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1、(新教材)北師大版精品數(shù)學資料第三章3.3第2課時 雙曲線的簡單性質(zhì)一、選擇題1下列曲線中離心率為的是()A1B1C1D1答案B解析雙曲線的離心率e,得,只有B選項符合,故選B2雙曲線x21的離心率大于的充分必要條件是()AmBm1Cm1Dm2答案C解析雙曲線離心率e,所以m1,選C3已知雙曲線C:1的焦距為10,點P(2,1)在C的漸近線上,則C的方程為()A1B1C1D1答案A解析本題考查雙曲線標準方程的求法由題意知,焦距為10,c5,又P(2,1)在雙曲線的漸近線上,a2b,聯(lián)立得a220,b25,故雙曲線方程1,注意焦距為2c而不是c,雙曲線的漸近線方程的求法4(2014山東理)已知a
2、b0,橢圓C1的方程為1,雙曲線C2的方程為1,C1與C2的離心率之積為,則C2的漸近線方程為()Axy0Bxy0Cx2y0D2xy0答案A解析e,e,ee1()4,雙曲線的漸近線方程為yx.5(2015天津理,6)已知雙曲線1(a0,b0)的一條漸近線過點(2,),且雙曲線的一個焦點在拋物線y24x的準線上,則雙曲線的方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析雙曲線1(a0,b0)的漸近線方程為yx,由點(2,)在漸近線上,所以,雙曲線的一個焦點在拋物線y24x準線方程x上,所以c,由此可解得a2,b,所以雙曲線方程為1,故選D6若雙曲線1(a0,b0)的兩個焦點為F1、F2,P為雙曲
3、線上一點,且|PF1|3|PF2|,則該雙曲線離心率的取值范圍是()Ae2B1e2CeDe答案B解析由題意,|PF1|AF1|,3aac,e2,1b,B1F1B260,B1F1O30.在B1OF1中,tan30,.1,.e2,e.三、解答題9已知雙曲線1(a0,b0)過點A(,),且點A到雙曲線的兩條漸近線的距離的積為.求此雙曲線方程解析雙曲線1的兩漸近線的方程為bxay0.點A到兩漸近線的距離分別為d1,d2已知d1d2,故又A在雙曲線上,則14b25a2a2b2代入,得3a2b24a24b2聯(lián)立、解得b22,a24.故所求雙曲線方程為1.10如圖,F(xiàn)1、F2分別是雙曲線C:1(a,b0)的
4、左、右焦點,B是虛軸的端點,直線F1B與C的兩條漸近線分別交于P、Q兩點,線段PQ的垂直平分線與x軸交于點M.若|MF2|F1F2|,求C的離心率解析本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)F1(c,0),B(0,b)k,那直線F1B方程為yxb,聯(lián)立,得P點坐標(,)Q點坐標為(,),中點N的坐標為(,),MN的直線方程為y(x)令y0,x,又由|MF2|F1F2|知3Ca22b2,1e2.e.一、選擇題1雙曲線mx2y21的虛軸長是實軸長的2倍,則m等于()AB4C4D答案A解析雙曲線方程化為標準形式:y21,則有:a21,b2,由題設(shè)條件知,2,m.2已知雙曲線kx2y21的一條漸近線與直線2xy10垂
5、直,則這個雙曲線的離心率是()ABCD答案D解析由2xy10,知此直線的斜率k12,則給定的雙曲線的一條漸近線的斜率為k2.而雙曲線的一條漸近線為yx,則k,e,故選D3已知雙曲線1,過其右焦點F的直線交雙曲線于P、Q兩點,PQ的垂直平分線交x軸于點M,則的值為()ABCD答案B解析依題意,將直線PQ特殊化為x軸,于是有點P(3,0)、Q(3,0)、M(0,0)、F(5,0),選B4已知雙曲線1(b0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,其一條漸近線方程為yx,點P(,y0)在該雙曲線上,則等于()A12B2C0D4答案C解析由漸近線方程yx,得b,把點P(,y0)代入1中,得y01.不妨取P(,1
6、),F(xiàn)1(2,0),F(xiàn)2(2,0),(2,1)(2,1)3410.二、填空題5若雙曲線1(b0)的漸近線方程為yx,則b等于_答案1解析雙曲線1的漸近線方程為yx,又漸近線方程為yx,故b1.6已知雙曲線1(a0,b0)的左、右焦點分別為F1(c,0)、F2(c,0),若雙曲線上存在點P使,則該雙曲線的離心率的取值范圍是_答案(1,1)解析考查雙曲線的性質(zhì)不妨設(shè)P為雙曲線右支上一點,由正弦定理可得,e,故e1,而PF2ca,即e1,e1,1e1.三、解答題7已知等軸雙曲線x2y2a2及其上一點P,求證:(1)P到它兩個焦點的距離的積等于P到雙曲線中心距離的平方;(2)過P作兩漸近線的垂線,構(gòu)成
7、的矩形面積為定值證明(1)設(shè)P(x0,y0),則xya2,又F1(a,0)、F2(a,0),|PF1|PF2|x0a|x0a|2xa2|xy|PO|2.(2)設(shè)垂足分別為Q、R,則由點到直線距離公式知|PQ|,|PR|,SPQOR|PQ|PR|xy|a2(定值)總結(jié)反思證定值問題亦可從特殊值出發(fā)找出定值,然后再進行論證8在平面直角坐標系xOy中,已知雙曲線C:2x2y21.(1)F是C的左焦點,M是C右支上一點若|MF|2,求點M的坐標;(2)過C的左頂點作C的兩條漸近線的平行線,求這兩組平行線圍成的平行四邊形的面積;(3)設(shè)斜率為k(|k|)的直線l交C于P、Q兩點,若l與圓x2y21相切,
8、求證:OPOQ.解析(1)雙曲線C:y21,左焦點F(,0)設(shè)M(x,y),則|MF|2(x)2y2(x)2,由M點是右支上一點,知x,所以|MF|x2,解得x,所以M(,)(2)左頂點A(,0),漸近線方程:yx.過點A與漸近線yx平行的直線方程為:y(x),即yx1.解方程組得所求平行四邊形的面積為S|OA|y|.(3)設(shè)直線PQ的方程是ykxb,因直線PQ與已知圓相切,故1,即b2k21(*)由得(2k2)x22kbxb210.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則又y1y2(kx1b)(kx2b),所以x1x2y1y2(1k2)x1x2kb(x1x2)b2b2.由(*)知,0,所以O(shè)POQ.