《金版教程高考數(shù)學(xué) 文二輪復(fù)習(xí)講義：第二編 專題整合突破 專題二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第四講 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《金版教程高考數(shù)學(xué) 文二輪復(fù)習(xí)講義：第二編 專題整合突破 專題二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第四講 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 Word版含解析（30頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第四講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 1利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的幾種情況(1)若連續(xù)函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)有唯一的極大值點x0，則f(x0)是函數(shù)f(x)在a，b上的最大值，f(a)，f(b)min是函數(shù)f(x)在a，b上的最小值；若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)有唯一的極小值點x0，則f(x0)是函數(shù)f(x)在a，b上的最小值，f(a)，f(b)max是函數(shù)f(x)在a，b上的最大值(2)若函數(shù)f(x)在a，b上單調(diào)遞增，則f(a)是函數(shù)f(x)在a，b上的最小值，f(b)是函數(shù)f(x)在a，b上的最大值；若函數(shù)f(x)在a，b上單調(diào)遞減，則f(a)是函數(shù)f(x)在a，b上的最大值，f(b)是函數(shù)f(x)在a

2、，b上的最小值(3)若函數(shù)f(x)在a，b上有極值點x1，x2，xn(nN*，n2)，則將f(x1)，f(x2)，f(xn)與f(a)，f(b)作比較，其中最大的一個是函數(shù)f(x)在a，b上的最大值，最小的一個是函數(shù)f(x)在a，b上的最小值2不等式的恒成立與能成立問題(1)f(x)g(x)對一切xI恒成立I是f(x)g(x)的解集的子集f(x)g(x)min0(xI)(2)f(x)g(x)對xI能成立I與f(x)g(x)的解集的交集不是空集f(x)g(x)max0(xI)(3)對x1，x2D使得f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)min.(4)對x1D1，x2D2使得f(x1)g(x2

3、)f(x)ming(x)min，f(x)定義域為D1，g(x)定義域為D2.3證明不等式問題不等式的證明可轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，再由單調(diào)性或最值來證明不等式，其中構(gòu)造一個可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵 考點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(或方程的根)典例示法題型1利用導(dǎo)數(shù)判斷零點(或根)的個數(shù)問題典例120xx陜西高考設(shè)函數(shù)f(x)ln x，mR.(1)當me(e為自然對數(shù)的底數(shù))時，求f(x)的極小值；(2)討論函數(shù)g(x)f(x)零點的個數(shù)；(3)若對任意ba0，1恒成立，求m的取值范圍解(1)由題設(shè)，當me時，f(x)ln x，則f(x)，當x(0，e)，f(x)0，f(

4、x)在(e，)上單調(diào)遞增，當xe時，f(x)取得極小值f(e)ln e2，f(x)的極小值為2.(2)由題設(shè)g(x)f(x)(x0)，令g(x)0，得mx3x(x0)設(shè)(x)x3x(x0)，則(x)x21(x1)(x1)，當x(0,1)時，(x)0，(x)在(0,1)上單調(diào)遞增；當x(1，)時，(x)時，函數(shù)g(x)無零點；當m時，函數(shù)g(x)有且只有一個零點；當0m時，函數(shù)g(x)無零點；當m或m0時，函數(shù)g(x)有且只有一個零點；當0ma0，1恒成立，等價于f(b)b0)，(*)等價于h(x)在(0，)上單調(diào)遞減由h(x)10在(0，)上恒成立，得mx2x2(x0)恒成立，m，m的取值范圍

5、是.題型2利用零點(或根)的存在情況求參數(shù)的取值范圍典例2已知函數(shù)f(x)2ln xx2ax(aR)(1)當a2時，求f(x)的圖象在x1處的切線方程；(2)若函數(shù)g(x)f(x)axm在上有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍解(1)當a2時，f(x)2ln xx22x，f(x)2x2，切點坐標為(1,1)，切線的斜率kf(1)2，則切線方程為y12(x1)，即y2x1.(2)g(x)2ln xx2m，則g(x)2x.x，當g(x)0時，x1.當x0；當1xe時，g(x)0.故g(x)在x1處取得極大值g(1)m1.又gm2，g(e)m2e2，g(e)g4e20，則g(e)g，g(x)在上的最小值是

6、g(e)g(x)在上有兩個零點的條件是解得1m2，實數(shù)m的取值范圍是.三步解決方程解(或曲線公共點)的個數(shù)問題第一步：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題，進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與x軸(或直線yk)在該區(qū)間上的交點問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)性、極值(最值)、端點值等性質(zhì)，進而畫出其圖象；第三步：結(jié)合圖象求解考點利用導(dǎo)數(shù)證明不等式典例示法題型1利用導(dǎo)數(shù)證明不等式典例320xx貴陽監(jiān)測已知a為實常數(shù)，函數(shù)f(x)ln x，g(x)ax1.(1)討論函數(shù)h(x)f(x)g(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)f(x)與g(x)有兩個不同的交點A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中x1x2.求實數(shù)a的

7、取值范圍；求證：1y12.(注：e為自然對數(shù)的底數(shù))解(1)h(x)ln xax1，定義域為(0，)，h(x)a.當a0時，h(x)0，函數(shù)h(x)在(0，)上是增函數(shù)；當a0時，在區(qū)間上，h(x)0；在區(qū)間上，h(x)0.h(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)(2)函數(shù)f(x)與g(x)有兩個不同的交點A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中x1x2，等價于函數(shù)h(x)有兩個零點x1，x2，且x10時，h(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，此時h為函數(shù)h(x)的最大值當h0時，h(x)最多有一個零點，hln 0，解得0a1.，且h110，h22ln a132ln a(0a0，F(xiàn)(a)在(0,1)上

8、單調(diào)遞增，F(xiàn)(a)F(1)3e20，則h0.當0a1時，h(x)在和上各有一個零點，a的取值范圍是(0,1)證明：由(1)可知函數(shù)h(x)ln xax1在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以h110.故x11，即1f(x1)0，所以1y10，構(gòu)造函數(shù)G(x)hh(x)ln a(ln xax)，則G(x)2a0，函數(shù)G(x)在區(qū)間上為減函數(shù)0x1G0.又h(x1)0，hln a1h(x1)G(x1)0h(x2)由(1)知x2x1，即ey1ey22，ey1ey22.題型2利用導(dǎo)數(shù)解決存在與恒成立問題典例420xx四川高考已知函數(shù)f(x)2xln xx22axa2，其中a0.(1)設(shè)g(x)是f(x)的導(dǎo)

9、函數(shù)，討論g(x)的單調(diào)性；(2)證明：存在a(0,1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)0在區(qū)間(1，)內(nèi)有唯一解解(1)由已知，函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，g(x)f(x)2(x1ln xa)，所以g(x)2.當x(0,1)時，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增(2)證明：由f(x)2(x1ln xa)0，解得ax1ln x.令(x)2xln xx22x(x1ln x)(x1ln x)2(1ln x)22xln x，則(1)10，(e)2(2e)0.于是，存在x0(1，e)，使得(x0)0.令a0x01ln x0u(x0)，其中u(x)x1ln x(x1)由u(x)10知，函數(shù)u(x)在區(qū)間

10、(1，)上單調(diào)遞增，故0u(1)a0u(x0)u(e)e21，即a0(0,1)當aa0時，有f(x0)0，f(x0)(x0)0.再由(1)知，f(x)在區(qū)間(1)上單調(diào)遞增，當x(1，x0)時，f(x)f(x0)0；當x(x0，)時，f(x)0，從而f(x)f(x0)0；又當x(0,1時，f(x)(xa0)22xln x0.故x(0，)時，f(x)0.綜上所述，存在a(0,1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)0在區(qū)間(1，)內(nèi)有唯一解1兩招破解不等式的恒成立問題(1)分離參數(shù)法第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；第三步：根據(jù)要求得所求范

11、圍(2)函數(shù)思想法第一步：將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值(最值)；第三步：構(gòu)建不等式求解2利用導(dǎo)數(shù)解決不等式存在性問題的方法技巧根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為某函數(shù)在該區(qū)間上最大(小)值滿足的不等式成立問題，進而用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)在該區(qū)間上的最值問題，最后構(gòu)建不等式求解3利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟(1)作差或變形(2)構(gòu)造新的函數(shù)h(x)(3)利用導(dǎo)數(shù)研究h(x)的單調(diào)性或最值(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式特別地：當作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值問題考點利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題典例示法典例520xx江

12、蘇高考某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路記兩條相互垂直的公路為l1，l2，山區(qū)邊界曲線為C，計劃修建的公路為l.如圖所示，M，N為C的兩個端點，測得點M到l1，l2的距離分別為5千米和40千米，點N到l1，l2的距離分別為20千米和2.5千米以l2，l1所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標系xOy.假設(shè)曲線C符合函數(shù)y(其中a，b為常數(shù))模型(1)求a，b的值；(2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點，P的橫坐標為t.請寫出公路l長度的函數(shù)解析式f(t)，并寫出其定義域；當t為何值時，公路l的長度最短？求出最短長度解(

13、1)由題意知，點M，N的坐標分別為(5,40)，(20,2.5)將其分別代入y，得解得(2)由(1)知，y(5x20), 則點P的坐標為，設(shè)在點P處的切線l交x，y軸分別于A，B點，y，則l的方程為y(xt)，由此得A，B.故f(t) ，t5,20設(shè)g(t)t2，則g(t)2t.令g(t)0，解得t10.當t(5,10)時， g(t)0，g(t)是增函數(shù)；從而，當t10時，函數(shù)g(t)有極小值，也是最小值，所以g(t)min300，此時f(t)min15.故當t10時，公路l的長度最短，最短長度為15千米 利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟(1)建模：分析實際問題中各量之間的關(guān)系，列出實際

14、問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x)(2)求導(dǎo)：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)，解方程f(x)0.(3)求最值：比較函數(shù)在區(qū)間端點和使f(x)0的點的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值(4)作答：回歸實際問題作答針對訓(xùn)練某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)10(x6)2，其中3x6，a為常數(shù)已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大解(1)因為x5時，y11，代入y10(x6)2，所以10

15、11，a2.(2)由(1)可知，該商品每日的銷售量y10(x6)2，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x6.從而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)單調(diào)遞增極大值42單調(diào)遞減由上表可得，x4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點，也是最大值點所以，當x4時，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.答：當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大 全國卷高考真題調(diào)研120xx全國卷設(shè)函數(shù)f(x)ex(2x1)a

16、xa，其中a1，若存在唯一的整數(shù)x0使得f(x0)0，則a的取值范圍是()A. B.C. D.答案D解析由題意可知存在唯一的整數(shù)x0，使得ex0(2x01)ax0a，設(shè)g(x)ex(2x1)，h(x)axa，由g(x)ex(2x1)可知g(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，作出g(x)與h(x)的大致圖象如圖所示，故即所以a1，故選D.220xx全國卷已知函數(shù)f(x)(x2)exa(x1)2.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍解(1)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a)()設(shè)a0，則當x(，1)時，f(x)0.所以f(x)在(，1)上單調(diào)遞減，

17、在(1，)上單調(diào)遞增()設(shè)a，則ln (2a)0；當x(ln (2a)，1)時，f(x)0.所以f(x)在(，ln (2a)，(1，)上單調(diào)遞增，在(ln (2a)，1)上單調(diào)遞減若a1，故當x(，1)(ln (2a)，)時，f(x)0；當x(1，ln (2a)時，f(x)0，則由(1)知，f(x)在(，1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增又f(1)e，f(2)a，取b滿足b0且b(b2)a(b1)2a0，所以f(x)有兩個零點()設(shè)a0，則f(x)(x2)ex，所以f(x)只有一個零點()設(shè)a0，若a，則由(1)知，f(x)在(1，)上單調(diào)遞增，又當x1時f(x)0，故f(x)不存在兩個零點

18、；若a，則由(1)知，f(x)在(1，ln (2a)上單調(diào)遞減，在(ln (2a)，)上單調(diào)遞增，又當x1時f(x)0，故f(x)不存在兩個零點綜上，a的取值范圍為(0，)其它省市高考題借鑒320xx陜西高考如圖，某飛行器在4千米高空水平飛行，從距著陸點A的水平距離10千米處開始下降，已知下降飛行軌跡為某三次函數(shù)圖象的一部分，則該函數(shù)的解析式為()Ayx3x Byx3xCyx3x Dyx3x答案A解析根據(jù)題意知，所求函數(shù)在(5,5)上單調(diào)遞減對于A，yx3x，yx2(x225)，x(5,5)，y1時，f(x)1，當x(1，x0)時，恒有f(x)k(x1)解(1)f(x)x1，x(0，)由f(x

19、)0得解得0x.故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是.(2)證明：令F(x)f(x)(x1)，x(0，)則F(x).當x(1，)時，F(xiàn)(x)1時，F(xiàn)(x)1時，f(x)1滿足題意當k1時，對于x1，有f(x)x1k(x1)，則f(x)1滿足題意當k1時，令G(x)f(x)k(x1)，x(0，)，則G(x)x1k.由G(x)0得，x2(1k)x10.解得x11.當x(1，x2)時，G(x)0，故G(x)在1，x2)內(nèi)單調(diào)遞增從而當x(1，x2)時，G(x)G(1)0，即f(x)k(x1)，綜上，k的取值范圍是(，1)520xx山東高考已知f(x)a(xln x)，aR.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當

20、a1時，證明f(x)f(x)對于任意的x1,2成立解(1)f(x)的定義域為(0，)，f(x)a.當a0時，x(0,1)時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，x(1，)時，f(x)0時，f(x).0a1，當x(0,1)或x時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，當x時，f(x)2時，00，f(x)單調(diào)遞增，當x時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減綜上所述，當a0時，f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1，)內(nèi)單調(diào)遞減；當0a2時，f(x)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在(1，)內(nèi)單調(diào)遞增(2)證明：由(1)知，a1時，f(x)f(x)xln xxln x1，x1,2設(shè)g(x)xln x，h(x)1，x1,2則

21、f(x)f(x)g(x)h(x)由g(x)0，可得g(x)g(1)1，當且僅當x1時取得等號，又h(x).設(shè)(x)3x22x6，則(x)在x1,2上單調(diào)遞減，因為(1)1，(2)10，所以x0(1,2)，使得x(1，x0)時，(x)0，x(x0,2)時，(x)g(1)h(2)，即f(x)f(x)對于任意的x1,2成立一、選擇題120xx陜西高考設(shè)f(x)xsinx，則f(x)()A既是奇函數(shù)又是減函數(shù)B既是奇函數(shù)又是增函數(shù)C是有零點的減函數(shù)D是沒有零點的奇函數(shù)答案B解析f(x)xsin(x)(xsinx)f(x)，f(x)為奇函數(shù)又f(x)1cosx0，f(x)單調(diào)遞增，選B.220xx河南洛

22、陽質(zhì)檢對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿足0，則必有()Af(0)f(2)2f(1) Bf(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)2f(1) Df(0)f(2)2f(1)答案A解析當x1時，f(x)1時，f(x)0，此時函數(shù)f(x)遞增，即當x1時，函數(shù)f(x)取得極小值同時也取得最小值f(1)，所以f(0)f(1)，f(2)f(1)，則f(0)f(2)2f(1)，故選A.320xx河北石家莊模擬若不等式2xln xx2ax3對x(0，)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，0) B(，4C(0，) D4，)答案B解析2xln xx2ax3，則a2ln xx.設(shè)h(x)2ln xx(x0)

23、，則h(x).當x(0,1)時，h(x)0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞增，所以h(x)minh(1)4，所以ah(x)min4，故a的取值范圍是(，4420xx河北衡水中學(xué)調(diào)研已知函數(shù)f(x)的兩個極值點分別為x1，x2，且x1(0,1)，x2(1，)，點P(m，n)表示的平面區(qū)域為D，若函數(shù)yloga(x4)(a1)的圖象上存在區(qū)域D內(nèi)的點，則實數(shù)a的取值范圍是()A(1,3) B(1,3C(3，) D3，)答案A解析f(x)x2mx0的兩根為x1，x2，且x1(0,1)，x2(1，)，則即作出區(qū)域D，如圖陰影部分，可得loga(14)1，所以1a3.520xx江西八校聯(lián)考已知函數(shù)f(x)x(ln

24、xax)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，0) B.C(0,1) D(0，)答案B解析f(x)x(ln xax)，f(x)ln x2ax1，故f(x)在(0，)上有兩個不同的零點，令f(x)0，則2a，設(shè)g(x)，則g(x)，g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，又當x0時，g(x)，當x時，g(x)0，而g(x)maxg(1)1，只需02a10a0，則函數(shù)F(x)xf(x)的零點個數(shù)是()A0 B1C2 D3答案B解析x0時，f(x)0，0，即0.當x0時，由式知(xf(x)0，U(x)xf(x)在(0，)上為增函數(shù)，且U(0)0f(0)0，U(x)xf(x)0在(

25、0，)上恒成立又0，F(xiàn)(x)0在(0，)上恒成立，F(xiàn)(x)在(0，)上無零點當x0時，(xf(x)0在(，0)上恒成立，F(xiàn)(x)xf(x)在(，0)上為減函數(shù)當x0時，xf(x)0，F(xiàn)(x)0，F(xiàn)(x)在(，0)上有唯一零點綜上所述，F(xiàn)(x)在(，0)(0，)上有唯一零點，故選B.二、填空題720xx山西四校聯(lián)考函數(shù)f(x)若方程f(x)mx恰有四個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是_答案解析在平面直角坐標系中作出函數(shù)yf(x)的圖象，如圖，而函數(shù)ymx恒過定點，設(shè)過點與函數(shù)yln x的圖象相切的直線為l1，切點坐標為(x0，ln x0)因為yln x的導(dǎo)函數(shù)y，所以圖中yln x的切線l1

26、的斜率為k，則，解得x0，所以k.又圖中l(wèi)2的斜率為，故當方程f(x)mx恰有四個不相等的實數(shù)根時，實數(shù)m的取值范圍是.820xx河南鄭州質(zhì)檢三設(shè)函數(shù)f(x)是定義在(，0)上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且有2f(x)xf(x)x2，則不等式(x20xx)2f(x20xx)4f(2)0的解集為_答案(，20xx)解析由2f(x)xf(x)x2，x0得2xf(x)x2f(x)x3，x2f(x)x30.令F(x)x2f(x)(x0)，則F(x)0(x0即為F(x20xx)F(2)0，即F(x20xx)F(2)，又因為F(x)在(，0)上是減函數(shù)，所以x20xx2，x0(其中f(x)是函數(shù)f(x

27、)的導(dǎo)函數(shù))，則下列不等式中成立的有_(1)ff(3)f(0)f(4)f0，且f(x)cosxf(x)sinxf(x)cosxf(x)(cosx)，所以可構(gòu)造函數(shù)g(x)，則g(x)0，所以g(x)為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，所以有g(shù)g2f，ggf，gf.由函數(shù)單調(diào)性可知ggg，即ffg(0)f(0)，所以(3)正確三、解答題1020xx珠海模擬某造船公司年最大造船量是20艘，已知造船x艘的產(chǎn)值函數(shù)為R(x)3700x45x210x3(單位：萬元)，成本函數(shù)為C(x)460x5000(單位：萬元)，又在經(jīng)濟學(xué)中，函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為Mf(x)f(x1)f(x)(1)求利潤函數(shù)P(

28、x)及邊際利潤函數(shù)MP(x)；(提示：利潤產(chǎn)值成本)(2)問年造船量安排多少艘時，可使公司造船的年利潤最大？(3)求邊際利潤函數(shù)MP(x)的單調(diào)遞減區(qū)間，并說明單調(diào)遞減在本題中的實際意義是什么？解(1)P(x)R(x)C(x)10x345x23240x5000(xN*，且1x20)；MP(x)P(x1)P(x)30x260x3275(xN*，且1x19)(2)P(x)30x290x324030(x12)(x9)，因為x0，所以P(x)0時，x12，當0x0，當x12時，P(x)0，f(x)在(0，)上為增函數(shù)，當a0時，當0xa時，f(x)a時，f(x)0，所以f(x)在(0，a)上為減函數(shù)，

29、f(x)在(a，)上為增函數(shù)(2)由題意知xaln x10在x1，)恒成立，設(shè)g(x)xaln x1，x1，)，則g(x)1，x1，)，設(shè)h(x)2x22ax1ln x，則h(x)4x2a，當a0時，4x為增函數(shù)，所以h(x)a0，所以g(x)在1，)上單調(diào)遞增，g(x)g(1)0，當a0時，h(x)a0，所以g(x)在1，)上單調(diào)遞增，g(x)g(1)0，當a時，當x時，2a12x，由(1)知，當a1時，xln x10，ln xx1，ln x1，h(x)2x22axln x12x22ax2x22axx2x2(2a1)x0，此時g(x)0，所以g(x)在上單調(diào)遞減，在上，g(x)g(1)0，不

30、符合題意綜上所述a.1220xx濟寧模擬已知函數(shù)f(x)exaxa(其中aR，e是自然對數(shù)的底數(shù)，e2.71828)(1)當ae時，求函數(shù)f(x)的極值；(2)當0a1時，求證f(x)0；(3)求證：對任意正整數(shù)n，都有e.解(1)當ae時，f(x)exexe，f(x)exe，當x1時，f(x)1時，f(x)0.所以函數(shù)f(x)在(，1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在x1處取得極小值f(1)e，函數(shù)f(x)無極大值(2)證明：由f(x)exaxa，f(x)exa，當a0時，f(x)ex0恒成立，滿足條件當0a1時，由f(x)0，得xln a，則當x(，ln a)時，f(x

31、)0，所以函數(shù)f(x)在(，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在xln a處取得極小值即為最小值f(x)minf(ln a)eln aaln aaaln a因為0a1，所以ln a0，所以aln a0所以f(x)min0，所以當0a1時，f(x)0；(3)證明：由(2)知，當a1時，f(x)0恒成立，所以f(x)exx10恒成立，即exx1，所以ln (x1)x，令x(nN*)，得ln ，所以ln ln ln 1n1.所以e.典題例證20xx全國卷設(shè)函數(shù)f(x)ln xx1.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)證明當x(1，)時，11，證明當x(0,1)時，1(c

32、1)xcx.審題過程求出導(dǎo)函數(shù)f(x)然后確定函數(shù)f(x)的單調(diào)性利用(1)的結(jié)論證明不等式；構(gòu)造新函數(shù)，通過研究新函數(shù)的單調(diào)性進行證明.(1)由題設(shè)知，f(x)的定義域為(0，)，f(x)1，令f(x)0解得x1.當0x0，f(x)單調(diào)遞增；當x1時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減(2)證明：由(1)知f(x)在x1處取得最大值，最大值為f(1)0.所以當x1時，ln xx1.故當x(1，)時，ln xx1，ln 1且xln xx1，即11，設(shè)g(x)1(c1)xcx，則g(x)c1cxln c，令g(x)0，解得x0.當x0，g(x)單調(diào)遞增；當xx0時，g(x)0，g(x)單調(diào)遞減由(2)知1c，故0x01.又g(0)g(1)0，故當0x0.所以當x(0,1)時，1(c1)xcx.模型歸納利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的模型示意圖如下：