《高三理科數(shù)學 一輪總復習第五章　三角函數(shù)教師用書》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高三理科數(shù)學 一輪總復習第五章　三角函數(shù)教師用書（22頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第五章三角函數(shù)高考導航考試要求重難點擊命題展望1.了解任意角的概念和弧度制的概念，能進行弧度與角度的互化.2.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.3.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導出，的正弦、余弦、正切的誘導公式，能畫出ysin x， ycos x ， ytan x的圖象，了解三角函數(shù)的周期性.4.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在0,2上的性質(如單調性、最大值和最小值、圖象與x軸的交點等)，理解正切函數(shù)在(,)上的單調性.5.理解同角三角函數(shù)的基本關系式：sin2xcos2x1 ，tan x.6.了解函數(shù)yAsin(x)的物理意義，能畫出函數(shù)yAsin(x)的圖象，了解參數(shù)A，對函數(shù)圖象

2、變化的影響.7.會用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題，體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型.8.會用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式，會用兩角差的余弦公式推導出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，能運用上述公式進行簡單的恒等變換(包括導出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶).9.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題，能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題.本章重點：1.角的推廣，三角函數(shù)的定義，誘導公式的運用；2.三角函數(shù)的圖象與性質，yAsin(x)(0)的性質、圖象及變換；3

3、.用三角函數(shù)模型解決實際問題；4.以和、差、倍角公式為依據(jù)，提高推理、運算能力；5.正、余弦定理及應用.本章難點：1.任意角的三角函數(shù)的幾何表示，圖象變換與函數(shù)解析式變換的內(nèi)在聯(lián)系；2.靈活運用三角公式化簡、求值、證明； 3.三角函數(shù)的奇偶性、單調性的判斷，最值的求法；4.探索兩角差的余弦公式；5.把實際問題轉化為三角函數(shù)問題.三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學模型.三角函數(shù)的概念、圖象和性質是高考數(shù)學必考的基礎知識之一.在高考中主要考查對三角函數(shù)概念的理解；運用函數(shù)公式進行恒等變形、化簡、求值、證明三角函數(shù)的圖象和性質以及圖象變換、作圖、識圖等.解三角形的問題往往與其他知識(如

4、立體幾何、解析幾何、向量等)相聯(lián)系，考查考生的數(shù)學應用意識，體現(xiàn)以能力立意的高考命題原則.知識網(wǎng)絡 5.1任意角的三角函數(shù)的概念典例精析題型一象限角與終邊相同的角【例1】若是第二象限角，試分別確定2、的終邊所在的象限.【解析】因為是第二象限角，所以k36090k360180(kZ).因為2k36018022k360360(kZ)，故2是第三或第四象限角，或角的終邊在y軸的負半軸上.因為k18045k18090(kZ)，當k2n(nZ)時，n36045n36090，當k2n1(nZ)時，n360225n360270.所以是第一或第三象限角.【點撥】已知角所在象限，應熟練地確定所在象限.如果用1、

5、2、3、4分別表示第一、二、三、四象限角，則、分布如圖，即第一象限角的半角是第一或第三象限角(其余略)，熟記右圖，解有關問題就方便多了.【變式訓練1】若角2的終邊在x軸上方，那么角是()A.第一象限角 B.第一或第二象限角C.第一或第三象限角 D.第一或第四象限角【解析】由題意2k22k，kZ， 得kk，kZ.當k是奇數(shù)時，是第三象限角.當k是偶數(shù)時，是第一象限角.故選C.題型二弧長公式，面積公式的應用【例2】已知一扇形的中心角是，所在圓的半徑是R.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積；(2)若扇形的周長是一定值C(C0)，當為多少弧度時，該扇形的面積有最大值？并求出

6、這個最大值.【解析】(1)設弧長為l，弓形面積為S弓，因為60，R10 cm，所以l cm， S弓S扇S10102sin 6050() cm2.(2)因為C2Rl2RR，所以R，S扇R2()2，當且僅當時，即2(2舍去)時，扇形的面積有最大值為.【點撥】用弧長公式l | R與扇形面積公式SlRR2|時，的單位必須是弧度.【變式訓練2】已知一扇形的面積為定值S，當圓心角為多少弧度時，該扇形的周長C有最小值？并求出最小值.【解析】因為SRl，所以Rl2S，所以周長Cl2R224，當且僅當l2R時，C4，所以當2時，周長C有最小值4.題型三三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)線的應用【例3】(1)已知角的終邊與

7、函數(shù)y2x的圖象重合，求sin ；(2)求滿足sin x的角x的集合.【解析】(1)由 交點為(，)或(，)，所以sin .(2)找終邊：在y軸正半軸上找出點(0，)，過該點作平行于x軸的平行線與單位圓分別交于P1、P2兩點，連接OP1、OP2，則為角x的終邊，并寫出對應的角.畫區(qū)域：畫出角x的終邊所在位置的陰影部分.寫集合：所求角x的集合是x|2kx2k，kZ.【點撥】三角函數(shù)是用角的終邊與單位圓交點的坐標來定義的，因此，用定義求值，轉化為求交點的問題.利用三角函數(shù)線證某些不等式或解某些三角不等式更簡潔、直觀.【變式訓練3】函數(shù)ylg sin x的定義域為.【解析】2kx2k，kZ.所以函數(shù)

8、的定義域為x|2kx2k，kZ.總結提高1.確定一個角的象限位置，不僅要看角的三角函數(shù)值的符號，還要考慮它的函數(shù)值的大小.2.在同一個式子中所采用的量角制度必須相一致，防止出現(xiàn)諸如k360的錯誤書寫.3.三角函數(shù)線具有較好的幾何直觀性，是研究和理解三角函數(shù)的一把鑰匙.5.2同角三角函數(shù)的關系、誘導公式典例精析題型一三角函數(shù)式的化簡問題【點撥】運用誘導公式的關鍵是符號，前提是將視為銳角后，再判斷所求角的象限.【變式訓練1】已知f(x)，(，)，則f(sin 2)f(sin 2).【解析】f(sin 2)f(sin 2)|sin cos |sin cos |.因為(，)，所以sin cos 0，s

9、in cos 0.所以|sin cos |sin cos |sin cos sin cos 2cos .題型二三角函數(shù)式的求值問題【例2】已知向量a(sin ，cos 2sin )，b(1,2).(1)若ab，求tan 的值；(2)若|a|b|，0，求 的值.【解析】(1)因為ab，所以2sin cos 2sin ，于是4sin cos ，故tan .(2)由|a|b|知，sin2(cos 2sin )25，所以12sin 24sin25.從而2sin 22(1cos 2)4，即sin 2cos 21，于是sin(2).又由0知，2，所以2或2.因此或.【變式訓練2】已知tan ，則2sin

10、cos cos2等于()A. B. C. D.2【解析】原式.故選B.題型三三角函數(shù)式的簡單應用問題【例3】已知x0且sin xcos x，求：(1)sin xcos x的值；(2)sin3(x)cos3(x)的值.【解析】(1)由已知得2sin xcos x，且sin x0cos x，所以sin xcos x.(2)sin3(x)cos3(x)cos3xsin3x(cos xsin x)(cos2xcos xsin xsin2x)(1).【點撥】求形如sin xcos x的值，一般先平方后利用基本關系式，再求sin xcos x取值符號.【變式訓練3】化簡.【解析】原式.總結提高1.對于同角

11、三角函數(shù)基本關系式中“同角”的含義，只要是“同一個角”，那么基本關系式就成立，如：sin2(2)cos2(2)1是恒成立的.2.誘導公式的重要作用在于：它揭示了終邊在不同象限且具有一定對稱關系的角的三角函數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系，從而可化負為正，化復雜為簡單.5.3兩角和與差、二倍角的三角函數(shù)典例精析 題型一三角函數(shù)式的化簡【例1】化簡(0).【解析】因為0，所以0，所以原式cos .【點撥】先從角度統(tǒng)一入手，將化成，然后再觀察結構特征，如此題中sin2cos2cos .【變式訓練1】化簡.【解析】原式cos 2x.題型二三角函數(shù)式的求值【例2】已知sin 2cos 0.(1)求tan x的值；(2)求

12、的值.【解析】(1)由sin 2cos 0tan 2，所以tan x.(2)原式1()1.【變式訓練2】.【解析】原式.題型三已知三角函數(shù)值求解【例3】已知tan()，tan ，且，(0，)，求2的值.【解析】因為tan 2()， 所以tan(2)tan2()1，又tan tan()，因為(0，)，所以0，又，所以20，所以2.【點撥】由三角函數(shù)值求角時，要注意角度范圍，有時要根據(jù)三角函數(shù)值的符號和大小將角的范圍適當縮小.【變式訓練3】若與是兩銳角，且sin()2sin ，則與的大小關系是()A.B.C. D.以上都有可能【解析】方法一：因為2sin sin()1，所以sin ，又是銳角，所以

13、30.又當30，60時符合題意，故選B.方法二：因為2sin sin()sin cos cos sin sin sin ，所以sin sin .又因為、是銳角，所以，故選B.總結提高1.兩角和與差的三角函數(shù)公式以及倍角公式等是三角函數(shù)恒等變形的主要工具.(1)它能夠解答三類基本題型：求值題，化簡題，證明題；(2)對公式會“正用”、“逆用”、“變形使用”；(3)掌握角的演變規(guī)律，如“2()()”等.2.通過運用公式，實現(xiàn)對函數(shù)式中角的形式、升冪、降冪、和與差、函數(shù)名稱的轉化，以達到求解的目的，在運用公式時，注意公式成立的條件. 5.4三角恒等變換典例精析題型一三角函數(shù)的求值【例1】已知0，0，3

14、sin sin(2)，4tan 1tan2，求的值.【解析】由4tan 1tan2，得tan .由3sin sin(2)得3sin()sin()，所以3sin()cos 3cos()sin sin()cos cos()sin ，即2sin()cos 4cos()sin ，所以tan()2tan 1.又因為、(0，)，所以.【點撥】三角函數(shù)式的化簡與求值的主要過程是三角變換，要善于抓住已知條件與目標之間的結構聯(lián)系，找到解題的突破口與方向.【變式訓練1】如果tan()，tan()，那么tan()等于()A. B. C. D.【解析】因為()()，所以tan()tan()().故選C.題型二等式的證

15、明【例2】求證：2cos().【證明】證法一：右邊左邊.證法二：2cos()，所以2cos().【點撥】證法一將2寫成()，使右端的角形式上一致，易于共同運算；證法二把握結構特征，用“變更問題法”證明，簡捷而新穎.【變式訓練2】已知5sin 3sin(2)，求證：tan()4tan 0.【證明】因為5sin 3sin(2)，所以5sin()3sin()，所以5sin()cos 5cos()sin 3sin()cos 3cos()sin ，所以2sin()cos 8cos()sin 0. 即tan()4tan 0.題型三三角恒等變換的應用【例3】已知ABC是非直角三角形.(1)求證：tan At

16、an Btan Ctan Atan Btan C；(2)若AB且tan A2tan B，求證：tan C；(3)在(2)的條件下，求tan C的最大值.【解析】(1)因為C(AB)，所以tan Ctan(AB)，所以tan Ctan Atan Btan Ctan Atan B，即tan Atan Btan Ctan Atan Btan C.(2)由(1)知tan C.(3)由(2)知tan C，當且僅當2tan B，即tan B時，等號成立.所以tan C的最大值為.【點撥】熟練掌握三角變換公式并靈活地運用來解決與三角形有關的問題，要有較明確的目標意識.【變式訓練3】在ABC中，tan Bta

17、n Ctan Btan C，tan Atan B1tan Atan B，試判斷ABC的形狀.【解析】由已知得tan Btan C(1tan Btan C)，(tan Atan B)(1tan Atan B)，即，.所以tan(BC)，tan(AB).因為0BC，0AB，所以BC，AB.又ABC，故A，BC.所以ABC是頂角為的等腰三角形.總結提高三角恒等式的證明，一般考慮三個“統(tǒng)一”：統(tǒng)一角度，即化為同一個角的三角函數(shù)；統(tǒng)一名稱，即化為同一種三角函數(shù)；統(tǒng)一結構形式.5.5三角函數(shù)的圖象和性質典例精析題型一三角函數(shù)的周期性與奇偶性【例1】已知函數(shù)f(x)2sin cos cos .(1)求函數(shù)f

18、(x)的最小正周期；(2)令g(x)f(x)，判斷g(x)的奇偶性.【解析】(1)f(x)2sin cos cos sin cos 2sin()，所以f(x)的最小正周期T4.(2)g(x)f(x)2sin(x)2sin()2cos .所以g(x)為偶函數(shù).【點撥】解決三角函數(shù)的有關性質問題，常常要化簡三角函數(shù).【變式訓練1】函數(shù)ysin2xsin xcos x的最小正周期T等于()A.2 B. C. D.【解析】ysin 2x(sin 2xcos 2x)sin(2x)，所以T.故選B.題型二求函數(shù)的值域【例2】求下列函數(shù)的值域：(1)f(x)；(2)f(x)2cos(x)2cos x.【解析

19、】(1)f(x)2cos2x2cos x2(cos x)2，當cos x1時，f(x)max4，但cos x1，所以f(x)4，當cos x時，f(x)min，所以函數(shù)的值域為，4).(2)f(x)2(cos cos xsin sin x)2cos x3cos xsin x2cos(x)，所以函數(shù)的值域為2，2.【點撥】求函數(shù)的值域是一個難點，分析函數(shù)式的特點，具體問題具體分析，是突破這一難點的關鍵.【變式訓練2】求ysin xcos xsin xcos x的值域.【解析】令tsin xcos x，則有t212sin xcos x，即sin xcos x.所以yf(t)t(t1)21.又tsi

20、n xcos xsin(x)，所以t.故yf(t)(t1)21(t)，從而f(1)yf()，即1y.所以函數(shù)的值域為1，.題型三三角函數(shù)的單調性【例3】已知函數(shù)f(x)sin(x)(0，|)的部分圖象如圖所示.(1)求，的值；(2)設g(x)f(x)f(x)，求函數(shù)g(x)的單調遞增區(qū)間.【解析】(1)由圖可知，T4()，2.又由f()1知，sin()1，又f(0)1，所以sin 1.因為|，所以.(2)f(x)sin(2x)cos 2x.所以g(x)(cos 2x)cos(2x)cos 2xsin 2xsin 4x.所以當2k4x2k，即x(kZ)時g(x)單調遞增.故函數(shù)g(x)的單調增區(qū)

21、間為，(kZ).【點撥】觀察圖象，獲得T的值，然后再確定的值，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想與方法.【變式訓練3】使函數(shù)ysin(2x)(x0，)為增函數(shù)的區(qū)間是()A.0， B.，C.， D.，【解析】利用復合函數(shù)單調性“同增異減”的原則判定，選C.總結提高1.求三角函數(shù)的定義域和值域應注意利用三角函數(shù)圖象.2.三角函數(shù)的最值都是在給定區(qū)間上得到的，因而特別要注意題設中所給的區(qū)間.3.求三角函數(shù)的最小正周期時，要盡可能地化為三角函數(shù)的一般形式，要注意絕對值、定義域對周期的影響.4.判斷三角函數(shù)的奇偶性，應先判定函數(shù)定義域的對稱性.5.6函數(shù)yAsin(x)的圖象和性質典例精析題型一“五點法”作函數(shù)圖象

22、【例1】設函數(shù)f(x)sin xcos x(0)的周期為.(1)求它的振幅、初相；(2)用五點法作出它在長度為一個周期的閉區(qū)間上的圖象；(3)說明函數(shù)f(x)的圖象可由ysin x的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到.【解析】(1)f(x)sin xcos x2(sin xcos x)2sin(x)，又因為T，所以，即2，所以f(x)2sin(2x)，所以函數(shù)f(x)sin xcos x(0)的振幅為2，初相為.(2)列出下表，并描點畫出圖象如圖所示.(3)把ysin x圖象上的所有點向左平移個單位，得到y(tǒng)sin(x)的圖象，再把ysin(x)的圖象上的所有點的橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變)，得到y(tǒng)si

23、n(2x)的圖象，然后把ysin(2x)的圖象上的所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)，即可得到y(tǒng)2sin(2x)的圖象.【點撥】用“五點法”作圖，先將原函數(shù)化為yAsin(x)(A0，0)形式，再令x0，2求出相應的x值及相應的y值，就可以得到函數(shù)圖象上一個周期內(nèi)的五個點，用平滑的曲線連接五個點，再向兩端延伸即可得到函數(shù)在整個定義域上的圖象.【變式訓練1】函數(shù)的圖象如圖所示，則()A.k，B.k，C.k，2，D.k2，【解析】本題的函數(shù)是一個分段函數(shù)，其中一個是一次函數(shù)，其圖象是一條直線，由圖象可判斷該直線的斜率k.另一個函數(shù)是三角函數(shù)，三角函數(shù)解析式中的參數(shù)由三角函數(shù)的周期決定，由

24、圖象可知函數(shù)的周期為T4()4，故.將點(，0)代入解析式y(tǒng)2sin(x)，得k，kZ，所以k，kZ.結合各選項可知，選項A正確.題型二三角函數(shù)的單調性與值域【例2】已知函數(shù)f(x)sin2xsin xsin(x)2cos2x，xR(0)在y軸右側的第一個最高點的橫坐標為.(1)求的值；(2)若將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)yg(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的最大值及單調遞減區(qū)間.【解析】(1)f(x)sin 2xcos 2xsin(2x).令2x，將x代入可得1.(2)由(1)得f(x)sin(2x)，經(jīng)過題設的變化得到函

25、數(shù)g(x)sin(x)，當x4k，kZ時，函數(shù)g(x)取得最大值.令2kx2k，即4k，4k(kZ)為函數(shù)的單調遞減區(qū)間.【點撥】本題考查三角函數(shù)恒等變換公式的應用、三角函數(shù)圖象性質及變換.【變式訓練2】若將函數(shù)y2sin(3x)的圖象向右平移個單位后得到的圖象關于點(，0)對稱，則|的最小值是()A.B.C.D.【解析】將函數(shù)y2sin(3x)的圖象向右平移個單位后得到y(tǒng)2sin3(x)2sin(3x)的圖象.因為該函數(shù)的圖象關于點(，0)對稱，所以2sin(3)2sin()0，故有k(kZ)，解得k(kZ).當k0時，|取得最小值，故選A.題型三三角函數(shù)的綜合應用【例3】已知函數(shù)yf(x)

26、Asin2(x)(A0，0,0)的最大值為2，其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2，并過點(1,2).(1)求的值；(2)求f(1)f(2)f(2 008).【解析】(1)yAsin2(x)cos(2x2)，因為yf(x)的最大值為2，又A0， 所以2，所以A2，又因為其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2，0，所以2，所以.所以f(x)cos(x2)1cos(x2)，因為yf(x)過點(1,2)，所以cos(2)1.所以22k(kZ)，解得k(kZ)，又因為0，所以.(2)方法一：因為，所以y1cos(x)1sin x，所以f(1)f(2)f(3)f(4)21014，又因為yf(x)的周期為4,2 008

27、4502.所以f(1)f(2)f(2 008)45022 008.方法二：因為f(x)2sin2(x)，所以f(1)f(3)2sin2()2sin2()2，f(2)f(4)2sin2()2sin2()2，所以f(1)f(2)f(3)f(4)4，又因為yf(x)的周期為4,2 0084502.所以f(1)f(2)f(2 008)45022 008.【點撥】函數(shù)yAcos(x)的對稱軸由xk，可得x，兩相鄰對稱軸間的距離為周期的一半，解決該類問題可畫出相應的三角函數(shù)的圖象，借助數(shù)形結合的思想解決.【變式訓練3】已知函數(shù)f(x)Acos2x2(A0，0)的最大值為6，其相鄰兩條對稱軸間的距離為4，則

28、f(2)f(4)f(6)f(20).【解析】f(x)Acos2x2A22，則由題意知A26，8，所以A4，所以f(x)2cos x4，所以f(2)4，f(4)2，f(6)4，f(8)6，f(10)4，觀察周期性規(guī)律可知f(2)f(4)f(20)2(4246)4238.總結提高1.用“五點法”作yAsin(x)的圖象，關鍵是五個點的選取，一般令x0，2，即可得到作圖所需的五個點的坐標，同時，若要求畫出給定區(qū)間上的函數(shù)圖象時，應適當調整x的取值，以便列表時能使x在給定的區(qū)間內(nèi)取值.2.在圖象變換時，要注意相位變換與周期變換的先后順序改變后，圖象平移的長度單位是不同的，這是因為變換總是對字母x本身而

29、言的，無論沿x軸平移還是伸縮，變化的總是x.3.在解決yAsin(x)的有關性質時，應將x視為一個整體x后再與基本函數(shù)ysin x的性質對應求解.5.7正弦定理和余弦定理典例精析題型一利用正、余弦定理解三角形【例1】在ABC中，AB，BC1，cos C.(1)求sin A的值；(2)求的值.【解析】(1)由cos C得sin C.所以sin A.(2)由(1)知，cos A.所以cos Bcos(AC)cos Acos Csin Asin C.所以()11cos B1.【點撥】在解三角形時，要注意靈活應用三角函數(shù)公式及正弦定理、余弦定理等有關知識. 【變式訓練1】在ABC中，已知a、b、c為它

30、的三邊，且三角形的面積為，則C.【解析】Sabsin C.所以sin Ccos C.所以tan C1，又C(0，)，所以C.題型二利用正、余弦定理解三角形中的三角函數(shù)問題【例2】設ABC是銳角三角形，a、b、c分別是內(nèi)角A、B、C所對的邊長，并且sin2Asin(B)sin(B)sin2B.(1)求角A的值；(2)若12，a2，求b，c(其中bc).【解析】(1)因為sin2A(cos Bsin B)(cos Bsin B)sin2Bcos2Bsin2Bsin2B，所以sin A.又A為銳角，所以A.(2)由12可得cbcos A12.由(1)知A，所以cb24.由余弦定理知a2c2b22cb

31、cos A，將a2及代入得c2b252.2，得(cb)2100，所以cb10.因此，c，b是一元二次方程t210t240的兩個根.又bc，所以b4，c6. 【點撥】本小題考查兩角和與差的正弦公式，同角三角函數(shù)的基本關系，特殊角的三角函數(shù)值，向量的數(shù)量積，利用余弦定理解三角形等有關知識，考查綜合運算求解能力.【變式訓練2】在ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對邊，且滿足(2ac)cos Bbcos C.(1)求角B的大??；(2)若b，ac4，求ABC的面積.【解析】(1)在ABC中，由正弦定理得a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，代入(2ac)cos Bbcos C，整理得

32、2sin Acos Bsin Bcos Csin Ccos B，即2sin Acos Bsin(BC)sin A，在ABC中，sin A0,2cos B1，因為B是三角形的內(nèi)角，所以B60.(2)在ABC中，由余弦定理得b2a2c22accos B(ac)22ac2accos B，將b，ac4代入整理，得ac3.故SABCacsin Bsin 60.題型三正、余弦定理在實際問題中的應用【例3】(20xx陜西)如圖所示，A，B是海面上位于東西方向相距5(3)海里的兩個觀測點.現(xiàn)位于A點北偏東45，B點北偏西60的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60且與B點相距20海里的C點的救援船立即

33、前往營救，其航行速度為30海里/小時，則該救援船到達D點需要多長時間？【解析】由題意知AB5(3)(海里)，DBA906030，DAB904545，所以ADB180(4530)105.在DAB中，由正弦定理得，所以DB10(海里).又DBCDBAABC30(9060)60，BC20海里，在DBC中，由余弦定理得CD2BD2BC22BDBCcosDBC3001 20021020900，所以CD30(海里)，則需要的時間t1(小時).所以，救援船到達D點需要1小時.【點撥】應用解三角形知識解決實際問題的基本步驟是：(1)根據(jù)題意，抽象地構造出三角形；(2)確定實際問題所涉及的數(shù)據(jù)以及要求解的結論與

34、所構造的三角形的邊與角的對應關系；(3)選用正弦定理或余弦定理或者二者相結合求解；(4)給出結論.【變式訓練3】如圖，一船在海上由西向東航行，在A處測得某島M的方位角為北偏東角，前進m km后在B處測得該島的方位角為北偏東角，已知該島周圍n km范圍內(nèi)(包括邊界)有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行，當與滿足條件時，該船沒有觸礁危險.【解析】由題可知，在ABM中，根據(jù)正弦定理得，解得BM，要使船沒有觸礁危險需要BMsin(90)n.所以與的關系滿足mcos cos nsin()時，船沒有觸礁危險.總結提高1.正弦定理、余弦定理體現(xiàn)了三角形中角與邊存在的一種內(nèi)在聯(lián)系，如證明兩內(nèi)角AB與sin Asin B是一

35、種等價關系.2.在判斷三角形的形狀時，一般將已知條件中的邊角關系轉化，統(tǒng)一轉化為邊的關系或統(tǒng)一轉化為角的關系，再用恒等變形(如因式分解、配方)求解，注意等式兩邊的公因式不要隨意約掉，否則會漏解.3.用正弦定理求角的大小一定要根據(jù)題中所給的條件判斷角的范圍，以免增解或漏解. 5.8 三角函數(shù)的綜合應用典例精析題型一利用三角函數(shù)的性質解應用題【例1】如圖，ABCD是一塊邊長為100 m的正方形地皮，其中AST是一半徑為90 m的扇形小山，其余部分都是平地.一開發(fā)商想在平地上建一個矩形停車場，使矩形的一個頂點P在上，相鄰兩邊CQ、CR分別落在正方形的邊BC、CD上，求矩形停車場PQCR面積的最大值和

36、最小值.【解析】如圖，連接AP，過P作PMAB于M.設PAM，0，則PM90sin ，AM90cos ，所以PQ10090cos ，PR10090sin ，于是S四邊形PQCRPQPR(10090cos )(10090sin )8 100sin cos 9 000(sin cos )10 000.設tsin cos ，則1t，sin cos .S四邊形PQCR8 1009 000t10 0004 050(t)2950 (1t).當t時，(S四邊形PQCR)max14 0509 000 m2；當t時，(S四邊形PQCR)min950 m2.【點撥】同時含有sin cos ，sin cos 的函數(shù)

37、求最值時，可設sin cos t，把sin cos 用t表示，從而把問題轉化成關于t的二次函數(shù)的最值問題.注意t的取值范圍.【變式訓練1】若0x，則4x與sin 3x的大小關系是()A.4xsin 3xB.4xsin 3xC.4xsin 3xD.與x的值有關【解析】令f(x)4xsin 3x，則f(x)43cos 3x.因為f(x)43cos 3x0，所以f(x)為增函數(shù).又0x，所以f(x)f(0)0，即得4xsin 3x0.所以4xsin 3x.故選A. 題型二函數(shù)yAsin(x)模型的應用【例2】已知某海濱浴場的海浪高度y(米)是時間t(0t24，單位：小時)的函數(shù)，記作yf(t).下表

38、是某日各時的浪花高度數(shù)據(jù).經(jīng)長期觀測，yf(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)yAcos tb.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)yAcos tb的最小正周期T、振幅A及函數(shù)表達式；(2)依據(jù)規(guī)定，當海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放. 請依據(jù)(1)的結論，判斷一天內(nèi)的上午8：00至晚上20：00之間，有多少時間可供沖浪者進行運動？【解析】(1)由表中數(shù)據(jù)知，周期T12，所以.由t0，y1.5，得Ab1.5，由t3，y1.0，得b1.0，所以A0.5，b1，所以振幅為.所以ycos t1.(2)由題知，當y1時才可對沖浪者開放，所以cos t11，所以cos t0，所以2kt2k，即12k3t12k3.

39、因為0t24，故可令中k分別為0,1,2，得0t3或9t15或21t24.故在規(guī)定時間上午8：00至晚上20：00之間，有6個小時時間可供沖浪者運動，即上午9：00至下午15：00.【點撥】用yAsin(x)模型解實際問題，關鍵在于根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)準確求出函數(shù)解析式.【變式訓練2】如圖，一個半徑為10 m的水輪按逆時針方向每分鐘轉4圈，記水輪上的點P到水面的距離為d m(P在水面下則d為負數(shù))，則d(m)與時間t(s)之間滿足關系式：dAsin(t)k(A0，0，)，且當點P從水面上浮現(xiàn)時開始計算時間，有以下四個結論：A10；k5.其中正確結論的序號是.【解析】.題型三正、余弦定理的應用【例3

40、】為了測量兩山頂M、N間的距離，飛機沿水平方向在A、B兩點進行測量，A、B、M、N在同一個鉛垂平面內(nèi)(如圖所示)，飛機能測量的數(shù)據(jù)有俯角和A、B之間的距離，請設計一個方案，包括：(1)指出需測量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標示)；(2)用文字和公式寫出計算M、N間距離的步驟.【解析】(1)如圖所示：測AB間的距離a；測俯角MAB，NAB，MBA，NBA.(2)在ABM中 ，AMB，由正弦定理得BM，同理在BAN中，BN，所以在BMN中，由余弦定理得MN.【變式訓練3】一船向正北方向勻速行駛，看見正西方向兩座相距10海里的燈塔恰好與該船在同一直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見其中一座燈塔在南偏西60

41、方向上，另一燈塔在南偏西75方向上，則該船的速度是海里/小時.【解析】本題考查實際模型中的解三角形問題.依題意作出簡圖，易知AB10，OCB60，OCA75.我們只需計算出OC的長，即可得出船速.在直角三角形OCA和OCB中，顯然有tanOCBtan 60且tanOCAtan 75， 因此易得ABOAOBOC(tan 75tan 60)，即有OC5.由此可得船的速度為5海里0.5小時10海里/小時.總結提高1.解三角形的應用題時應注意：(1)生活中的常用名詞，如仰角，俯角，方位角，坡比等；(2)將所有已知條件化入同一個三角形中求解；(3)方程思想在解題中的運用.2.解三角函數(shù)的綜合題時應注意：(1)與已知基本函數(shù)對應求解，即將x視為一個整體X；(2)將已知三角函數(shù)化為同一個角的一種三角函數(shù)，如yAsin(x)B或yasin2xbsin xc；(3)換元方法在解題中的運用.