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1、【導與練】（新課標）2016屆高三數(shù)學一輪復習 第8篇 第4節(jié) 雙曲線課時訓練 理 【選題明細表】知識點、方法題號雙曲線的定義與標準方程1、6、7、10雙曲線的幾何性質2、3、4、8、9雙曲線的綜合問題5、11、12、13、14、15、16、17基礎過關一、選擇題1.(2014福建晉江模擬)雙曲線2x2-y2=8的實軸長是(C)(A)2(B)22(C)4(D)42解析:雙曲線的標準方程為x24-y28=1,所以a=2,則實軸長是4.2.(2014湖南師大附中質檢)設雙曲線x2a2-y29=1(a0)的漸近線方程為3x2y=0,則a的值為(C)(A)4(B)3(C)2(D)1解析:由題意得3a=

2、32,a=2.3.已知00,b0)的右焦點F,直線x=a2c與其漸近線交于A,B兩點,與x軸交于D點,且ABF為鈍角三角形,則離心率取值范圍是(D)(A)(3,+)(B)(1,3)(C)(2,+)(D)(1,2)解析:易知A(a2c,abc),若ABF為鈍角三角形,則AFB為鈍角,即AFD45,所以在ADF中,tanAFD=ADDF=abcc-a2c1,解得1e0,b0)的左、右焦點分別是F1、F2,過F1作傾斜角為30的直線交雙曲線右支于M點,若MF2x軸,則雙曲線的離心率為.解析:由條件令|MF2|=m,|MF1|=2m,則|F1F2|=3m,即2c=3m,2a=|MF1|-|MF2|=2

3、m-m=m,所以離心率e=2c2a=3mm=3.答案:310.(2013高考天津卷)已知拋物線y2=8x的準線過雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一個焦點,且雙曲線的離心率為2,則該雙曲線的方程為.解析:由拋物線y2=8x知其準線方程為x=-2.則雙曲線中c=2,ca=2a=2,a=1,b=3.所以雙曲線方程為x2-y23=1.答案:x2-y23=111.已知雙曲線關于兩坐標軸對稱,且與圓x2+y2=10相交于點P(3,-1),若此圓過點P的切線與雙曲線的一條漸近線平行,則此雙曲線的方程為.解析:切點為P(3,-1)的圓x2+y2=10的切線方程是3x-y=10.雙曲線的一條漸近線與

4、此切線平行,且雙曲線關于兩坐標軸對稱,兩漸近線方程為3xy=0.設所求雙曲線方程為9x2-y2=(0).點P(3,-1)在雙曲線上,代入上式可得=80,所求的雙曲線方程為x2809-y280=1.答案:x2809-y280=1三、解答題12.(2015山東濰坊第一次質檢)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0)的離心率為2,焦點到漸近線的距離等于3,過右焦點F2的直線l交雙曲線于A、B兩點,F1為左焦點.(1)求雙曲線的方程;(2)若F1AB的面積等于62,求直線l的方程.解:(1)依題意,b=3,ca=2a=1,c=2,雙曲線的方程為x2-y23=1.(2)設A(x1,y1),B(x2

5、,y2),由(1)知F2(2,0).易驗證當直線l斜率不存在時不滿足題意,故可設直線l:y=k(x-2),由y=k(x-2),x2-y23=1,消元得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0,k3時,x1+x2=4k2k2-3,x1x2=4k2+3k2-3,y1-y2=k(x1-x2),F1AB的面積S=c|y1-y2|=2|k|x1-x2|=2|k|16k4-4(k2-3)(4k2+3)|k2-3|=12|k|k2+1|k2-3|=62.得k4+8k2-9=0,則k=1.所以直線l方程為y=x-2或y=-x+2.13.已知等軸雙曲線的中心在原點,焦點F1、F2在坐標軸上,且過點P(4,-1

6、0).(1)求雙曲線方程;(2)若點M(3,m)在雙曲線上,求證:MF1MF2=0.(1)解:設雙曲線方程為x2-y2=(0).雙曲線過點(4,-10),16-10=,即=6,雙曲線方程為x2-y2=6,即x26-y26=1.(2)證明:法一由(1)可知,雙曲線中a=b=6,c=23,F1(-23,0),F2(23,0),kMF1=m3+23,kMF2=m3-23,kMF1kMF2=m29-12=-m23.點M(3,m)在雙曲線上,9-m2=6,m2=3.故kMF1kMF2=-1,MF1MF2,MF1MF2=0.法二由(1)可知,雙曲線中a=b=6,c=23,F1(-23,0),F2(23,0

7、).MF1=(-23-3,-m),MF2=(23-3,-m),MF1MF2=(3+23)(3-23)+m2=m2-3.點M在雙曲線上,9-m2=6.m2=3,即m2-3=0,MF1MF2=0.能力提升14.(2014浙江衢州模擬)過雙曲線x2a2-y2b2=1(ba0)的左焦點F(-c,0)(c0)作圓x2+y2=a2的切線,切點為E,延長FE交拋物線y2=4cx于點P,O為坐標原點,若OE=12(OF+OP),則雙曲線的離心率為(D)(A)3+32(B)1+32(C)52(D)1+52解析:拋物線的焦點坐標為F2(c,0),準線方程為x=-c.圓的半徑為a,OE=12(OF+OP),所以E是

8、FP的中點,又E是切點,所以OEFP,連接PF2,則PF2FP,且PF2=2a,所以OE=a,FE=b,PF=2b,過P作準線的垂線PM,則PM=PF2=2a,所以MF=PF2-PM2=(2b)2-(2a)2=2b2-a2,在直角三角形FPF2中,PFPF2=FF2MF,即2b2a=2c2b2-a2,所以c2(b2-a2)=a2b2,即c2(c2-2a2)=a2(c2-a2),整理得c4-3a2c2+a4=0,即e4-3e2+1=0,解得e2=39-42=352,根據(jù)題意舍去e2=3-52,所以e2=3+52,即e2=3+52=6+254=(5+1)24,所以e=1+52.15.已知點P在曲線

9、C1:x216-y29=1上,點Q在曲線C2:(x-5)2+y2=1上,點R在曲線C3:(x+5)2+y2=1上,則|PQ|-|PR|的最大值是.解析:依題意知P在曲線C1的左支上時|PQ|-|PR|取到最大值,|PQ|的最大值為|PC2|+1,|PR|的最小值為|PC3|-1,則|PQ|-|PR|的最大值是|PC2|+1-(|PC3|-1)=|PC2|-|PC3|+2=8+2=10.答案:1016.(2014高考湖南卷)如圖,O為坐標原點,雙曲線C1:x2a12-y2b12=1(a10,b10)和橢圓C2:y2a22+x2b22=1(a2b20)均過點P(233,1),且以C1的兩個頂點和C

10、2的兩個焦點為頂點的四邊形是面積為2的正方形.(1)求C1,C2的方程;(2)是否存在直線l,使得l與C1交于A,B兩點,與C2只有一個公共點,且|OA+OB|=|AB|?證明你的結論.解:(1)設C2的焦距為2c2,由題意知,2c2=2,2a1=2.從而a1=1,c2=1.因為點P(233,1)在雙曲線x2-y2b12=1上,所以(233)2-1b12=1.故b12=3.由橢圓的定義知2a2=(233)2+(1-1)2+(233)2+(1+1)2=23.于是a2=3,b22=a22-c22=2.故C1,C2的方程分別為x2-y23=1,y23+x22=1.(2)不存在符合題設條件的直線.若直

11、線l垂直于x軸,因為l與C2只有一個公共點,所以直線l的方程為x=2或x=-2.當x=2時,易知A(2,3),B(2,-3),所以|OA+OB|=22,|AB|=23.此時,|OA+OB|AB|.當x=-2時,同理可知,|OA+OB|AB|.若直線l不垂直于x軸,設l的方程為y=kx+m.由y=kx+m,x2-y23=1得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.當l與C1相交于A,B兩點時,設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是上述方程的兩個實根,從而x1+x2=2km3-k2,x1x2=m2+3k2-3.于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=3k2-3m2k2

12、-3.由y=kx+m,y23+x22=1得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.因為直線l與C2只有一個公共點,所以上述方程的判別式=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.化簡,得m2=2k2+3.因此OAOB=x1x2+y1y2=m2+3k2-3+3k2-3m2k2-3=-k2-3k2-30,于是OA2+OB2+2OAOBOA2+OB2-2OAOB,即|OA+OB|2|OA-OB|2.故|OA+OB|AB|.綜合,可知,不存在符合題設條件的直線.探究創(chuàng)新17.(2015貴州省六校聯(lián)盟聯(lián)考)我們把焦點相同,且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“相關曲線”.已知F1、F2是一

13、對相關曲線的焦點,P是它們在第一象限的交點,當F1PF2=60時,這一對相關曲線中雙曲線的離心率是.解析:設橢圓的半長軸為a1,橢圓的離心率為e1,則e1=ca1,a1=ce1.設雙曲線的實半軸為a,雙曲線的離心率為e,e=ca,a=ce.|PF1|=x,|PF2|=y(xy0),則由余弦定理得4c2=x2+y2-2xycos 60=x2+y2-xy,當點P看作是橢圓上的點時,有4c2=(x+y)2-3xy=4a12-3xy,當點P看作是雙曲線上的點時,有4c2=(x-y)2+xy=4a2+xy,聯(lián)立消去xy得4c2=a12+3a2,即4c2=ce12+3ce2,所以1e12+31e2=4,又因為1e1=e,所以e2+3e2=4,整理得e4-4e2+3=0,解得e2=3,所以e=3,即雙曲線的離心率為3.答案:3