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1、 數(shù)學(xué)高考10招（2） 就地取材 無中生有計名釋義這一招是專門對付開放題的.開放題有兩種類型：一是開放條件；二是開放結(jié)論.條件開放的試題，結(jié)論明確、解題方向清楚，但條件不足，也就是條件不充分，屬于“必要不充分”的題型，我們的任務(wù)是補充能使結(jié)論成立的充分條件.反之，結(jié)論開放的試題，條件充分，但結(jié)論不明確.我們的任務(wù)則是補充必要條件.典例示計【例1】以下是武漢市某次高中調(diào)考中的一道數(shù)列題：等差數(shù)列的前n項和為Sn，若（a1+a3）2=9，an0（），則S10等于（ ）這道題從正面解，你會發(fā)現(xiàn)無論走哪條路，都“差條件”，陷入欲進不得，欲罷不忍的困境.可是，你是否想到，也可以把選項作條件來用呢？【解析

2、】由于時恒有an0，必S100，排除A、C；設(shè)若S10= -13，即有10a1+109d=-13，那么a1+d=. （1）但由（a1+a3）2=9，an0可得a1+a3= -3，也就是a1+ d= （2）（1）-（2）：d=，于是d0，這與時恒有an0矛盾，故排除D，選B.本解使用的，正是“就地取材”的計策.如果你感到題干中的“條件不夠”，陷入“山窮水復(fù)疑無路”的困境，不妨在選項中就地發(fā)現(xiàn)“柳暗花明又一村”.那么，什么又是“無中生有”呢？請看【例2】06年湖南卷的文科10題：如圖，OMAB，點P在由射線OM，線段OB幾AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界），且OP=x0A+yOB，則實數(shù)對（

3、x，y）可以是 （ ）【解析】如圖，設(shè)向量OP符合要求.過P作PA1AB，交OA于A1，OB于B1，令，顯然0k1.再令，點P在A1B1的延長線上，必1.于是.于是.由（1）知x0，排除A；由（1）+（2）得：x+y=k（0，1），排除B，D，選C.為了解題的需要，我們不僅添加了輔助線，還引入了k，這些參變量，這都是“無中生有”；又為了免除繁雜的計算，我們又在選項中“就地取材”. 再請看【例3】06年湖南卷的理科15題：如圖，OMAB，點P在由射線OM，線段OB幾AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界），且OP=x0A+yOB，則x的取值范圍是當(dāng)時，y的取值范圍是【解析】同上題解法，得： 由于

4、k（0，1）且1，x0.即當(dāng)時，x+y=k，y=k-x=k+（）.【評注】咋一看湖南這兩道題，的確有“樹高蔭深，叫樵夫難以下手”之感。因為僅憑現(xiàn)有圖形，是無論如何也難以找到正確答案的。唯一可行之路，就是“無中生有”了，于是筆者按要求隨意畫一條向量（即解圖中的OP）試試看，又想到關(guān)于向量的問題多能用平移解決，在作出平行線PA1后，已是豁然開朗，成竹在胸了.這難道不是“無中生有”的神奇麼？例4題圖【例4】如圖所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分別是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中點，N是BC中點，點M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運動，則M只要滿足條件 時，就有MN平面B1B

5、DD1（請?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的一個條件即可，不必考慮全部可能情況）.【思考】顯然HNBD，即得HN平面B1BDD1，為使點M在平面EFGH內(nèi)運動時總有B1BDD1MN,只需過HN作平面，使之平行于平面在平面B1BDD1,將線面平行的問題轉(zhuǎn)化為面面平行的問題.【解析】連FH，當(dāng)點M在HF上運動時，恒有MN平面B1BDD1證明如下：連 NH ，HF，BD，B1D1，且平面NHF交B1C1于P.則NH BD，HFBB1，故平面PNHF平面BB1D1D.MN平面PNHF，MN平面B1BDD1【例5】 知F(x)是二次項系數(shù)為負(fù)數(shù)的二次函數(shù)，且對于任何xR,f(2x)=f(2+x)總成立，問f(12x2)與

6、f(1+2xx2)滿足什么條件時，才能使2x0成立.【思考】 根據(jù)已知條件很容易得到f(x)是開口向下且對稱軸為x=2的二次函數(shù)，然后可通過函數(shù)單調(diào)區(qū)間進行分類討論.【解答】 由題設(shè)知：函數(shù)f(x)的圖象是開口向下且對稱軸為直線x=2的拋物線.故函數(shù)f(x)在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù).12x212,1+2xx2=(x1)2+22,12x2,1+2xx2.當(dāng)f(12x2)f(1+2xx2)時，12x20,解得x0,不能使2xf(1+2xx2)時，12x21+2xx2,即x2+2x0,解得2x0,符合題意，當(dāng)f(12x2)=f(1+2xx2)時，可得x=2或0,不能使2xf(1+2xx2)時，才能

7、使2x0時，對應(yīng)的f(x)的性質(zhì)有哪些？（4）你還能研究另外的某些性質(zhì)嗎？（5）設(shè)g(x)=x，寫出與g(x)對應(yīng)的f(x)的三個不同的解析式.【思考】 本例是結(jié)論開放型試題，解題時要求根據(jù)已知條件將結(jié)論（必要條件）補充完整.f(x)與g(x)是什么關(guān)系？我們?nèi)菀子蒮(x)=2ax+b,知f(x)=g(x),可見，只有當(dāng)g(x)=f(x)時，才有可能用g(x)的性質(zhì)來研究f(x)的某些性質(zhì).【解答】 (1)a=1,b=2，g(x)=2x+2.（2）g(x)的一次項系數(shù)是f(x)的二次項系數(shù)與其次數(shù)的積；g(x)的常數(shù)項等于f(x)的一次項系數(shù).(3)g(x)0，即2ax+b0,當(dāng)a0時，x,而x=是f(x)的對稱軸，故這時f(x)是單調(diào)增函數(shù)；a0時,x,f(x)仍為單調(diào)增函數(shù)(前者單調(diào)區(qū)間為.后者單調(diào)區(qū)間為).(4)當(dāng)g(x)0),圓心O在拋物線x2=2Py上運動，MN為圓O在x軸上截得的弦，令|AM|=d1,|AN|=d2,MAN=.（1）當(dāng)O運動時，|MN|是否有變化，并證明你的結(jié)論；（2）求的最大值,并求取得最大值的的值.