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1、精編北師大版數(shù)學資料選修22綜合測試時間120分鐘，滿分150分一、選擇題(本大題共10個小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1計算：()A1iB1iC1i D1i答案B解析1i.2用反證法證明命題“若a，bN，ab能被3整除，那么a，b中至少有一個能被3整除”，假設應為()Aa，b都能被3整除 Ba，b都不能被3整除Ca，b不都能被3整除 Da不能被3整除答案B解析“至少有一個”的否定為“一個也沒有”3用數(shù)學歸納法證明1222(n1)2n2(n1)22212，從nk到nk1時，等式左邊應添加的式子是()A(k1)22k2 B(k1)2k2C(k1)

2、2 D(k1)2(k1)21答案B解析當nk時，左邊1222(k1)2k2(k1)22212，當nk1時，左邊1222(k1)2k2(k1)2k2(k1)22212，從nk到nk1，左邊應添加的式子為(k1)2k2.4已知函數(shù)f(x)，則yf(x)的圖象大致為()答案B解析當x1時，y0，排除A；當x0時，y不存在，排除D；當x從負方向無限趨近于0時，y趨近于，排除C.故選B.5已知bn為等比數(shù)列，b52，則b1b2b3b929.若an為等差數(shù)列，a52，則an的類似結(jié)論為()Aa1a2a3a929 Ba1a2a929Ca1a2a929 Da1a2a929答案D解析由等差數(shù)列的性質(zhì)知，a1a9

3、a2a82a5，故D成立6做直線運動的質(zhì)點在任意位置x處，所受的力F(x)1ex，則質(zhì)點從x10，沿x軸運動到x21處，力F(x)所做的功是()AeBC2eD答案B解析由W(1ex)dx1dxexdxx|ex|11.7已知復數(shù)(x2)yi(x，yR)對應向量的模為，則的最大值是()A B C. D答案C解析由|(x2)yi|，得(x2)2y23，此方程表示如圖所示的圓C，則的最大值為切線OP的斜率由|CP|，|OC|2，得COP，切線OP的斜率為，故選C.8設函數(shù)f(x)在R上可導，其導函數(shù)為f(x)，且函數(shù)f(x)在x2處取得極小值，則函數(shù)yxf(x)的圖像可能是()答案C解析本題考查導數(shù)的

4、應用，函數(shù)的圖象由f(x)在x2處取極小值知f(2)0且在2的左側(cè)f(x)0，所以C項合適函數(shù)、導數(shù)、不等式結(jié)合命題，對學生應用函數(shù)能力提出了較高要求9.觀察下列的圖形中小正方形的個數(shù)，則第6個圖中有_個小正方形，第n個圖中有_個小正方形()A28， B14，C28， D12，答案A解析根據(jù)規(guī)律知第6個圖形中有123456728.第n個圖形中有12(n1).10.給出定義：若函數(shù)f(x)在D上可導，即f(x)存在，且導函數(shù)f(x)在D上也可導，則稱f(x)在D上存在二階導函數(shù)，記f(x)(f(x)，若f(x)0在D上恒成立，則稱f(x)在D上為凸函數(shù)以下四個函數(shù)在(0，)上不是凸函數(shù)的是()A

5、f(x)sinxcosx Bf(x)lnx2xCf(x)x32x1 Df(x)xex答案D解析若f(x)sinxcosx，則f(x)sinxcosx，在x(0，)上，恒有f(x)0；若f(x)lnx2x，則f(x)，在x(0，)上，恒有f(x)0；若f(x)x32x1，則f(x)6x，在x(0，)上，恒有f(x)0，故選D.二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分)11(2014北京理，9)復數(shù)()2_.答案1解析復數(shù)i，故()2i21.12用數(shù)學歸納法證明34n152n1能被14整除時，當nk1時，對于34(k1)152(k1)1應變形為_答案3434k15252k1解析nk時，34

6、k152k1能被14整除，因此，我們需要將nk1時的式子構(gòu)造為能利用nk的假設的形式.34(k1)152(k1)13434k15252k13452k13452k134(34k152k1)(5234)52k1，便可得證13在ABC中，D是BC的中點，則()，將命題類比到四面體中去，得到一個類比命題：_.答案在四面體ABCD中，G為BCD的重心，則()14已知函數(shù)f(x)x3ax23ax1在區(qū)間(，)內(nèi)既有極大值，又有極小值，則實數(shù)a的取值范圍是_答案(，0)(9，)解析由題意得y3x22ax3a0有兩個不同的實根，故(2a)2433a0，解得a9.15.如圖為函數(shù)f(x)的圖像，f(x)為函數(shù)f

7、(x)的導函數(shù)，則不等式xf(x)0的解集為_答案(3，1)(0,1)解析xf(x)0的解集為(3，1)(0,1)是f(x)的遞減區(qū)間，f(x)0時，f(x)3kx26x3kx(x)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，0)，(，)，單調(diào)減區(qū)間為(0，)(2)當k0時，函數(shù)f(x)不存在極小值當k0時，由(1)知f(x)的極小值為f()10，即k24，又k0，k的取值范圍為(2，)18.某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)：sin213cos217sin13cos17；sin215cos215sin15cos15；sin218cos212sin18cos12；sin2(18)co

8、s248sin(18)cos48；sin2(25)cos255sin(25)cos55.(1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；(2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論解析解法一：(1)選擇(2)式，計算如下：sin215cos215sin15cos151sin301.(2)三角恒等式為sin2cos2(30)sincos(30).證明如下：sin2cos2(30)sincos(30)sin2(cos30cossin30sin)2sin(cos30cossin30sin)sin2cos2sincossin2sincossin2sin2cos2.解法二：

9、(1)同解法一(2)三角恒等式為sin2cos2(30)sincos(30).證明如下：sin2cos2(30)sincos(30)sin(cos30cossin30sin)cos2(cos60cos2sin60sin2)sincossin2cos2cos2sin2sin2(1cos2)1cos2cos2.19.設a0且a1，函數(shù)f(x)x2(a1)xalnx.(1)當a2時，求曲線yf(x)在(3，f(3)處切線的斜率；(2)求函數(shù)f(x)的極值點解析(1)由已知得x0.當a2時，f(x)x3，f(3)，所以曲線yf(x)在(3，f(3)處切線的斜率為.(2)f(x)x(a1).由f(x)0

10、，得x1或xA當0a0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當x(a,1)時，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增此時xa時f(x)的極大值點，x1是f(x)的極小值點當a1時，當x(0,1)時，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當x(1，a)時，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增此時x1是f(x)的極大值點，xa是f(x)的極小值點綜上，當0a1時，x1是f(x)的極大值點，xa是f(x)的極小值點20.(2014廣東理)設數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足Sn2nan13n24n，nN*，且S315.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求數(shù)列an的通項公式解析(1)a1S12a2312412a27a1a2S24a

11、3322424(S3a1a2)204(15a1a2)20，a1a28聯(lián)立解得，a3S3a1a21587，綜上a13，a25，a37.(2)由(1)猜想an2n1，以下用數(shù)學歸納法證明：由(1)知，當n1時，a13211，猜想成立；假設當nk時，猜想成立，即ak2k1，則當nk1時，ak1ak(2k1)332k32(k1)1這就是說nk1時，猜想也成立，從而對一切nN*，an2n1.21.如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點A，B及CD的中點P處，已知AB20 km，CB10 km，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD的區(qū)域上(含邊界)，且與A，B等距離的一點O處建造一個污水處理廠，并鋪設排污管道AO，BO，OP，設排污管道的總長為y km.(1)設BAOrad，將y表示成的函數(shù)關系式；(2)確定污水處理廠的位置，使三條排污管道的總長度最小解析(1)延長PO交AB于點Q，則PQ垂直平分AB.若BAOrad，則OA，故OB.又OP1010tan，所以yOAOBOP1010tan.故所求函數(shù)關系式為y10(0)(2)y.令y0，得sin .因為0，所以.當0，)時，y0，則y是關于的增函數(shù)，所以當時，ymin10(1010)故當點O位于線段AB的中垂線上，且距離AB邊km處時，三條排污管道的總長度最小