《高中數學北師大版必修四教學案：第一章 167;7 第1課時 正切函數的定義 正切函數的圖像與性質 Word版含答案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數學北師大版必修四教學案：第一章 167;7 第1課時 正切函數的定義 正切函數的圖像與性質 Word版含答案（12頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 第 1 課時 正切函數的定義 正切函數的圖像與性質 核心必知 1正切函數 (1)定義：如果角 滿足：R R，2k(kZ Z)，那么，角的終邊與單位圓交于點P(a，b)，唯一確定比值ba.根據函數的定義，比值ba是角的函數，我們把它叫作角的正切函數，記作ytan_，其中R R，2k，kZ Z. (2)與正弦、余弦函數的關系：sin xcos xtan_x (3)三角函數：正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以比值為函數值的函數，它們統(tǒng)稱為三角函數 (4)正切值在各象限內的符號如圖 2正切線 單位圓與x軸正半軸交于點A，過點A作x軸的垂線AT，與角的終邊或其反向延長線交于點T.則稱線段AT為角的正

2、切線當角的終邊在y軸上時，角的正切線不存在 3正切函數的圖像和性質 函數 性質 ytan x 圖像 續(xù)表 函數 性質 ytan x 定義域 x|xR R 且xk2，kZ Z 值域 R R 周期性 最小正周期為T 奇偶性 奇函數 單調性 在(k2，k2)(kZ Z)上是增加的 對稱性 圖像的對稱中心(k2，0)kZ Z 問題思考 1你能描述正切曲線的特征嗎？ 提示：正切曲線是被互相平行的直線xk2(kZ Z)所隔開的無窮多支曲線組成的，是間斷的，它沒有對稱軸，只有對稱中心 2正切曲線在整個定義域上都是增加的嗎？ 提示：不是正切函數定義域是x|xk2，kZ Z，正切曲線在每一個開區(qū)間(k2，k2)

3、(kZ Z)上是增加的，它是周期函數，但在整個定義域上不是增加的 3函數y|tan x|的周期是2嗎？ 提示：不是y|tan x|的周期仍為. 講一講 1已知 tan 2，利用三角函數的定義求 sin 和 cos . 嘗試解答 在的終邊上取一點P(a，2a)且a0， 則有xa，y2a，ra24a2 5|a|. tan 20，在第一象限或第三象限 當在第一象限時，a0，則r 5a. sin yr2a5a2 55，cos xra5a55. 當在第三象限時，a0，則r 5a. sin yr2a 5a2 55， cos xra 5a55. 1若P(x，y)是角終邊上任一點，則 sin yr，cos x

4、r，tan yx(x0)，其中rx2y2. 2當角的終邊上的點的坐標以參數形式給出時，要根據問題的實際情況及解題的需要對參數進行分類討論 練一練 1角的終邊經過點P(b，4)且 cos 35，求 tan 的值 解：由已知可知點P在第二象限，b0. cos 35，bb21635，解得b3， tan 43. 講一講 2畫出函數y|tan x|的圖像，并根據圖像寫出使y1 的x的集合 嘗試解答 y|tan x| tan x， kxk2，（kZ Z），tan x， k2xk，（kZ Z）， 畫出其圖像，如圖所示實線部分 由圖像可知x的集合為x|k4xk4，kZ Z 1三點兩線畫圖法 “三點”是指4，1

5、 ，(0，0)，4，1 ；“兩線”是指x2和x2.在三點、兩線確定的情況下，類似于五點法作圖，可大致畫出正切函數在2，2上的簡圖，然后向右、向左擴展即可得到正切曲線 2如果由yf(x)的圖像得到y(tǒng)f(|x|)及y|f(x)|的圖像，可利用圖像中的對稱變換法完成；即只需作出yf(x)(x0)的圖像，令其關于y軸對稱便可以得到y(tǒng)f(|x|)(x0)的圖像；同理只要作出yf(x)的圖像，令圖像“上不動下翻上”便可得到y(tǒng)|f(x)|的圖像 3利用函數的圖像可直觀地研究函數的性質，如判斷奇偶性、周期性、解三角不等式等 練一練 2多維思考 根據講 2 中函數y|tan x|的圖像，討論該函數的性質 解：(

6、1)定義域：x|xR R，x2k，kZ Z (2)值域：0，) (3)周期性：是周期函數，最小正周期為. (4)奇偶性：圖像關于y軸對稱，函數是偶函數 (5)單調性： 在每一個區(qū)間(2k，k(kZ Z)上是減少的， 在每一個區(qū)間k，2k(kZ Z)上是增加的 (6)對稱性：對稱軸xk2，kZ Z. 講一講 3(1)求函數ytan12x4的單調區(qū)間 (2)比較 tan214與 tan175的大小 嘗試解答 (1)ytan x，在2k，2k (kZ Z)上是增加的，2k12x42k，kZ Z. 2k2x2k32，kZ Z， 即函數ytan12x4的單調遞增區(qū)間是2 2k， 322k (kZ Z)

7、(2)tan214tan45 tan4， tan175tan325tan25. 又函數ytan x在(0，2)內單調遞增，而 04252，tan4tan25，即 tan214tan175. 1正切函數在每一個單調區(qū)間內都是增加的，在整個定義域內不是增加的，另外正切函數不存在減區(qū)間 2對于函數yAtan(x)(A，是常數)的單調區(qū)間問題，可先由誘導公式把x的系數化為正值，再利用“整體代換”思想，求得x的范圍即可 3 比較兩個正切函數值的大小， 要先利用正切函數的周期性將正切值化為區(qū)間2，2內兩角的正切值，再利用正切函數的單調性比較大小 練一練 3函數f(x)tan(2x3)的單調遞增區(qū)間為_ 解

8、析：由k22x3k2(kZ Z)， 得k212xk2512(kZ Z)， 所以函數的單調遞增區(qū)間為(k212，k2512)(kZ Z) 答案：(k212，k2512)(kZ Z) 求函數y11tan x的定義域 錯解 由 1tan x0 得 tan x1， 解得xk4，kZ Z， 函數的定義域為x|xk4，kZ Z 錯因 求函數的定義域不僅考慮使函數式有意義， 還得考慮正切函數本身固有的xk2，kZ Z 這一條 件上面的解法只考慮了 1tan x0，而沒有考慮xk2，kZ Z，因而是錯誤的 正解 由1tan x0，xk2，kZ Z， 得xk4且xk2，kZ Z. 函數的定義域為xxk4且xk2

9、，kZ Z . 1函數ytan(x)是( ) A奇函數 B偶函數 C既是奇函數又是偶函數 D非奇非偶函數 解析：選 A ytan(x)tan x. 此函數是奇函數 2函數ytan(x4)的定義域是( ) A.xx4 B.xx4 C.xxk4，kZ Z D.xxk4，kZ Z 解析：選 D 由x4k2，kZ Z 得，xk4，kZ Z，函數的定義域為xxk4，kZ Z . 3已知角的終邊上一點P(2，1)，則 tan ( ) A.12 B2 C2 D12 解析：選 D tan yx1212. 4函數ytan x，x0，4的值域是_ 解析：函數ytan x在0，4上為增加的， 0tan x1. 答案

10、：0，1 5比較大?。簍an 2_tan 9. 解析：tan 9tan(29)， 而2229，且ytan x在(2，)內是增加的 tan 2tan(29)， 即 tan 2tan 9. 答案： 6利用正切函數的圖像作出ytan x|tan x|的圖像，并判斷此函數的周期性 解：當x(k2，k時，ytan x0， 當x(k，k2)時，ytan x0， ytan x|tan x|0，x（k2，k，kZ Z，2tan x，x（k，k2），Z Z. 圖像如圖所示 由ytan x|tan x|的圖像可知，它是周期函數，周期為. 一、選擇題 1已知是第二象限角，則( ) Atan20 Btan20 Cta

11、n20 Dtan2的符號不確定 解析：選 A 是第二象限角， 2是第一或第三象限角， tan20. 2函數y2tan(2x4)的定義域是( ) A.xxR R且xk4，kZ Z B.xxR R且xk238，kZ Z C.xxR R且xk34，kZ Z D.xxR R且xk28，kZ Z 解析：選 B 由 2x4k2，kZ Z， 解得xk238，kZ Z. 3函數ytan(sin x)的值域是( ) A.4，4 B.22，22 Ctan 1，tan 1 D1，1 解析：選 C 1sin x1， 21sin x10tan x，cos x0 tan x，2x2，tan x，x2或20， 函數的增區(qū)間

12、為(k，k2)(kZ Z) 答案：k，k2(kZ Z) 7函數ysin x與ytan x的圖像在2，2上交點個數是_ 解析：在x0，2時，tan xsin x，x2，0 時，tan xsin x，所以ysin x與ytan x在2，2上只有一個交點(0，0) 答案：1 8已知函數y2tan 612x，則函數的對稱中心是_ 解析：y2tan612x2tan 12x6. ytan x的對稱中心為k2，0 ， 令12x6k2，得xk3，kZ Z. y2tan612x的對稱中心為k3，0 ，kZ Z. 答案：k3，0 (kZ Z) 三、解答題 9已知f(x)asin xbtan x1，f(25)7，

13、求f(2 0125) 解：設g(x)asin xbtan x，因為 sin x與 tan x都是奇函數，所以g(x)g(x)，即g(x)g(x)0，故f(x)f(x)g(x)1g(x)12，又易得f2 0125f40225f25，f25f252，且f257， f2 0125f255. 10已知函數f(x)x22xtan 1，x1， 3 ，其中2，2. (1)當6時，求函數f(x)的最大值與最小值； (2)求的取值范圍，使yf(x)在區(qū)間1， 3 上是單調函數 解：(1)當6時， f(x)x22 33x1x33243，x1， 3 當x33時，f(x)的最小值為43； 當x1 時，f(x)的最大值為2 33. (2)函數f(x)(xtan )21tan2的圖像的對稱軸為xtan . yf(x)在區(qū)間1， 3上是單調函數， tan 1 或tan 3， 即 tan 1 或 tan 3. 又2，2， 的取值范圍是2，34，2 .