《萬(wàn)變不離其宗:高中數(shù)學(xué)課本典例改編之必修一:專題六 函數(shù)的應(yīng)用 Word版含解析》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《萬(wàn)變不離其宗:高中數(shù)學(xué)課本典例改編之必修一:專題六 函數(shù)的應(yīng)用 Word版含解析(8頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、一、題之源:課本基礎(chǔ)知識(shí)1.函數(shù)的零點(diǎn)使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)。例如是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)。注:函數(shù)有零點(diǎn) 函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn) 方程有實(shí)根2.函數(shù)零點(diǎn)的判定:如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有。那么,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn),即存在。3函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)0的實(shí)數(shù)根,也就是函數(shù)yf(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),注意它是數(shù)而不是點(diǎn)4.基本函數(shù)模型:函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型二次函數(shù)模型指數(shù)型函數(shù)模型f(x)baxc(a,b,c為常數(shù),a0且a1,b0)對(duì)數(shù)型函數(shù)模型f(x)blogaxc(a,b,c為常數(shù),a0且a1,b0)冪型函數(shù)模型f(x)axnb(a,b為常數(shù),a
2、0)5.解函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的步驟(1)審題:數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的文字?jǐn)⑹鲩L(zhǎng),數(shù)量關(guān)系分散且難以把握,因此,要認(rèn)真讀題,縝密審題,準(zhǔn)確理解題意,明確問(wèn)題的實(shí)際背景,收集整理數(shù)據(jù)信息,這是解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)(2)建模:在明確了問(wèn)題的實(shí)際背景和收集整理數(shù)據(jù)信息的基礎(chǔ)上進(jìn)行科學(xué)的抽象概括,將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言,將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言,合理引入自變量,運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)、物理知識(shí)及其他相關(guān)知識(shí)建立函數(shù)關(guān)系式(也叫目標(biāo)函數(shù)),將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,即實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化,建立數(shù)學(xué)模型(3)解模:利用數(shù)學(xué)的方法將得到的常規(guī)數(shù)學(xué)問(wèn)題(即數(shù)學(xué)模型或目標(biāo)函數(shù))予以解答,求得結(jié)果(4)還原:將求解數(shù)學(xué)模型所得的結(jié)果還原
3、為實(shí)際問(wèn)題的意義,回答數(shù)學(xué)應(yīng)用題提出的問(wèn)題以上過(guò)程可以用示意圖表示為:模擬函數(shù)的過(guò)程可以用下面框圖表示:二、題之本:思想方法技巧1.判斷函數(shù)在給定區(qū)間零點(diǎn)的步驟(1)確定函數(shù)的圖象在閉區(qū)間上連續(xù);(2)計(jì)算f(a),f(b)的值并判斷f(a)f(b)的符號(hào);(3)若f(a)f(b)0,則有實(shí)數(shù)解除了用上面的零點(diǎn)存在性定理判斷外,有時(shí)還需結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象來(lái)作出判斷2確定函數(shù)f(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)(方程f(x)0的實(shí)根個(gè)數(shù))的方法:(1)判斷二次函數(shù)f(x)在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù),一般由對(duì)應(yīng)的二次方程f(x)0的判別式0,0,0來(lái)完成;對(duì)于一些不便用判別式判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)的二次函數(shù),則要結(jié)合二次函數(shù)的圖象進(jìn)行判
4、斷(2) 連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上有f(a)f(b)0時(shí),函數(shù)在(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn),但不能確定究竟有多少個(gè)要更準(zhǔn)確地判斷函數(shù)在(a,b)內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),還得結(jié)合函數(shù)在該區(qū)間的單調(diào)性、極值等性質(zhì)進(jìn)行判斷如三次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題(3)若函數(shù)f(x)在上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,且是單調(diào)函數(shù),又f(a)f(b)0,則yf(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有唯一零點(diǎn)(4)對(duì)于解析式較復(fù)雜的函數(shù)的零點(diǎn),可根據(jù)解析式特征,利用函數(shù)與方程思想化為f(x)g(x)的形式,通過(guò)考察兩函數(shù)圖像交點(diǎn)來(lái)確定零。3.“實(shí)系數(shù)一元二次方程有實(shí)數(shù)解”轉(zhuǎn)化為“”,你是否注意到必須;若原題中沒(méi)有指出是“二次”方程、函數(shù)或不等式,你是否考
5、慮到二次項(xiàng)系數(shù)可能為零的情形?例如:對(duì)一切恒成立,求a的取值范圍,你討論了a2的情況了嗎?4.數(shù)模型的選擇解題過(guò)程中選用哪種函數(shù)模型,要根據(jù)題目具體要求進(jìn)行抽象和概括,靈活地選取和建立數(shù)學(xué)模型一般來(lái)說(shuō):如果實(shí)際問(wèn)題的增長(zhǎng)特點(diǎn)為直線上升,則選擇直線模型;若增長(zhǎng)的特點(diǎn)是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來(lái)越快(指數(shù)爆炸),則選擇指數(shù)型函數(shù)模型;若增長(zhǎng)的特點(diǎn)是隨著自變量的增大,函數(shù)值的增大速度越來(lái)越慢,則選擇對(duì)數(shù)型函數(shù)模型;如果實(shí)際問(wèn)題中變量間的關(guān)系,不能用同一個(gè)關(guān)系式表示,則選擇分段函數(shù)模型等。另外,常見(jiàn)的出租車計(jì)費(fèi)問(wèn)題、稅收問(wèn)題、商品銷售等問(wèn)題,通常用分段函數(shù)模型;面積問(wèn)題、利潤(rùn)問(wèn)題、產(chǎn)量問(wèn)題
6、常選擇冪型函數(shù)模型,特別是二次函數(shù)模型;而對(duì)于利率、細(xì)胞分裂、物質(zhì)衰變,則常選擇指數(shù)型函數(shù)模型三、題之變:課本典例改編26.原題(必修1第八十八頁(yè)例1)求函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).改編1 函數(shù)f(x)2x|log0.5x|1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A1 B2C3 D4【答案】【解析】易知函數(shù)f(x)2x|log0.5x|1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)方程|log0.5x|x的根的個(gè)數(shù)函數(shù)y1|log0.5x|與y2x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示,由圖可知兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn),故選B改編2 已知函數(shù),若在區(qū)間(2,3)內(nèi)任意兩個(gè)實(shí)數(shù),不等式恒成立,且在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為( )【答案】改編3
7、函數(shù)yx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A0 B1C2 D3【答案】B【解析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別做出y1,y2的圖象,根據(jù)圖象可以看出交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1.故選B.27.原題(必修1第九十頁(yè)例2)借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)用二分法求方程的近似解(精確度0.1).改編1 用二分法研究函數(shù)f(x)x33x1的零點(diǎn)時(shí),第一次經(jīng)計(jì)算f(0)0可得其中一個(gè)零點(diǎn)x0_,第二次應(yīng)計(jì)算_ 【解析】f(x)x33x1是R上的連續(xù)函數(shù),且f(0)0,則f(x)在x(0,0.5)上存在零點(diǎn),且第二次驗(yàn)證時(shí)需驗(yàn)證f(0.25)的符號(hào)改編2 為了求函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn),某同學(xué)利用計(jì)算器得到自變量和函數(shù)的部分對(duì)應(yīng)值(精確度0.1)如下表所示1.251.31
8、251.3751.43751.51.56250.87160.57880.28130.21010.328430.64115則方程的近似解(精確到0.1)可取為( ) A1.32B1.39C1.4D1.3【答案】C.28.原題(必修1第九十五頁(yè)例1)假設(shè)你有一筆資金用于投資,現(xiàn)有三種投資方案供你選擇,這三種方案的回報(bào)如下:方案一:每天回報(bào)40元;方案二:第一天回報(bào)10元,以后每天比前一天多回報(bào)10元;方案三:第一天回報(bào)0.4元,以后每天的回報(bào)比前一天翻一番。請(qǐng)問(wèn),你會(huì)選擇哪種投資方案?改編1 某市一家商場(chǎng)的新年最高促銷獎(jiǎng)設(shè)立了三種領(lǐng)獎(jiǎng)方式,這三種領(lǐng)獎(jiǎng)方式如下:方式一:每天到該商場(chǎng)領(lǐng)取獎(jiǎng)品,價(jià)值為4
9、0元;方式二:第一天領(lǐng)取的獎(jiǎng)品的價(jià)值為10元,以后每天比前一天多10元;方式三:第一天領(lǐng)取的獎(jiǎng)品的價(jià)值為0.4元,以后每天的回報(bào)比前一天翻一番。若商場(chǎng)的獎(jiǎng)品總價(jià)值不超過(guò)600元,則促銷獎(jiǎng)的領(lǐng)獎(jiǎng)活動(dòng)最長(zhǎng)設(shè)置為幾天?在領(lǐng)獎(jiǎng)活動(dòng)最長(zhǎng)的情況下,你認(rèn)為哪種領(lǐng)獎(jiǎng)方式讓領(lǐng)獎(jiǎng)?wù)呤芤娓啵俊窘馕觥吭O(shè)促銷獎(jiǎng)的領(lǐng)獎(jiǎng)活動(dòng)為天,三種方式的領(lǐng)取獎(jiǎng)品總價(jià)值分別為。則;要使獎(jiǎng)品總價(jià)值不超過(guò)600元,則 解得又 ,故答:促銷獎(jiǎng)的領(lǐng)獎(jiǎng)活動(dòng)最長(zhǎng)可設(shè)置10天,在這10天內(nèi)選擇方式二會(huì)讓領(lǐng)獎(jiǎng)?wù)呤芤娓?改編2 某家庭進(jìn)行理財(cái)投資,根據(jù)長(zhǎng)期收益率市場(chǎng)預(yù)測(cè),投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比,投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)
10、平方根成正比已知投資1萬(wàn)元時(shí)兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬(wàn)元和0.5萬(wàn)元(1)分別寫(xiě)出兩類產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系;(2)若該家庭有20萬(wàn)元資金,全部用于理財(cái)投資,問(wèn):怎樣分配資金能使投資獲得最大收益,其最大收益是多少萬(wàn)元?29.原題(必修1第一百一十二頁(yè)復(fù)習(xí)參考習(xí)A組第七題)改編1 如圖所示,已知邊長(zhǎng)為8米的正方形鋼板有一個(gè)角被銹蝕,其中AE4米,CD6米為合理利用這塊鋼板,在五邊形ABCDE內(nèi)截取一個(gè)矩形BNPM,使點(diǎn)P在邊DE上(1)設(shè)MPx米,PNy米,將y表示成x的函數(shù),并求出該函數(shù)的定義域;(2)求矩形BNPM面積的最大值改編2 已知線段的長(zhǎng)為,以為直徑的圓有一內(nèi)接梯形,若橢
11、圓以為焦點(diǎn),且經(jīng)過(guò)點(diǎn),求橢圓的離心率的范圍【解析】梯形為圓內(nèi)接梯形,故其為等腰梯形,設(shè),則在中,由橢圓的定義知離心率,其中,所以,故橢圓離心率30.原題(必修1第一百一十三頁(yè)復(fù)習(xí)參考習(xí)A組第九題)某公司每生產(chǎn)一批產(chǎn)品都能維持一段時(shí)間的市場(chǎng)供應(yīng),若公司本次新產(chǎn)品生產(chǎn)開(kāi)始x月后,公司的存貨量大致滿足模型,那么下次生產(chǎn)應(yīng)在多長(zhǎng)時(shí)間后開(kāi)始?改編1 某公司每生產(chǎn)一批產(chǎn)品都能維持一段時(shí)間的市場(chǎng)供應(yīng),在存貨量變?yōu)?的前一個(gè)月,公司進(jìn)行下次生產(chǎn)。若公司本次新產(chǎn)品生產(chǎn)開(kāi)始月后,公司的存貨量大致滿足模型,那么下次生產(chǎn)應(yīng)在 月后開(kāi)始【答案】?jī)蓚€(gè)月.改編2研究表明:使全球氣候逐年變暖的一個(gè)重要因素是人類在能源利用與森
12、林砍伐中使CO2濃度增加據(jù)測(cè),2010年、2011年、2012年大氣中的CO2濃度分別比2009年增加了1個(gè)可比單位、3個(gè)可比單位、6個(gè)可比單位若用一個(gè)函數(shù)模擬每年CO2濃度增加的可比單位數(shù)與年份增加數(shù)x的關(guān)系,模擬函數(shù)可選用二次函數(shù)f(x)px2qxr(其中p,q,r為常數(shù))或函數(shù)g(x)abxc(其中a,b,c為常數(shù)),且又知2014年大氣中的CO2濃度比2009年增加了16個(gè)可比單位,請(qǐng)問(wèn)用以上哪個(gè)函數(shù)作為模擬函數(shù)較好?【解析】:若以f(x)px2qxr作模擬函數(shù),則依題意得:解得p,q,r0,所以f(x)x2x.若以g(x)abxc作模擬函數(shù),則 解得a,b,c3.所以g(x)3.利用f(x),g(x)對(duì)2014年的CO2濃度作估算,則其數(shù)值分別為:f(5)15可比單位,g(5)17.25可比單位,|f(5)16|g(5)16|,故選f(x)x2x作為模擬函數(shù)較好