題共 4 小題小題，每小題每小題 5 分分，滿分滿分 20 分把答案填在題中的橫線上分把答案填在題中的橫線上) 13已知已知 x，yR，且且 xy0，b0，mlga b2，nlgab2，則則 m，n 的大小關(guān)系是的大小關(guān)系是_ 解析：解析：ab0 ab0ab2 abab ( a b)2( ab)2 a b ab a b2ab2lga b2lg ab2. 答案：答案：mn 15已知已知 223223， 338338， 4415 4415， 6ab6ab，a，b 均為正實(shí)數(shù)均為正實(shí)數(shù)，由以上規(guī)律可推測(cè)出由以上規(guī)律可推

41、測(cè)出 a，b 的值的值，則則 ab_. 解析：解析：由題意歸納推理得由題意歸納推理得 6ab6ab，b621 35，a6.ab63541. 答案：答案：41 16現(xiàn)有一個(gè)關(guān)于平面圖形的命題：如圖現(xiàn)有一個(gè)關(guān)于平面圖形的命題：如圖，同一平面內(nèi)有兩個(gè)邊長(zhǎng)都同一平面內(nèi)有兩個(gè)邊長(zhǎng)都是是 a 的正方形的正方形，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方形重疊則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積恒為部分的面積恒為a24.類(lèi)比到空間類(lèi)比到空間，有兩個(gè)棱長(zhǎng)為有兩個(gè)棱長(zhǎng)為 a 的正方體的正方體，其中一個(gè)的某其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)則這兩個(gè)正方體重疊部分的體

42、積恒為正方體重疊部分的體積恒為_(kāi) 解析：解析：解法的類(lèi)比解法的類(lèi)比(特殊化特殊化)，易得兩個(gè)正方體重疊部分的體積為易得兩個(gè)正方體重疊部分的體積為a38. 答案：答案：a38 三三、解答題解答題(本大題共本大題共 6 小題小題，共共 70 分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟證明過(guò)程或演算步驟) 17(本小題滿分本小題滿分 10 分分)用綜合法或分析法證明：用綜合法或分析法證明： (1)如果如果 a，b0，則則 lg ab2lg alg b2； (2)6 102 32. 證明：證明：(1)當(dāng)當(dāng) a，b0 時(shí)時(shí)，有有ab2 ab， lgab2lg ab， lgab212lg

43、 ablg alg b2. (2)要證要證 6 102 32， 只要證只要證( 6 10)2(2 32)2， 即即 2 602 48，這是顯然成立的這是顯然成立的， 所以所以，原不等式成立原不等式成立 18(本小題滿分本小題滿分 12 分分)若若 a10，a11，an12an1an(n1,2，) (1)求證：求證：an1an； (2)令令 a112，寫(xiě)出寫(xiě)出 a2，a3，a4，a5的值的值，觀察并歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式觀察并歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式 an(不要求不要求證明證明) 解：解：(1)證明：若證明：若 an1an，即即2an1anan， 解得解得 an0 或或 1. 從而從而 ana

44、n1a2a10 或或 1， 這與題設(shè)這與題設(shè) a10，a11 相矛盾相矛盾， 所以所以 an1an不成立不成立 故故 an1an成立成立 (2)由題意得由題意得 a112，a223，a345，a489，a51617，由此猜想：由此猜想：an2n12n11. 19(本小題滿分本小題滿分 12 分分)下列推理是否正確？若不正確下列推理是否正確？若不正確，指出錯(cuò)誤之處指出錯(cuò)誤之處 (1)求證：四邊形的內(nèi)角和等于求證：四邊形的內(nèi)角和等于 360 . 證明：設(shè)四邊形證明：設(shè)四邊形 ABCD 是矩形是矩形，則它的四個(gè)角都是直角則它的四個(gè)角都是直角，有有ABCD90 90 90 90 360 ，所以四邊所以

45、四邊形的內(nèi)角和為形的內(nèi)角和為 360 . (2)已知已知 2 和和 3 都是無(wú)理數(shù)都是無(wú)理數(shù)，試證：試證： 2 3也是無(wú)理數(shù)也是無(wú)理數(shù) 證明：依題設(shè)證明：依題設(shè) 2和和 3都是無(wú)理數(shù)都是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)與無(wú)理數(shù)之和是無(wú)理數(shù)而無(wú)理數(shù)與無(wú)理數(shù)之和是無(wú)理數(shù)，所以所以 2 3必是必是無(wú)理數(shù)無(wú)理數(shù) (3)已知實(shí)數(shù)已知實(shí)數(shù) m 滿足不等式滿足不等式(2m1)(m2)0，用反證法證明：關(guān)于用反證法證明：關(guān)于 x 的方程的方程 x22x5m20 無(wú)實(shí)根無(wú)實(shí)根 證明：假設(shè)方程證明：假設(shè)方程 x22x5m20 有實(shí)根由已知實(shí)數(shù)有實(shí)根由已知實(shí)數(shù) m 滿足不等式滿足不等式(2m1)(m2)0，解得解得2m12，而關(guān)于

46、而關(guān)于 x 的方程的方程 x22x5m20 的判別式的判別式 4(m24)，2m12，14m24，0，即關(guān)于即關(guān)于 x 的方程的方程 x22x5m20 無(wú)實(shí)根無(wú)實(shí)根 解：解：(1)犯了偷換論題的錯(cuò)誤犯了偷換論題的錯(cuò)誤，在證明過(guò)程中在證明過(guò)程中，把論題中的四邊形改為矩形把論題中的四邊形改為矩形 (2)使用的論據(jù)是使用的論據(jù)是“無(wú)理數(shù)與無(wú)理數(shù)的和是無(wú)理數(shù)無(wú)理數(shù)與無(wú)理數(shù)的和是無(wú)理數(shù)”，這個(gè)論據(jù)是假的這個(gè)論據(jù)是假的，因?yàn)閮蓚€(gè)無(wú)理因?yàn)閮蓚€(gè)無(wú)理數(shù)的和不一定是無(wú)理數(shù)數(shù)的和不一定是無(wú)理數(shù)，因此原題的真實(shí)性仍無(wú)法判定因此原題的真實(shí)性仍無(wú)法判定 (3)利用反證法進(jìn)行證明時(shí)利用反證法進(jìn)行證明時(shí)，要把要把假設(shè)作為條件

47、進(jìn)行推理假設(shè)作為條件進(jìn)行推理，得出矛盾得出矛盾，本題在證明過(guò)程本題在證明過(guò)程中并沒(méi)有用到假設(shè)的結(jié)論中并沒(méi)有用到假設(shè)的結(jié)論，也沒(méi)有推出矛盾也沒(méi)有推出矛盾，所以不是反證法所以不是反證法 20(本小題滿分本小題滿分 12 分分)等差數(shù)列等差數(shù)列an的前的前 n 項(xiàng)和為項(xiàng)和為 Sn，a11 2，S393 2. (1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項(xiàng)的通項(xiàng) an與前與前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和 Sn； (2)設(shè)設(shè) bnSnn(nN*)， 求證：數(shù)列求證：數(shù)列bn中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列 解：解：(1)由已知得由已知得 a1 21，3a13d93 2， d2. 故故 an2n1

48、 2，Snn(n 2) (2)由由(1)得得 bnSnnn 2. 假設(shè)數(shù)列假設(shè)數(shù)列bn中存在三項(xiàng)中存在三項(xiàng) bp，bq，br(p，q，r 互不相等互不相等)成等比數(shù)列成等比數(shù)列，則則 b2qbpbr， 即即(q 2)2(p 2)(r 2)， (q2pr)(2qpr) 20， p，q，rN*， q2pr0，2qpr0， pr22pr，(pr)20. pr，與與 pr 矛盾矛盾 數(shù)列數(shù)列bn中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列 21(本小題滿分本小題滿分 12 分分)已知：已知：sin2 30 sin2 90 sin2 150 32，sin2 5 sin2 65 s

49、in2 125 32，通過(guò)觀察上述兩等式的規(guī)律通過(guò)觀察上述兩等式的規(guī)律，請(qǐng)你寫(xiě)出對(duì)任意角度請(qǐng)你寫(xiě)出對(duì)任意角度 都成立的一般性的命題都成立的一般性的命題，并并給予證明給予證明 解：解：一般形式為：一般形式為： sin2sin2(60 )sin2(120 )32. 證明：左邊證明：左邊1cos 221cos 2120 2 1cos 2240 2 3212cos 2cos(2120 )cos(2240 ) 3212(cos 2cos 2cos 120 sin 2sin 120 cos 2cos 240 sin 2sin 240 ) 3212cos 212cos 232sin 212cos 232si

50、n 232右邊右邊 將一般形式寫(xiě)成將一般形式寫(xiě)成 sin2(60 )sin2sin2(60 )32也正確也正確 22(本小題滿分本小題滿分 12 分分)根據(jù)要求證明下列各題：根據(jù)要求證明下列各題： (1)用分析法證明：已知非零向量用分析法證明：已知非零向量 a，b，且且 ab，求證：求證：|a|b|ab| 2； (2)用反證法證明：用反證法證明：1， 2，3 不可能是一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng)不可能是一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng) 證明：證明：(1)aba b0，要證要證|a|b|ab| 2. 只需證只需證|a|b| 2|ab|， 只需證只需證|a|22|a|b|b|22(a22a bb2)， 只需證只需證|

51、a|22|a|b|b|22a22b2， 只需證只需證|a|2|b|22|a|b|0，即即(|a|b|)20， 上式顯然成立上式顯然成立，故原不等式得證故原不等式得證 (2)假設(shè)假設(shè) 1， 2，3 是某一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng)是某一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng)，且分別是第且分別是第 m，n，k 項(xiàng)項(xiàng)(m，n，kN *)， 則數(shù)列的公差則數(shù)列的公差 d21nm31km，即即 212 nm km， 因?yàn)橐驗(yàn)?m，n，kN*，所以所以(nm)Z，(km)Z，所以所以2 nm km為有理數(shù)為有理數(shù)， 所以所以 21 是有理數(shù)是有理數(shù)，這與這與 21 是無(wú)理數(shù)相矛盾是無(wú)理數(shù)相矛盾 故假設(shè)不成立故假設(shè)不成立，所以所以 1， 2，3 不可能是一個(gè)等差數(shù)列的三項(xiàng)不可能是一個(gè)等差數(shù)列的三項(xiàng)