《萬變不離其宗：高中數(shù)學(xué)課本典例改編之必修四、五：專題六 不等式 Word版含解析》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《萬變不離其宗：高中數(shù)學(xué)課本典例改編之必修四、五：專題六 不等式 Word版含解析（9頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題六 不等式一、題之源：課本基礎(chǔ)知識(shí)1實(shí)數(shù)大小順序與運(yùn)算性質(zhì)之間的關(guān)系ab0ab；ab0ab；ab0a0直線AxByC0某一側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域不包括邊界直線AxByC0包括邊界直線不等式組各個(gè)不等式所表示平面區(qū)域的公共部分4.二元一次不等式(組)的解集滿足二元一次不等式(組)的x和y的取值構(gòu)成的有序數(shù)對(x,y),叫做二元一次不等式(組)的解,所有這樣的有序數(shù)對(x,y)構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式(組)的解集5線性規(guī)劃的有關(guān)概念名稱意義約束條件由變量x,y組成的不等式(組)線性約束條件由x,y的一次不等式(或方程)組成的不等式(組)目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x,y的函數(shù)解析式,如zx2y線性目標(biāo)函

2、數(shù)關(guān)于x,y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x,y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題6基本不等式(1)基本不等式成立的條件：a0,b0(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)7算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a0,b0,則a,b的算術(shù)平均數(shù)為,幾何平均數(shù)為,基本不等式可敘述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)8利用基本不等式求最值問題已知x0,y0,則(1)如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí),xy有最小值是2(簡記：積定和最小)(2)如果和xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí),xy有

3、最大值是(簡記：和定積最大)二、題之本：思想方法技巧1.理解不等關(guān)系的意義、實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則、不等式的性質(zhì),是解不等式和證明不等式的依據(jù)和基礎(chǔ).2.一般數(shù)學(xué)結(jié)論都有前提,不等式性質(zhì)也是如此.在運(yùn)用不等式性質(zhì)之前,一定要準(zhǔn)確把握前提條件,注意放寬條件和加強(qiáng)條件與其結(jié)論的關(guān)系,以及條件與結(jié)論間的相互聯(lián)系.如：同向不等式相加,方向不改變；都是正數(shù)的同向不等式相乘,方向不改變；異向不等式相減,方向與被減不等式方向相同；都是正數(shù)的異向不等式相除,方向與被除不等式方向相同；兩個(gè)正數(shù)的n次(nN,n1)方(開n次方),當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)相等時(shí),它們的冪(方根)相等；而不等的兩個(gè)正數(shù),它們的冪(方根)不等,較大的

4、正數(shù)冪(方根)較大.(1)在應(yīng)用傳遞性時(shí),注意等號(hào)是否傳遞下去,如ab,bcabac2bc2；若無c0這個(gè)條件,abac2bc2就是錯(cuò)誤結(jié)論(當(dāng)c0時(shí),取“”)3不等式中的倒數(shù)性質(zhì)(1)ab,ab0；(2)a0bb0,0c；(4)0axb或axb00(a0)；(2)線性規(guī)劃問題中的最優(yōu)解不一定是唯一的,即可行域內(nèi)使目標(biāo)函數(shù)取得最值的點(diǎn)不一定只有一個(gè),也可能有無數(shù)多個(gè),也可能沒有18求zaxby(ab0)的最值步驟將函數(shù)zaxby轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：yx,通過求直線的截距的最值間接求出z的最值(1)當(dāng)b0時(shí),截距取最大值時(shí),z也取最大值；截距取最小值時(shí),z也取最小值；(2)當(dāng)b0時(shí),截距取最大值

5、時(shí),z取最小值；截距取最小值時(shí),z取最大值19.利用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題的求解步驟如下：(1)審題：仔細(xì)閱讀材料,抓住關(guān)鍵,準(zhǔn)確理解題意,明確有哪些限制條件,主要變量有哪些由于線性規(guī)劃應(yīng)用題中的量較多,為了了解題目中量與量之間的關(guān)系,可以借助表格或圖形；(2)設(shè)元：設(shè)問題中起關(guān)鍵作用的(或關(guān)聯(lián)較多的)量為未知量x,y,并列出相應(yīng)的不等式組和目標(biāo)函數(shù)；(3)作圖：準(zhǔn)確作圖,平移找點(diǎn)(最優(yōu)解)；(4)求解：代入目標(biāo)函數(shù)求解(最大值或最小值)；(5)檢驗(yàn)：根據(jù)結(jié)果,檢驗(yàn)反饋20.要熟悉基本不等式的變式和推廣,這對提高解題能力是有幫助的,常見的基本不等式和推廣有：a2b2；ab；ab(ab)2；(ab

6、)24ab；abc等.a、b、cR,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào)）；對于上面的式子,要明了其成立的條件和取“”的條件.21.在利用基本不等式求最值時(shí),要注意一正,二定,三相等.“一正”是指使用均值不等式的各項(xiàng)(必要時(shí),還要考慮常數(shù)項(xiàng))必須是正數(shù)；“二定”是指含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須是常數(shù)；“三相等”是指具備等號(hào)成立的條件,使待求式能取到最大或最小值.22.基本不等式的應(yīng)用在于“定和求積,定積求和；和定積最大,積定和最小”,必要時(shí)可以通過變形(拆補(bǔ))、運(yùn)算(指數(shù)、對數(shù)運(yùn)算等)構(gòu)造“和”或者“積”為定值.23.求型最值問題,常通過“1”來進(jìn)行轉(zhuǎn)化,但不是所有的最值都可以通過基本不等式解決,有一些看似可以通

7、過基本不等式解決的問題,由于條件的限制,等號(hào)不能夠成立,這時(shí)就不能用基本不等式來解決,而要借助于其他求值域的方法來解決.24.對于形如f(x)的最值問題,只要分母xd0,都可以將f(x)轉(zhuǎn)化為f(x)a(xd)h(這里ae0；若ae0,可以直接利用單調(diào)性等方法求最值),再利用基本不等式求其最值.25. 一般地,對含參的不等式求范圍問題通常采用分離變量轉(zhuǎn)化為恒成立問題,對于“恒成立”的不等式,一般的解題方法是先分離然后求函數(shù)的最值.另外,要記住幾個(gè)常見的有關(guān)不等式恒成立的等價(jià)命題：(1)af(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立af(x)min；(3)af(x)有解af(x)min

8、；(4)af(x)有解af(x)max.三、題之變：課本典例改編1.原題（必修5第75頁習(xí)題3.1A組第2題）改編 若試比較與的大小.【解析】平方作差可得：.2.原題（必修5第80頁習(xí)題3.2A組第3題）改編 已知方程有兩個(gè)不等正實(shí)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】依題意有：,故或.3.原題（必修5第81頁習(xí)題3.2B組第二題）改編1 若函數(shù)的定義域?yàn)?則的取值范圍是 【解析】要使有意義,即對恒成立,則,即.改編2 若恒成立,則的取值范圍是 【解析】當(dāng)時(shí),不等式等價(jià)于：,即不是恒成立,要使恒成立,則,即.改編3 若函數(shù)的定義域不是,則的取值范圍是 【解析】要使函數(shù)有意義,則存在,使得（*） 當(dāng)時(shí),（*）等價(jià)于：,即,滿足題意；當(dāng)時(shí),即；當(dāng)時(shí),即；綜上,改編4 若函數(shù)的值域是,則的取值范圍是 4.原題（必修5第80頁習(xí)題3.2A組第四題）改編 已知不等式的解集為A,不等式的解集是B. （1）求；（2）若不等式的解集是 求的解集.【解析】（1）解得,所以. 解得,所以. . （2）由的解集是,所以,解得 ,解得解集為R. 5.原題（必修5第87頁例題）改編 橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)是整點(diǎn)坐標(biāo)若直線（為正整數(shù)）,與坐標(biāo)軸圍成三角形內(nèi)的整點(diǎn)坐標(biāo)（含周界）的個(gè)數(shù)是100,則等于（ ） A9 B18 C11 D22【解析】B.6.原題（必修5第100頁練習(xí)題第1題）改編 求函數(shù)的值域.