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1、第6章 數(shù)列第1節(jié) 等差數(shù)列與等比數(shù)列題型70 等差、等比數(shù)列的通項及基本量的求解1. (2013安徽文7）設(shè)為等差數(shù)列的前項和，則（ ）.A. B. C. D. 1.分析 借助等差數(shù)列前項和公式及通項公式的性質(zhì)，計算數(shù)列的公差，進(jìn)而得到的值.解析 由等差數(shù)列性質(zhì)及前項和公式，得，所以.又，所以公差，所以.故選A.2. （2013遼寧文14）已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列，是的前項和.若是方 程的兩個根，則 .2. 解析：因為，是方程的兩個根，且數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，所 以，所以.3. （2013四川文16）在等比數(shù)列中，且為和的等差中項，求數(shù)列的首項、公比及前項和.3分析 由已知列出兩個含和的方程并

2、求解，再借助等比數(shù)列求和公式得解析 設(shè)該數(shù)列的公比為由已知，得所以解得（舍去）故首項，公比.所以數(shù)列的前項和.4. （2013山東文20）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和4.分析 （1）由于已知是等差數(shù)列，因此可考慮用基本量表示已知等式，進(jìn)而求出的通項公式.（2）先求出，進(jìn)而求出的通項公式，再用錯位相減法求的前項和.解析 （1）設(shè)等差數(shù)列的前項為，公差為.由，得解得因此.（2）由已知，當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以.由（1）知，所以.所以.兩式相減，得，所以.5.（2013浙江19）在公差為的等差數(shù)列中，已知，且成等比數(shù)列. （1）求，；（2）若，求

3、5.分析 （1）用把表示出來，利用成等比數(shù)列列方程即可解出， 進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的通項公式寫出.（2）根據(jù)（1）及確定數(shù)列的通項公式，確定 的符號，以去掉絕對值符號，這需要對的取值范圍進(jìn)行分類討論.解析（1）由題意得，由，為公差為的等差數(shù)列得，解得或.所以或.（2）設(shè)數(shù)列的前項和為.因為，由（1）得，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.綜上所述，6.（2014重慶文2）在等差數(shù)列中，則（ ）. 7.（2014江蘇7）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，則的值是 8.（2014新課標(biāo)文17）（本小題滿分12分）已知是遞增的等差數(shù)列，是方程的根.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.9. （2014山東文19）（本小題

4、滿分12分）在等差數(shù)列中，已知公差，是與的等比中項.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，記，求.10.（2014福建文17）（本小題滿分12分）在等比數(shù)列中，.（1）求；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.11.（2014浙江文19）已知等差數(shù)列的公差，設(shè)的前項和為，.（1）求及；（2）求的值，使得.12.（2015北京文5）執(zhí)行如果所示的程序框圖，輸出的值為（ ）.A.3 B. 4 C.5 D.612.解析 解法一:執(zhí)行程序框圖，輸出.故選B.解法二：由算法圖知是一個以3為首項，為公比的等比數(shù)列，即，解得.13.（2015全國文7）已知是公差為1的等差數(shù)列，為的前項和，若，則（ ）.A. B. C. D

5、.13.解析 解法一：由，知，解得.所以.故選B.解法二：由，即，可得.又公差，所以，即，解得.則.故選B.14.（2015全國1文13）在數(shù)列中，為的前n項和.若，則 .14.解析 由，得，即數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.，得.15.（2015全國文9）已知等比數(shù)列滿足，則（ ）.A. B. C. D.15.解析 由等比數(shù)列的性質(zhì)得，即，則 .所以有，所以.故 .故選C.16.（2015陜西文13）中位數(shù)為的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項為，則該數(shù)列的首項為_.16.解析 若這組數(shù)有個，則，又，所以；若這組數(shù)有個，則，又，所以.17.（2016江蘇8）已知是等差數(shù)列，是其前項和.若，則的值是 .17.

6、20解析 設(shè)公差為，則由題意可得，解得，則.18.（2016全國甲文17）等差數(shù)列中，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，.18.解析 （1），解得，所以（）.（2）.19.（2017江蘇9）等比數(shù)列的各項均為實數(shù)，其前項的和為，已知，則 19.解析 解法一：由題意等比數(shù)列公比不為，由，因此，得又，得，所以故填 解法二（由分段和關(guān)系）：由題意，所以，即下同解法一20.（2017全國1文17）記為等比數(shù)列的前項和.已知，.（1）求的通項公式；（2）求，并判斷，是否成等差數(shù)列.20.解析 （1）由題意設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為，則，從而，即，整理得，因此，

7、所以，數(shù)列的通項公式為（2）由（1）知，因此所以，成等差數(shù)列21.（2017全國2文17）已知等差數(shù)列的前項和為，等比數(shù)列的前項和為，.（1）若，求的通項公式；（2）若，求.21.解析 (1)設(shè)的公差為，的公比為.由等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式可得，解得，故的通項公式為.(2)由(1)及已知得，解得或.所以或. 22.（2017北京文15）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，（1）求的通項公式；（2）求和：22解析 （1）設(shè)的公差為， ，所以，所以.（2） 設(shè)的公比為，=，所以，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.題型71 等差、等比數(shù)列的求和問題的拓展1.（2013廣東文11） 設(shè)數(shù)列是首項為，

8、公比為的等比數(shù)列，則 1.分析 由首項和公比寫出等比數(shù)列的前項，然后代入代數(shù)式求值.也可以構(gòu)造新數(shù)列，利用其前項和公式求解.解析 方法一：.方法二：因為，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，故所求代數(shù)式的值為.2.（2015安徽理13） 已知在數(shù)列中，則數(shù)列的前9項和等于 .2.解析 由題意可得，又，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以.又滿足上式，所以，所以.所以.題型72 等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用1. （2013遼寧文4 ）下面是關(guān)于公差的等差數(shù)列的四個命題：數(shù)列是遞增數(shù)列； 數(shù)列是遞增數(shù)列；數(shù)列是遞增數(shù)列；數(shù)列是遞增數(shù)列；其中的真命題為A. B. C. D. 1.分析 根據(jù)等差數(shù)列的性

9、質(zhì)判定.解析 因為，所以，所以是真命題因為，但是的符號不知道，所以是假命題.同理是假命題由，所以是真命題故選D.2. （2013江西文12）某住宅小區(qū)計劃植樹不少于棵，若第一天植棵，以后每天植樹 的棵樹是前一天的倍，則需要的最少天數(shù)（）等于 .2.解析 每天植樹的棵數(shù)構(gòu)成以為首項，為公比的等比數(shù)列，其前項和.由，得.由于，則，即.3. （2013江蘇14） 在正項等比數(shù)列中，則滿足 的最大正整數(shù)的值為 .3. 分析 首先由已知條件求出的公比與首項，然后根據(jù)求和公式和通項公式將不等式的 兩邊求出，用表示，得到關(guān)于的不等式，然后對不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求得的取值范圍并 進(jìn)行估算和驗證，從而得到的最大值.

10、解析 設(shè)的公比為，則由已知可得解得于是，.由可得，整理得.由可得，即，解得，即，可以驗證當(dāng)時滿足，時不滿足，故的最大值為12.4.(2013重慶文12） 若成等差數(shù)列，則 .4.分析 利用等差數(shù)列的有關(guān)知識先求出公差再運算求解.解析 由題意得該等差數(shù)列的公差，所以.5. (2013陜西文17）設(shè)表示數(shù)列的前項和.（1）若是等差數(shù)列，推導(dǎo)的計算公式；（2）若，且對所有正整數(shù)，有.判斷是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論.5.分析 利用等差數(shù)列的性質(zhì)倒序相加求和；等比數(shù)列的證明通過定義進(jìn)行.解析 （1）方法一：設(shè)的公差為，則.又，所以，所以方法二：設(shè)的公差為，則又,所以，所以.（2）是等比數(shù)列.證明如下

11、：因為，所以因為，所以當(dāng)時，有.因此，是首項為且公比為的等比數(shù)列6.（2014遼寧文9）設(shè)等差數(shù)列的公差為，若數(shù)列為遞減數(shù)列，則（ ）A B C D 7.（2014陜西文8）原命題為“若，則為遞減數(shù)列”，關(guān)于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是（ ）.A.真，假，真 B.假，假，真 C.真，真，假 D.假，假，假8. （2014廣東文13）等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則 _.9.（2014江西文13）在等差數(shù)列中，公差為，前項和為，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最大值，則的取值范圍是 .10.（2014陜西文16）（本小題滿分12分）的內(nèi)角所對的邊分別為.（1）若成等差數(shù)列，求證：；（2）

12、若成等比數(shù)列，且，求的值. 11.（2015廣東文13）若三個正數(shù)，成等比數(shù)列，其中，則 11.解析 因為三個正數(shù)，成等比數(shù)列，所以.因為，所以.12.（2015全國文5） 設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若，則（ ）. A. B. C. D.12.解析 由已知，則，.又因為 .故選A.13.（2017江蘇19）對于給定的正整數(shù)，若數(shù)列滿足對任意正整數(shù)總成立，則稱數(shù)列是“數(shù)列”（1）證明：等差數(shù)列是“數(shù)列”；（2）若數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”，證明：是等差數(shù)列13.解析 （1）因為是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，從而當(dāng)時，所以，因此等差數(shù)列是“數(shù)列”（2）由數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”，因此，當(dāng)時，

13、當(dāng)時， 由知， 將代入，得，其中，所以是等差數(shù)列，設(shè)其公差為在中，取，則，所以，在中，取，則，所以，從而數(shù)列是等差數(shù)列評注 這是數(shù)列新定義的問題，其實類似的問題此前我們也研究過，給出僅供參考（2015南通基地密卷7第20題）設(shè)數(shù)列的各項均為正數(shù)，若對任意的，存在，使得成立，則稱數(shù)列為“型”數(shù)列（1）若數(shù)列是“型”數(shù)列，且，求；（2）若數(shù)列既是“型”數(shù)列，又是“型”數(shù)列，證明數(shù)列是等比數(shù)列解析 （1）由題意得，成等比數(shù)列，且公比，所以（2）由是“型”數(shù)列得成等比數(shù)列，設(shè)公比為， 由是“型”數(shù)列得成等比數(shù)列，設(shè)公比為；成等比數(shù)列，設(shè)公比為；成等比數(shù)列，設(shè)公比為； 則，所以，不妨令，則 所以，所以，

14、綜上，從而是等比數(shù)列題型73 判斷或證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列1.（2014江蘇20）設(shè)數(shù)列的前項和為若對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱是“數(shù)列”（1）若數(shù)列的前項和 ，求證：是“數(shù)列”；（2）設(shè)是等差數(shù)列，其首項，公差若 是“數(shù)列”，求的值；（3）求證：對任意的等差數(shù)列，總存在兩個“數(shù)列”和，使得成立2.（2015廣東文19）設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，且當(dāng)時，（1）求的值；（2）求證：為等比數(shù)列；（3）求數(shù)列的通項公式2.解析 （1）當(dāng)時，即，解得.（2）因為（），所以（），即（），亦即，則.當(dāng)時，滿足上式.故數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列.（3）由（2）可得，即，所以數(shù)列是以為首項，為

15、公差的等差數(shù)列，所以，即，所以數(shù)列的通項公式是.3.（2015湖南文19）設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，且.（1）證明：；（2）求.3.解析（1）由條件，對任意，有，因而對任意，有，兩式相減，得，即，又，所以，故對一切，.（2）由（I）知，所以，于是數(shù)列是首項，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列是首項，公比為的等比數(shù)列，所以，于是，從而，綜上所述，.4.（2015湖南文21）函數(shù)，記為的從小到大的第個極值點.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若對一切恒成立，求的取值范圍.4.解析（1），令，由，得，即，若，即，則；若，即，則.因此，在區(qū)間與上，的符號總相反，于是當(dāng)時，取得極值，所以，此時，易知，而是常數(shù)，故數(shù)列

16、是首項為，公比為的等比數(shù)列.（2）對一切恒成立，即恒成立，亦即恒成立（因為）.設(shè)，則，令得，當(dāng)時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；因為，且當(dāng)時，所以，因此恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，故實數(shù)的取值范圍是.5.（2016浙江文8）如圖所示，點列分別在某銳角的兩邊上，且， (表示點與不重合) .若，為的面積，則（ ）.A .是等差數(shù)列 B.是等差數(shù)列 C.是等差數(shù)列 D.是等差數(shù)列5.A解析 設(shè)點到對面直線的距離為，則.由題目中條件可知的長度為定值，則.那么我們需要知道的關(guān)系式，過點作垂直得到初始距離，那么和兩個垂足構(gòu)成了直角梯形，那，其中為兩條線的夾角，那么，由題目中條件知，則.所，其中為定值，所以為等差數(shù)列.故選A.6.（2017全國1文17）記為等比數(shù)列的前項和.已知，.（1）求的通項公式；（2）求，并判斷，是否成等差數(shù)列.6.解析 （1）由題意設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為，則，從而，即，整理得，因此，所以，數(shù)列的通項公式為（2）由（1）知，因此所以，成等差數(shù)列歡迎訪問“高中試卷網(wǎng)”http:/sj.fjjy.org