《人教版 高中數(shù)學選修23 教學案1.1 第二課時　兩個計數(shù)原理的綜合應用》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《人教版 高中數(shù)學選修23 教學案1.1 第二課時　兩個計數(shù)原理的綜合應用（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、人教版高中數(shù)學精品資料第二課時兩個計數(shù)原理的綜合應用選(抽)取與分配問題典例某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日語的各一人，有多少種不同的選法？解由題意9人中既會英語又會日語的“多面手”有1人則可分三類：第一類：“多面手”去參加英語時，選出只會日語的一人即可，有2種選法第二類：“多面手”去參加日語時，選出只會英語的一人即可，有6種選法第三類：“多面手”既不參加英語又不參加日語，則需從只會日語和只會英語中各選一人，有2×612(種)方法故共有261220(種)選法選(抽)取與分配問題的常見類型及其解法(1)當涉及對象數(shù)目不大時，一

2、般選用枚舉法、樹形圖法、框圖法或者圖表法(2)當涉及對象數(shù)目很大時，一般有兩種方法：直接使用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理一般地，若抽取是有順序的就按分步進行；若按對象特征抽取的，則按分類進行間接法：去掉限制條件計算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可活學活用1甲、乙、丙3個班各有三好學生3,5,2名，現(xiàn)準備推選2名來自不同班的三好學生去參加校三好學生代表大會，共有_種不同的推選方法解析：分為三類：第一類，甲班選一名，乙班選一名，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理有3×515種選法；第二類，甲班選一名，丙班選一名，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理有3×26種選法；第三類，乙班

3、選一名，丙班選一名，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理有5×210種選法綜合以上三類，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有1561031種不同選法答案：312圖書館有8本不同的有關勵志教育的書，任選3本分給3個同學，每人1本，有_種不同的分法解析：分三步進行：第一步，先分給第一個同學，從8本書中選一本，共有8種方法；第二步，再分給第二個同學，從剩下的7本中任選1本，共有7種方法；第三步，分給第三個同學，從剩下的6本中任選1本，共有6種方法所以不同分法有8×7×6336種答案：336用計數(shù)原理解決組數(shù)問題典例用0,1,2,3,4五個數(shù)字，(1)可以排出多少個三位數(shù)字的電話號碼？(2)可以排

4、成多少個三位數(shù)？(3)可以排成多少個能被2整除的無重復數(shù)字的三位數(shù)？解(1)三位數(shù)字的電話號碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復，每個位置都有5種排法，共有5×5×553125(種)(2)三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5100(種)(3)被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0,2,4，因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0，則有4×312(種)排法；一類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2&#

5、215;3×318(種)排法因而有121830(種)排法即可以排成30個能被2整除的無重復數(shù)字的三位數(shù)組數(shù)問題的常見類型及解決原則(1)常見的組數(shù)問題組成的數(shù)為“奇數(shù)”“偶數(shù)”“被某數(shù)整除的數(shù)”；在某一定范圍內的數(shù)的問題；各位數(shù)字和為某一定值問題；各位數(shù)字之間滿足某種關系問題等(2)解決原則明確特殊位置或特殊數(shù)字，是我們采用“分類”還是“分步”的關鍵一般按特殊位置(末位或首位)由誰占領分類，分類中再按特殊位置(或特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成；如果正面分類較多，可采用間接法求解要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)字或兩位數(shù)字以上的數(shù)的最高位活學活用1從0,2中選一個數(shù)字，從1,3,5中選兩個

6、數(shù)字，組成無重復數(shù)字的三位數(shù)其中奇數(shù)的個數(shù)為()A24B18C12 D6解析：選B由于題目要求是奇數(shù)，那么對于此三位數(shù)可以分成兩種情況：奇偶奇，偶奇奇如果是第一種奇偶奇的情況，可以從個位開始分析(3種情況)，之后十位(2種情況)，最后百位(2種情況)，共12種；如果是第二種情況偶奇奇：個位(3種情況)，十位(2種情況)，百位(不能是0，一種情況)，共6種因此總共有12618種情況故選B2如果一個三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1<a2且a3<a2，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,342,275等)，那么所有凸數(shù)個數(shù)是多少？解：分8類，當中間數(shù)為2時，百位只能選1，個位可選1、0

7、，由分步乘法計數(shù)原理，有1×22個；當中間數(shù)為3時，百位可選1,2，個位可選0,1,2，由分步乘法計數(shù)原理，有2×36個；同理可得：當中間數(shù)為4時，有3×412個；當中間數(shù)為5時，有4×520個；當中間數(shù)為6時，有5×630個；當中間數(shù)為7時，有6×742個；當中間數(shù)為8時，有7×856個；當中間數(shù)為9時，有8×972個故共有26122030425672240個用計數(shù)原理解決涂色(種植)問題典例如圖所示，要給“優(yōu)”、“化”、“指”、“導”四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種，允許同一種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須

8、涂不同的顏色，有多少種不同的涂色方法？解優(yōu)、化、指、導四個區(qū)域依次涂色，分四步第1步，涂“優(yōu)”區(qū)域，有3種選擇第2步，涂“化”區(qū)域，有2種選擇第3步，涂“指”區(qū)域，由于它與“優(yōu)”、“化”區(qū)域顏色不同，有1種選擇第4步，涂“導”區(qū)域，由于它與“化”“指”區(qū)域顏色不同，有1種選擇所以根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，得不同的涂色方法共有3×2×1×16(種)求解涂色(種植)問題一般是直接利用兩個計數(shù)原理求解，常用方法有：(1)按區(qū)域的不同以區(qū)域為主分步計數(shù)，用分步乘法計數(shù)原理分析；(2)以顏色(種植作物)為主分類討論，適用于“區(qū)域、點、線段”問題，用分類加法計數(shù)原理分析；(3)對

9、于涂色問題將空間問題平面化，轉化為平面區(qū)域涂色問題活學活用有4種不同的作物可供選擇種植在如圖所示的4塊試驗田中，每塊種植一種作物，相鄰的試驗田(有公共邊)不能種植同一種作物，共有多少種不同的種植方法？解：法一：第一步：種植A試驗田有4種方法；第二步：種植B試驗田有3種方法；第三步：若C試驗田種植的作物與B試驗田相同，則D試驗田有3種方法，此時有1×33種種植方法若C試驗田種植的作物與B試驗田不同，則C試驗田有2種種植方法，D也有2種種植方法，共有2×24種種植方法由分類加法計數(shù)原理知，有347種方法第四步：由分步乘法計數(shù)原理有N4×3×784種不同的種植

10、方法法二：(1)若A，D種植同種作物，則A、D有4種不同的種法，B有3種種植方法，C也有3種種植方法，由分步乘法計數(shù)原理，共有4×3×336種種植方法(2)若A，D種植不同作物，則A有4種種植方法，D有3種種植方法，B有2種種植方法，C有2種種植方法，由分步乘法計數(shù)原理，共有4×3×2×248種種植方法 綜上所述，由分類加法計數(shù)原理，共有N364884種種植方法層級一學業(yè)水平達標1由數(shù)字1,2,3組成的無重復數(shù)字的整數(shù)中，偶數(shù)的個數(shù)為()A15B12C10 D5解析：選D分三類，第一類組成一位整數(shù)，偶數(shù)有1個；第二類組成兩位整數(shù)，其中偶數(shù)有2個

11、；第三類組成3位整數(shù)，其中偶數(shù)有2個由分類加法計數(shù)原理知共有偶數(shù)5個2三人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下由甲開始踢，經過4次傳遞后，毽子又被踢回甲，則不同的傳遞方式共有()A4種 B5種C6種 D12種解析：選C若甲先傳給乙，則有甲乙甲乙甲，甲乙甲丙甲，甲乙丙乙甲3種不同的傳法；同理，甲先傳給丙也有3種不同的傳法，故共有6種不同的傳法3若三角形的三邊長均為正整數(shù)，其中一邊長為4，另外兩邊長分別為b，c，且滿足b4c，則這樣的三角形有()A10個 B14個C15個 D21個解析：選A當b1時，c4；當b2時，c4,5；當b3時，c4,5,6；當b4時，c4,5,6,7故共有10個這樣的三角

12、形選A4已知集合M1，2,3，N4,5,6，7，從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標，則在直角坐標系中，第一、二象限不同點的個數(shù)為()A18 B16C14 D10解析：選C分兩類：一是以集合M中的元素為橫坐標，以集合N中的元素為縱坐標有3×26個不同的點，二是以集合N中的元素為橫坐標，以集合M中的元素為縱坐標有4×28個不同的點，故由分類加法計數(shù)原理得共有6814個不同的點5如圖，某電子器件是由三個電阻組成的回路，其中共有6個焊接點A，B，C，D，E，F(xiàn)，如果某個焊接點脫落，整個電路就會不通，現(xiàn)在電路不通了，那么焊接點脫落的可能性共有()A6種 B36種C63種 D64種解

13、析：選C每個焊接點都有正常與脫落兩種情況，只要有一個脫落電路即不通，共有26163種故選C6如圖所示為一電路圖，則從A到B共有_條不同的單支線路可通電解析：按上、中、下三條線路可分為三類：從上線路中有3條，中線路中有1條，下線路中有2×24(條)根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有3148(條)答案：87將4種蔬菜種植在如圖所示的5塊試驗田里，每塊試驗田種植一種蔬菜，相鄰試驗田不能種植同一種蔬菜，不同的種法有_種(種植品種可以不全)解析：分五步，由左到右依次種植，種法分別為4,3,3,3,3由分步乘法計數(shù)原理共有4×3×3×3×3324(種) 答案：32

14、48古人用天干、地支來表示年、月、日、時的次序用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成_組解析：分兩類：第一類，由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，則有5×630組不同的結果；同理，第二類也有30組不同的結果，共可得到303060組答案：609某高中畢業(yè)生填報志愿時，了解到甲、乙兩所大學有自己感興趣的專業(yè)，具體情況如下：甲大學乙大學專業(yè)生物學數(shù)學化學會計學醫(yī)學信息技術學工商管理學物理學如果這名同學只能選擇一所大學的一個專業(yè)，那么他的專業(yè)選擇共有

15、多少種？解：由圖表可知，分兩類，第一類：甲所大學有5個專業(yè)，共有5種專業(yè)選擇方法；第二類：乙所大學有3個專業(yè)，共有3種專業(yè)選擇方法由分類加法計數(shù)原理知，這名同學可能的專業(yè)選擇有N538(種) 10若直線方程AxBy0中的A，B可以從0,1,2,3,5這五個數(shù)字中任取兩個不同的數(shù)字，則方程所表示的不同直線共有多少條？解：分兩類完成第1類，當A或B中有一個為0時，表示的直線為x0或y0，共2條第2類，當A，B不為0時，直線AxBy0被確定需分兩步完成第1步，確定A的值，有4種不同的方法；第2步，確定B的值，有3種不同的方法由分步乘法計數(shù)原理知，共可確定4×312條直線由分類加法計數(shù)原理知

16、，方程所表示的不同直線共有21214條層級二應試能力達標1把10個蘋果分成三堆，要求每堆至少有1個，至多5個，則不同的分法共有()A4種B5種C6種 D7種解析：選A分類考慮，若最少一堆是1個，由至多5個知另兩堆分別為4個、5個，只有一種分法；若最少一堆是2個，則由3544知有2種分法；若最少一堆是3個，則另兩堆為3個、4個共1種分法，故共有分法1214種2要把3張不同的電影票分給10個人，每人最多一張，則有不同的分法種數(shù)是()A2 160 B720C240 D120解析：選B可分三步：第一步，任取一張電影票分給一人，有10種不同分法；第二步，從剩下的兩張中任取一張，由于一人已得電影票，不能再

17、參與，故有9種不同分法第三步，前面兩人已得電影票，不再參與，因而剩余最后一張有8種不同分法所以不同的分法種數(shù)是10×9×8720(種) 3用1,2,3三個數(shù)字組成一個四位數(shù)，規(guī)定這三個數(shù)必須全部使用，且同一數(shù)字不能相鄰，這樣的四位數(shù)有()A36個 B18個C9個 D6個解析：選B分三步完成，第一步，確定哪一個數(shù)字被使用2次，有3種方法；第二步，把這2個相同的數(shù)字排在四位數(shù)不相鄰的兩個位置上，有3種方法；第三步，將余下的2個數(shù)字排在四位數(shù)余下的兩個位置上，有2種方法故有3×3×218個不同的四位數(shù)4用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的

18、矩形涂色不同，則不同的涂色方法共有()A12種 B24種C48種 D72種解析：選D先涂C，有4種涂法，涂D有3種涂法，涂A有3種涂法，涂B有2種涂法由分步乘法計數(shù)原理，共有4×3×3×272(種)涂法5從2,3,4,5,6,7,8,9這8個數(shù)中任取2個不同的數(shù)分別作為一個對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則可以組成_個不同的對數(shù)值解析：要確定一個對數(shù)值，確定它的底數(shù)和真數(shù)即可，分兩步完成：第1步，從這8個數(shù)中任取1個作為對數(shù)的底數(shù)，有8種不同取法；第2步，從剩下的7個數(shù)中任取1個作為對數(shù)的真數(shù)，有7種不同取法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可以組成8×756個對數(shù)值在上述56個

19、對數(shù)值中，log24log39，log42log93，log23log49，log32log94，所以滿足條件的對數(shù)值共有56452個答案：526用6種不同的顏色給圖中的“笑臉”涂色，要求“眼睛”(如圖A，B所示區(qū)域)用相同顏色，則不同的涂色方法共有_種解析：第1步涂眼睛有6種涂法，第2步涂鼻子有6種涂法，第3步涂嘴有6種涂法，所以共有63216種涂法答案：2167用6種不同顏色為如圖所示的廣告牌著色，要求在A，B，C，D四個區(qū)域中相鄰(有公共邊的)區(qū)域不用同一種顏色，求共有多少種不同的著色方法？解：(1)法一：分類：第一類，A，D涂同色，有6×5×4120(種)涂法，第二

20、類，A，D涂異色，有6×5×4×3360(種)涂法，共有120360480(種)涂法法二：分步：先涂B區(qū)，有6(種)涂法，再涂C區(qū)，有5(種)涂法，最后涂A，D區(qū)域，各有4(種)涂法，所以共有6×5×4×4480(種)涂法8用1,2,3,4四個數(shù)字(可重復)排成三位數(shù)，并把這些三位數(shù)由小到大排成一個數(shù)列an(1)寫出這個數(shù)列的前11項；(2)這個數(shù)列共有多少項？(3)若an341，求n解：(1)111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133(2)這個數(shù)列的項數(shù)就是用1,2,3,4排成的三位數(shù)的個數(shù)，每個位上都有4種排法，則共有4×4×464項(3)比an341小的數(shù)有兩類：共有2×4×41×3×444項n44145(項)