《人教A版理科高考數(shù)學(xué)一輪細講精練【選修44】坐標系與參數(shù)方程》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《人教A版理科高考數(shù)學(xué)一輪細講精練【選修44】坐標系與參數(shù)方程（23頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、選修44坐標系與參數(shù)方程第1講坐標系最新考綱1理解坐標系的作用了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況2會在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，能進行極坐標和直角坐標的互化3能在極坐標系中給出簡單圖形(如過極點的直線、過極點或圓心在極點的圓)表示的極坐標方程.知 識 梳 理1極坐標系(1)極坐標系的建立：在平面上取一個定點O，叫做極點，從O點引一條射線Ox，叫做極軸，再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就確定了一個極坐標系設(shè)M是平面內(nèi)一點，極點O與點M的距離OM叫做點M的極徑，記為，以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角叫做點M的極角，記為.

2、有序數(shù)對(，)叫做點M的極坐標，記作M(，)(2)極坐標與直角坐標的關(guān)系：把直角坐標系的原點作為極點，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位，設(shè)M是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標是(x，y)，極坐標為(，)，則它們之間的關(guān)系為xcos ，ysin_.另一種關(guān)系為2x2y2，tan .2直線的極坐標方程若直線過點M(0，0)，且極軸到此直線的角為，則它的方程為：sin()0sin (0)幾個特殊位置的直線的極坐標方程(1)直線過極點：0和0；(2)直線過點M(a,0)且垂直于極軸：cos a；(3)直線過M且平行于極軸：sin b.3圓的極坐標方程若圓心為M(0，0)，半徑為r的圓

3、方程為220cos(0)r20.幾個特殊位置的圓的極坐標方程(1)當圓心位于極點，半徑為r：r；(2)當圓心位于M(a,0)，半徑為a：2acos_；(3)當圓心位于M，半徑為a：2asin_.診 斷 自 測1點P的直角坐標為(，)，那么它的極坐標可表示為_解析直接利用極坐標與直角坐標的互化公式答案2若曲線的極坐標方程為2sin 4cos ，以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標系，則該曲線的直角坐標方程為_解析2sin 4cos ，22sin 4cos .x2y22y4x，即x2y22y4x0.答案x2y24x2y03(2014西安五校一模)在極坐標系(，)(02)中，曲線2sin 與c

4、os 1的交點的極坐標為_ 解析2sin 的直角坐標方程為x2y22y0，cos 1的直角坐標方程為x1，聯(lián)立方程，得解得即兩曲線的交點為(1,1)，又02，因此這兩條曲線的交點的極坐標為.答案4在極坐標系中，直線l的方程為sin 3，則點到直線l的距離為_解析直線l的極坐標方程可化為y3，點化為直角坐標為(，1)，點到直線l的距離為2.答案25在極坐標系中，圓4sin 的圓心到直線(R)的距離是_解析將極坐標方程轉(zhuǎn)化為平面直角坐標系中的一般方程求解，極坐標系中的圓4sin 轉(zhuǎn)化為平面直角坐標系中的一般方程為：x2y24y，即x2(y2)24，其圓心為(0,2)，直線轉(zhuǎn)化為平面直角坐標系中的方

5、程為yx，即x3y0.圓心(0,2)到直線x3y0的距離為.答案考點一極坐標與直角坐標的互化【例1】 (1)把點M的極坐標化成直角坐標；(2)把點M的直角坐標(，1)化成極坐標解(1)x5cos ，y5sin ，點M的直角坐標是.(2)2，tan .點M在第三象限，0，最小正角.因此，點M的極坐標是.規(guī)律方法 (1)在由點的直角坐標化為極坐標時，一定要注意點所在的象限和極角的范圍，否則點的極坐標將不唯一(2)在曲線的方程進行互化時，一定要注意變量的范圍要注意轉(zhuǎn)化的等價性【訓(xùn)練1】 (1)把點M的極坐標化成直角坐標；(2)把點P的直角坐標(，)化成極坐標(0,02)解(1)x8cos 4，y8s

6、in 4，因此，點M的直角坐標是(4,4)(2)2，tan ，又因為點在第四象限，得.因此，點P的極坐標為.考點二直角坐標方程與極坐標方程的互化【例2】 在直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為cos1，M，N分別為曲線C與x軸，y軸的交點(1)寫出曲線C的直角坐標方程，并求M，N的極坐標；(2)設(shè)M，N的中點為P，求直線OP的極坐標方程解(1)cos1，cos cos sin sin 1.又，xy1.即曲線C的直角坐標方程為xy20.令y0，則x2；令x0，則y.M(2,0)，N.M的極坐標為(2,0)，N的極坐標為.(2)M，N連線的中點P的直角

7、坐標為，P的極角為.直線OP的極坐標方程為(R)規(guī)律方法 直角坐標方程與極坐標方程的互化，關(guān)鍵要掌握好互化公式，研究極坐標系下圖形的性質(zhì)，可轉(zhuǎn)化為我們熟悉的直角坐標系的情境【訓(xùn)練2】 O1和O2的極坐標方程分別為4cos ，4sin .(1)把O1和O2的極坐標方程化為直角坐標方程；(2)求經(jīng)過O1，O2交點的直線的直角坐標方程解以極點的原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系，兩坐標系中取相同的長度單位(1)4cos ，兩邊同乘以，得24cos ；4sin ，兩邊同乘以，得24sin .由cos x，sin y，2x2y2，得O1，O2的直角坐標方程分別為x2y24x0和x2y24y0.(2

8、)由得4x4y0，即xy0為所求直線方程考點三曲線極坐標方程的應(yīng)用【例3】 (2014廣州調(diào)研)在極坐標系中，求直線sin2被圓4截得的弦長解由sin2，得(sin cos )2可化為xy20.圓4可化為x2y216，由圓中的弦長公式得：224.故所求弦長為4.規(guī)律方法 在已知極坐標方程求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時，如果不能直接用極坐標解決，或用極坐標解決較麻煩，可將極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程解決【訓(xùn)練3】 (2012江蘇卷)在極坐標系中，已知圓C經(jīng)過點P(，)，圓心為直線sin與極軸的交點，求圓C的極坐標方程解在sin中令0，得1，所以圓C的圓心坐標為(1,0)因為圓C經(jīng)過點P，所

9、以圓C的半徑PC 1，于是圓C過極點，所以圓C的極坐標方程為2cos .因忽視極坐標系下點的極坐標不唯一性致誤【典例】 (10分)在極坐標系下，若點P(，)的一個極坐標為，求以為坐標的不同的點的極坐標錯解展示甲：解化為直角坐標為(2,2)，故該點與原點的中點坐標為(1，)，化為極坐標為.乙：解4，故2，因此所求極坐標為.規(guī)范解答為點P(，)的一個極坐標4或4. (2分)當4時，2k(kZ)，2，k(kZ)(4分)當4時，2k(kZ)，2，k(kZ)(6分)有四個不同的點：P1，P2(kZ)，P3，P4(kZ) (10分)反思感悟甲生解法中將直角坐標系的中點坐標公式應(yīng)用于極坐標系中的中點，事實上

10、(，)與的關(guān)系并不是點(，)與極點的中點為，從幾何意義上講點應(yīng)滿足該點的極角為的，極徑為的.乙生解法中滿足的幾何意義，但由于極坐標系內(nèi)點的極坐標的不唯一性，還應(yīng)就點(，)的其他形式的極坐標進行討論【自主體驗】下列各點中與極坐標不表示同一個點的極坐標是_解析因為與表示同一點的坐標有或，其中kZ，所以易得只有不同答案一、填空題1在極坐標系中，圓2sin 的圓心的極坐標是_(填序號)；(1,0)；(1，)解析圓的方程可化為22sin ，由得x2y22y，即x2(y1)21，圓心為(0，1)，化為極坐標為.答案2極坐標方程(1)()0(0)表示的圖形是_(填序號)兩個圓；兩條直線；一個圓和一條射線；一

11、條直線和一條射線解析由(1)()0(0)得，1或.其中1表示以極點為圓心，半徑為1的圓，表示以極點為起點與Ox反向的射線答案3在極坐標系中，點到圓2cos 的圓心的距離為_解析點化為直角坐標為(1，)，方程2cos 化為普通方程為x2y22x0，故圓心為(1,0)，則點(1，)到圓心(1,0)的距離為.答案4在極坐標系(，)(02)中，曲線(cos sin )1與(sin cos )1的交點的極坐標為_解析曲線(cos sin )1化為直角坐標方程為xy1，(sin cos )1化為直角坐標方程為yx1.聯(lián)立方程組得則交點為(0,1)，對應(yīng)的極坐標為.答案5(2014汕頭調(diào)研)在極坐標系中，4

12、sin 是圓的極坐標方程，則點A到圓心C的距離是_解析將圓的極坐標方程4sin 化為直角坐標方程為x2y24y0，圓心坐標為(0,2)又易知點A的直角坐標為(2，2)，故點A到圓心的距離為2.答案26在極坐標系中，過圓6cos 2sin 的圓心且與極軸垂直的直線的極坐標方程為_解析由6cos 2sin 26cos 2sin ，所以圓的直角坐標方程為x2y26x2y0，將其化為標準形式為(x3)2(y)211，故圓心的坐標為(3，)，所以過圓心且與x軸垂直的直線的方程為x3，將其化為極坐標方程為cos 3.答案cos 37(2014華南師大模擬)在極坐標系中，點M到曲線cos2上的點的距離的最小

13、值為_解析依題意知，點M的直角坐標是(2,2)，曲線的直角坐標方程是xy40，因此所求的距離的最小值等于點M到該直線的距離，即為2.答案28在極坐標系中，曲線C1：2cos ，曲線C2：，若曲線C1與C2交于A、B兩點，則線段AB_.解析曲線C1與C2均經(jīng)過極點，因此極點是它們的一個公共點由得即曲線C1與C2的另一個交點與極點的距離為，因此AB.答案9在極坐標系中，由三條直線0，cos sin 1圍成圖形的面積是_解析0，cos sin 1三直線對應(yīng)的直角坐標方程分別為：y0，yx，xy1，作出圖形得圍成圖形為如圖OAB，S.答案二、解答題10設(shè)過原點O的直線與圓(x1)2y21的一個交點為P

14、，點M為線段OP的中點，當點P在圓上移動一周時，求點M軌跡的極坐標方程，并說明它是什么曲線解圓(x1)2y21的極坐標方程為2cos ，設(shè)點P的極坐標為(1，1)，點M的極坐標為(，)，點M為線段OP的中點，12，1，將12，1代入圓的極坐標方程，得cos .點M軌跡的極坐標方程為cos ，它表示圓心在點，半徑為的圓11(2012遼寧卷)在直角坐標系xOy中，圓C1：x2y24，圓C2：(x2)2y24.(1)在以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，分別寫出圓C1，C2的極坐標方程，并求出圓C1，C2的交點坐標(用極坐標表示)；(2)求圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程解(1)圓C1的極坐標方

15、程為2，圓C2的極坐標方程為4cos .解得2，故圓C1與圓C2交點的坐標為，.注：極坐標系下點的表示不唯一(2)法一由得圓C1與C2交點的直角坐標分別為(1，)，(1，)故圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程為t.法二將x1代入得cos 1，從而.于是圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程為.12在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))M是C1上的動點，P點滿足2 ，P點的軌跡為曲線C2.(1)求C2的方程；(2)在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線與C1的異于極點的交點為A，與C2的異于極點的交點為B，求AB.解(1)設(shè)P(x，y)，則由條件知M.由于M點在C1上，所以即從而C

16、2的參數(shù)方程為(為參數(shù))(2)曲線C1的極坐標方程為4sin ，曲線C2的極坐標方程為8sin .射線與C1的交點A的極徑為14sin ，射線與C2的交點B的極徑為28sin .所以AB|21|2.第2講參數(shù)方程最新考綱1了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義2能選擇適當?shù)膮?shù)寫出直線、圓和橢圓的參數(shù)方程3掌握直線的參數(shù)方程及參數(shù)的幾何意義，能用直線的參數(shù)方程解決簡單的相關(guān)問題.知 識 梳 理1曲線的參數(shù)方程在平面直角坐標系xOy中，如果曲線上任意一點的坐標x，y都是某個變量t的函數(shù)并且對于t的每一個允許值上式所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，則稱上式為該曲線的參數(shù)方程，其中變量t稱為參數(shù)2一些常見

17、曲線的參數(shù)方程(1)過點P0(x0，y0)，且傾斜角為的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(2)圓的方程(xa)2(yb)2r2的參數(shù)方程為(為參數(shù))(3)橢圓方程1(ab0)的參數(shù)方程為(為參數(shù))(4)拋物線方程y22px(p0)的參數(shù)方程為(t為參數(shù))診 斷 自 測1極坐標方程cos 和參數(shù)方程(t為參數(shù))所表示的圖形分別是_直線、直線；直線、圓；圓、圓；圓、直線解析cos x，cos 代入到cos ，得，2x，x2y2x表示圓又相加得xy1，表示直線答案2若直線(t為實數(shù))與直線4xky1垂直，則常數(shù)k_.解析參數(shù)方程所表示的直線方程為3x2y7，由此直線與直線4xky1垂直可得1，解得k6.

18、答案63(2012北京卷)直線(t為參數(shù))與曲線(為參數(shù))的交點個數(shù)為_解析直線方程可化為xy10，曲線方程可化為x2y29，圓心(0,0)到直線xy10的距離d3.直線與圓相交有兩個交點答案24已知直線l：(t為參數(shù))上到點A(1,2)的距離為4的點的坐標為_解析設(shè)點Q(x，y)為直線上的點，則|QA|4，解之得，t2，所以Q(3,6)或Q(5，2)答案(3,6)和(5，2)5(2013廣東卷)已知曲線C的極坐標方程為2cos ，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標系，則曲線C的參數(shù)方程為_解析由2cos 知，22cos 所以x2y22x，即(x1)2y21，故其參數(shù)方程為(為參數(shù))

19、答案(為參數(shù))考點一參數(shù)方程與普通方程的互化【例1】 把下列參數(shù)方程化為普通方程，并說明它們各表示什么曲線；(1)(t為參數(shù))；(2)(t為參數(shù))；(3)(t為參數(shù))解(1)由x1t得t2x2.y2(2x2)xy20，此方程表示直線(2)由y2t得ty2，x1(y2)2.即(y2)2x1，此方程表示拋物線(3)22得x2y24，此方程表示雙曲線規(guī)律方法 參數(shù)方程化為普通方程：化參數(shù)方程為普通方程的基本思路是消去參數(shù)，常用的消參方法有代入消去法、加減消去法、恒等式(三角的或代數(shù)的)消去法，不要忘了參數(shù)的范圍【訓(xùn)練1】 將下列參數(shù)方程化為普通方程(1)(為參數(shù))；(2)(t為參數(shù))解(1)由(si

20、n cos )21sin 22(1sin 2)，得y22x.又x1sin 20,2，得所求的普通方程為y22x，x0,2(2)由參數(shù)方程得etxy，etxy，(xy)(xy)1，即x2y21.考點二直線與圓參數(shù)方程的應(yīng)用【例2】 在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為2sin .(1)求圓C的直角坐標方程；(2)設(shè)圓C與直線l交于點A，B，若點P的坐標為(3，)，求|PA|PB|.解(1)由2sin ，得22sin .x2y22y，即x2(y)25.(2)將l的參數(shù)方程代入圓C的

21、直角坐標方程得225，即t23t40.由于(3)24420，故可設(shè)t1，t2是上述方程的兩實根，所以又直線l過點P(3，)，故由上式及t的幾何意義得|PA|PB|t1|t2|t1t23.規(guī)律方法 (1)過定點P0(x0，y0)，傾斜角為的直線參數(shù)方程的標準形式為(t為參數(shù))，t的幾何意義是直線上的點P到點P0(x0，y0)的數(shù)量，即t|PP0|時為距離使用該式時直線上任意兩點P1、P2對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2，則|P1P2|t1t2|，P1P2的中點對應(yīng)的參數(shù)為(t1t2)(2)對于形如(t為參數(shù))，當a2b21時，應(yīng)先化為標準形式后才能利用t的幾何意義解題【訓(xùn)練2】 已知直線l的參數(shù)方程為

22、(參數(shù)tR)，圓 C的參數(shù)方程為(參數(shù)0,2)，求直線l被 圓C所截得的弦長解由消參數(shù)后得普通方程為2xy60，由消參數(shù)后得普通方程為(x2)2y24，顯然圓心坐標為(2,0)，半徑為2.由于圓心到直線2xy60的距離為d，所以所求弦長為2 .考點三極坐標、參數(shù)方程的綜合應(yīng)用【例3】 已知P為半圓C：(為參數(shù)，0)上的點，點A的坐標為(1,0)，O為坐標原點，點M在射線OP上，線段OM與C的弧的長度均為.(1)以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求點M的極坐標；(2)求直線AM的參數(shù)方程解(1)由已知，點M的極角為，且點M的極徑等于，故點M的極坐標為.(2)點M的直角坐標為，A(1,0

23、)故直線AM的參數(shù)方程為(t為參數(shù))規(guī)律方法 涉及參數(shù)方程和極坐標方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標方程后求解當然，還要結(jié)合題目本身特點，確定選擇何種方程【訓(xùn)練3】 (2013福建卷)在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知點A的極坐標為(，)，直線l的極坐標方程為cos()a，且點A在直線l上(1)求a的值及直線l的直角坐標方程；(2)圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系解(1)由點A(，)在直線cos()a上，可得a.所以直線l的方程可化為cos sin 2，從而直線l的直角坐標方程為xy20.(2)由已知得圓C的

24、直角坐標方程為(x1)2y21，所以圓C的圓心為(1,0)，半徑r1，因為圓心C到直線l的距離d0)的一個交點在極軸上，則a_.解析(cos sin )1，即cos sin 1對應(yīng)的普通方程為xy10，a(a0)對應(yīng)的普通方程為x2y2a2.在xy10中，令y0，得x.將代入x2y2a2得a.答案二、解答題10(2013新課標全國卷)已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為2sin .(1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標方程；(2)求C1與C2交點的極坐標(0,02)解(1)將消去參數(shù)t，化為普通方程(x4)2(y5)225，即

25、C1：x2y28x10y160.將代入x2y28x10y160得28cos 10sin 160.所以C1的極坐標方程為28cos 10sin 160.(2)C2的普通方程為x2y22y0.由解得或所以C1與C2交點的極坐標分別為，.11(2013新課標全國卷)已知動點P、Q都在曲線C：(t為參數(shù))上，對應(yīng)參數(shù)分別為t與t2(02)，M為PQ的中點(1)求M的軌跡的參數(shù)方程；(2)將M到坐標原點的距離d表示為的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標原點解(1)依題意有P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2)，因此M(cos cos 2，sin sin 2)M的軌跡的參數(shù)方程為(為參

26、數(shù)，02)(2)M點到坐標原點的距離d(02)當時，d0，故M的軌跡通過坐標原點12(2012新課標全國卷)已知曲線C1的參數(shù)方程是(為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程是2，正方形ABCD的頂點都在C2上，且A，B，C，D依逆時針次序排列，點A的極坐標為.(1)求點A，B，C，D的直角坐標；(2)設(shè)P為C1上任意一點，求|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2的取值范圍解(1)由已知可得A，B，C，D，即A(1，)，B(，1)，C(1，)，D(，1)(2)設(shè)P(2cos ，3sin )，令S|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2，則S16cos236sin2163220sin2.因為0sin21，所以S的取值范圍是32,52