《精編高中數(shù)學 第一章 推理與證明綜合測試 北師大版選修22》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《精編高中數(shù)學 第一章 推理與證明綜合測試 北師大版選修22(10頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、精編北師大版數(shù)學資料【成才之路】2015-2016學年高中數(shù)學 第一章 推理與證明綜合測試 北師大版選修2-2時間120分鐘,滿分150分一、選擇題(本大題共10個小題,每小題5分,共50分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1由“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點”可類比猜想:“正四面體的內(nèi)切球切于四個面_”()A各正三角形內(nèi)一點B各正三角形的某高線上的點C各正三角形的中心D各正三角形外的某點答案C解析正三角形的邊對應正四面體的面,即正三角形表示的側(cè)面,所以邊的中點對應的就是正三角形的中心故選C2不等式ab與同時成立的充要條件為()Aab0Ba0bC0 D0答案B解析a0b,故
2、選B.3否定結(jié)論“至多有兩個解”的說法中,正確的是()A有一個解 B有兩個解C至少有三個解 D至少有兩個解答案C解析至少有兩個解包含:有兩解,有一解,無解三種情況4已知f(n),則()Af(n)中共有n項,當n2時,f(2)Bf(n)中共有n1項,當n2時,f(2)Cf(n)中共有n2n項,當n2時,f(2)Df(n)中共有n2n1項,當n2時,f(2)答案D解析f(n)f(n)中共有n2n1項f(2)5數(shù)列an中前四項分別為2,則an與an1之間的關(guān)系為()Aan1an6 B3Can1 Dan1答案B解析觀察前四項知它們分子相同,分母相差6,為等差數(shù)列6已知“整數(shù)對”按如下規(guī)律排成一列:(1
3、,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),則第60個數(shù)對是()A(7,5) B(5,7)C(2,10) D(10,1)答案B解析依題意,由和相同的整數(shù)對分為一組不難得知,第n組整數(shù)對的和為n1,且有n個整數(shù)對這樣前n組一共有個整數(shù)對注意到<60<.因此第60個整數(shù)對處于第11組的第5個位置,為(5,7)故選B.7設(shè)a、b、c都是正數(shù),則a,b,c三個數(shù)()A都大于2B至少有一個大于2C至少有一個不大于2D至少有一個不小于2答案D解析abc(a)(b)(c)a、b、c都是正數(shù),a2,b2,c2,當且僅當a1,b
4、1,c1時取等號abc6a,b,c至少有一個不小于2.8把1,3,6,10,15,21,這些數(shù)叫作三角形數(shù),如圖所示,則第七個三角形數(shù)是()A27B28C29D30答案B解析第一個三角形數(shù)是1,第二個三角形數(shù)是123,第三個三角形數(shù)是1236,第四個三角形數(shù)是123410,因此,由歸納推理得第n個三角形數(shù)是1234n.由此可以得出第七個三角形數(shù)是28.9(2014·長安一中、高新一中、交大附中、師大附中、西安中學一模)設(shè)ABC的三邊長分別為a、b、c,ABC的面積為S,內(nèi)切圓半徑為r,則r;類比這個結(jié)論可知:四面體PABC的四個面的面積分別為S1、S2、S3、S4,內(nèi)切球的半徑為r,
5、四面體PABC的體積為V,則r()A BC D答案C解析將ABC的三條邊長a、b、c類比到四面體PABC的四個面面積S1、S2、S3、S4,將三角形面積公式中系數(shù),類比到三棱錐體積公式中系數(shù),從而可知選C證明如下:以四面體各面為底,內(nèi)切球心O為頂點的各三棱錐體積的和為V,VS1rS2rS3rS4r,r.10(2015·陜西文,10)設(shè)f(x)ln x,0ab,若pf(),qf,r(f(a)f(b),則下列關(guān)系式中正確的是()Aqrp BqrpCprq Dprq答案C解析pf()ln ln (ab);qf()ln ;r(f(a)f(b)ln (ab),因為,由f(x)ln x是個遞增函
6、數(shù),f()f(),所以qpr,故答案選C 二、填空題(本大題共5小題,每小題5分,共25分)11.(2014·廈門六中高二期中)在平面上,我們用一直線去截正方形的一個角,那么截下的一個直角三角形,按如圖所標邊長,由勾股定理有c2a2b2.設(shè)想正方形換成正方體,把截線換成如圖截面,這時從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐OLMN,如果用S1,S2,S3表示三個側(cè)面面積,S表示截面面積,那么類比得到的結(jié)論是_答案S2SSS解析類比如下:正方形正方體;截下直角三角形截下三側(cè)面兩兩垂直的三棱錐;直角三角形斜邊平方三棱錐底面面積的平方;直角三角形兩直角邊平方和三棱錐三個側(cè)面面積的平方和,結(jié)論
7、S2SSS.證明如下:如圖,作OE平面LMN,垂足為E,連接LE并延長交MN于F,LOOM,LOON,LO平面MON,MN平面MON,LOMN,OEMN,MN平面OFL,SOMNMN·OF,SMNEMN·FE,SMNLMN·LF,OF2FE·FL,S(MN·OF)2(MN·FE)·(MN·FL)SMNE·SMNL,同理SSMLE·SMNL,SSNLE·SMNL,SSS(SMNESMLESNLE)·SMNLS,即SSSS2.12f(n)1(nN*),經(jīng)計算得f(2),f(4)2
8、,f(8),f(16)3,f(32).推測:當n2時,有_答案f(2n)解析由前幾項的規(guī)律可得答案13.函數(shù)yloga(x3)1(a>0且a1)的圖像恒過定點A,若點A在直線mxny10上,其中mn>0,則的最小值為_答案8解析yloga(x3)1(a>0且a1)的圖像恒過定點A(2,1)又點A在直線mxny10上,2mn1.又mn>0,m>0,n>0.2mn12,當且僅當2mn,即m,n時取等號,mn.8.14若數(shù)列an中,a11,a235,a37911,a413151719,則a10_.答案1 000解析前10項共使用了12341055個奇數(shù),a10為由
9、第46個到第55個奇數(shù)的和,即a10(2×461)(2×471)(2×551)1 000.15(2014·陜西文,14)已知f(x),x0,若f1(x)f(x),fn1(x)f(fn(x),nN, 則f2014(x)的表達式為_答案解析f1(x)f(x),f2(x)f(f1(x),f3(x)f(f2(x),f2014(x).應尋求規(guī)律,找出解析式三、解答題(本大題共6小題,共75分,前4題每題12分,20題13分,21題14分)16已知a>0,b>0,求證:.證明證法一:(綜合法)a>0,b>0,2,當且僅當ab時取等號,同理:2
10、,當且僅當ab時取等號22,即.證法二:(分析法)要證,只需證:abab,只需證:abab0,而a()b()()()20,當且僅當ab時取等號,所以.證法三:(反證法)假設(shè)當a>0,b>0時,<.由<,得<0,即<0,當a>0,b>0時,顯然不成立,假設(shè)不成立故.17在ABC中,ABAC,ADBC于D,求證:,那么在四面體ABCD中,類比上述結(jié)論,你能得到怎樣的猜想?并說明理由證明如圖(1)所示,由射影定理AD2BD·DC,AB2BD·BC,AC2BC·DC,.又BC2AB2AC2,.猜想:類比ABAC,ADBC猜想
11、:四面體ABCD中,AB、AC、AD兩兩垂直,AE平面BCD.則.如圖(2),連結(jié)BE交CD于F,連結(jié)AF.ABAC,ABAD,AB平面ACD.而AF面ACD,ABAF.在RtABF中,AEBF,.在RtACD中,AFCD,故猜想正確18已知數(shù)列an,a15且Sn1an(n2,nN)(1)求a2,a3,a4,并由此猜想an的表達式;(2)用數(shù)學歸納法證明an的通項公式分析利用不完全歸納法猜想歸納出an,然后用數(shù)學歸納法證明解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件和假設(shè)尋找ak與ak1和Sk與Sk1之間的關(guān)系解析(1)由已知,得a2S1a15,a3S2a1a210,a4S3a1a2a3551020,an.(2)
12、證明當n2時,a25×2225,表達式成立當n1時顯然成立,下面用數(shù)學歸納法證明n2時結(jié)論亦成立假設(shè)nk(k2,kN)時表達式成立,即ak5×2k2,則當nk1時,由已知條件和假設(shè)有ak1Ska1a2ak55105×2k255×2k15×2(k1)2.故當nk1時,表達式也成立由可知,對一切n(n2,nN)都有an5×2n2.19.在圓x2y2r2(r>0)中,AB為直徑,C為圓上異于A,B的任意一點,則有kAC·kBC1.你能用類比的方法得出橢圓1(a>b>0)中有什么樣的結(jié)論?并加以證明解析類比得到的結(jié)
13、論是:在橢圓1(a>b>0)中,A,B分別是橢圓長軸的左右端點,點P(x,y)是橢圓上不同于A,B的任意一點,則kAP·kBP證明如下:設(shè)A(x0,y0)為橢圓上的任意一點,則A關(guān)于中心的對稱點B的坐標為B(x0,y0),點P(x,y)為橢圓上異于A,B兩點的任意一點,則kAP·kBP·.由于A,B,P三點在橢圓上,兩式相減得,0,即kAP·kBP.故在橢圓1(a>b>0)中,長軸兩個端點為A,B,P為異于A,B的橢圓上的任意一點,則有kAP·kBP.20.已知二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a>0)的圖象與x軸有兩
14、個不同的交點,若f(c)0,且0<x<c時,f(x)>0.(1)證明:是f(x)0的一個根;(2)試比較與c的大?。?3)證明:2<b<1.解析(1)證明:f(x)的圖象與x軸有兩個不同的交點,f(x)0有兩個不等實根x1,x2,f(c)0,x1c是f(x)0的一個根又x1x2,x2(c),是f(x)0的一個根(2)解:假設(shè)<c.由>0,當0<x<c時,f(x)>0,知f()>0,與f()0矛盾,c,又c,>c.(3)證明:由f(c)0,得acb10,b1ac.又a>0,c>0,b<1.二次函數(shù)f(x)的
15、圖象的對稱軸方程為x<x2,即<.又a>0,b>2,2<b<1.21.等比數(shù)列an的前n項和為Sn,已知對任意的nN,點(n,Sn)均在函數(shù)ybxr(b>0且b1,b,r均為常數(shù))的圖像上(1)求r的值;(2)當b2時,記bn2(log2an1)(nN),證明:對任意的nN,不等式···>成立解析(1)因為對任意nN,點(n,Sn)均在函數(shù)ybxr(b>0且b1,b,r均為常數(shù))的圖像上,所以Snbnr.當n1時,a1S1br,當n2時,anSnSn1bnr(bn1r)bnbn1(b1)bn1,又因為an為等比
16、數(shù)列,所以r1,公比為b,an(b1)bn1.(2)證明:當b2時,an(b1)bn12n1,bn2(log2an1)2(log22n11)2n,則,所以·······.下面用數(shù)學歸納法證明不等式:···>.當n1時,左邊,右邊,因為>,所以不等式成立假設(shè)當nk(kN)時,不等式成立,即····>.則當nk1時,左邊·····>·>,所以當nk1時,不等式也成立由可得,不等式對任何nN都成立,即···>恒成立