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1、一、題之源：課本基礎(chǔ)知識1絕對值三角不等式定理1：如果a，b是實數(shù)，則|ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時，等號成立定理2：如果a，b，c是實數(shù)，那么|ac|ab|bc|，當(dāng)且僅當(dāng)(ab)(bc)0時，等號成立2絕對值不等式的解法(1)含絕對值的不等式|x|a的解集：不等式a0a0a0|x|ax|axax|xa或x0)和|axb|c(c0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc3基本不等式定理1：設(shè)a，bR，則a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立定理2：如果a、b為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立定理3：如果a、b、c為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)abc時，等號成立定

2、理4：(一般形式的算術(shù)幾何平均不等式)如果a1，a2，an為n個正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時，等號成立4柯西不等式(1)設(shè)a，b，c，d均為實數(shù)，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2，當(dāng)且僅當(dāng)adbc時等號成立(2)若ai，bi(i1，2，n)為實數(shù)，則(a)(b)(aibi)2，當(dāng)且僅當(dāng)(當(dāng)ai0時，約定bi0，i1，2，n)時等號成立(3)柯西不等式的向量形式：設(shè)，為平面上的兩個向量，則|，當(dāng)且僅當(dāng)，共線時等號成立5不等式的證明方法證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等二、題之本：思想方法技巧1解絕對值不等式要掌握去絕對值符號的方法，必要時運用分類討論的思想

3、，有時也可利用絕對值的幾何意義解題去掉絕對值符號的方法主要有：公式法、分段討論法、平方法、幾何法等這幾種方法應(yīng)用時各有側(cè)重，在解只含有一個絕對值的不等式時，用公式法較為簡便；但是若不等式含有多個絕對值時，則應(yīng)采用分段討論法；應(yīng)用平方法時，要注意只有在不等式兩邊均為正的情況下才能運用因此，在去絕對值符號時，用何種方法須視具體情況而定2在對不等式證明題進(jìn)行分析，尋找解(證)題的途徑時，要提倡綜合法和分析法同時使用，如同打山洞一樣，由兩頭向中間掘進(jìn)，這樣可以縮短條件與結(jié)論的距離，是數(shù)學(xué)解題分析中最有效的方法之一3作差比較法一般適用于式子為多項式、對數(shù)式、三角式結(jié)構(gòu)；作商比較法一般適用于式子為乘積、冪

4、結(jié)構(gòu)4運用“f(x)af(x)maxa，f(x)af(x)mina”可解決恒成立問題中的參數(shù)范圍問題5用放縮法證不等式，將所證不等式中的某些項的質(zhì)適當(dāng)放大或縮小(主要方法是拆分、配湊、增減項等)，可使有關(guān)項之間的不等關(guān)系更加明晰，更加強(qiáng)化，且有利于式子的代數(shù)變形、化簡，從而達(dá)到證明的目的這種方法靈活性較大，技巧性較強(qiáng)6.注意下面幾個絕對值的函數(shù)最值的求法：，。三、題之變：課本典例改編1. 原題（選修4-5第十頁習(xí)題1.1第十一題）改編1 已知.求的最小值.【解析】由于，當(dāng)=時有最小值.改編2 已知求的最小值.【解析】故ax=by=cz時，有最小值.改編3 已知，求的最大值.【解析】由于，當(dāng)a=

5、b=c時有最大值3. 2.原題（選修4-5第十頁習(xí)題1.1第十五題）改編 已知若H=max，求H的最小值【解析】H0,H0.H0,.3.原題（選修4-5第十六頁例3）改編1 不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍 .改編2 已知函數(shù)（1）若不等式的解集為，求實數(shù)的值。（2）在（1）的條件下，令（）若不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍。（）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍。【解析】（1）由得：，所以 ，即 .（2）由（1）可得：，則（） ，則的最小值是15，故，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.（）由題意得：, ，即解不等式得：,所以實數(shù)的取值范圍是.4.原題（選修4-5第十頁習(xí)題1.1第十一題）改編 設(shè)，且， 若不等式對一切正實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍。