《新教材高中數(shù)學(xué)北師大版必修三教學(xué)案：第一章167;2 第2課時 分層抽樣與系統(tǒng)抽樣 Word版含答案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《新教材高中數(shù)學(xué)北師大版必修三教學(xué)案：第一章167;2 第2課時 分層抽樣與系統(tǒng)抽樣 Word版含答案（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、（新教材）北師大版精品數(shù)學(xué)資料 第2課時　分層抽樣與系統(tǒng)抽樣 [核心必知] 1．分層抽樣的概念 將總體按其屬性特征分成若干類型(有時稱作層)，然后在每個類型中按照所占比例隨機抽取一定的樣本．這種抽樣方法通常叫作分層抽樣，有時也稱為類型抽樣． 2．系統(tǒng)抽樣的概念 系統(tǒng)抽樣是將總體中的個體進(jìn)行編號，等距分組，在第一組中按照簡單隨機抽樣抽取第一個樣本，然后按分組的間隔(稱為抽樣距)抽取其他樣本． 系統(tǒng)抽樣又叫等距抽樣或機械抽樣． [問題思考] 1．分層抽樣時為什么要將總體分成互不重疊的層？ 提示：在總體中由于個體之間存在著明顯的差異，為了使抽取的樣本更合理，更具有代表性，

2、所以將總體分成互不重疊的層，而后獨立地抽取一定數(shù)量的個體． 2．系統(tǒng)抽樣的第二步中，當(dāng)不是整數(shù)時，從總體中剔除一些個體采用的方法是什么？影響系統(tǒng)抽樣的公平性嗎？ 提示：剔除一些個體可以用簡單隨機抽樣抽取，不影響系統(tǒng)抽樣的公平性． 講一講 1.某企業(yè)共有3 200名職工，其中青、中、老年職工的比例為3∶5∶2.若從所有職工中抽取一個容量為400的樣本，則采用哪種抽樣方法更合理？青、中、老年職工應(yīng)分別抽取多少人？每人被抽到的可能性相同嗎？ [嘗試解答]　因為總體由差異明顯的三部分(青、中、老年)組成，所以采用分層抽樣的方法更合理． 因為青、中、老年職工的比例是3∶5∶2

3、，所以應(yīng)分別抽?。? 青年職工400＝120(人)；中年職工400＝200(人)； 老年職工400＝80(人)． 由樣本容量為400，總體容量為3 200可知，抽樣比是＝，所以每人被抽到的可能性相同，均為. 分層抽樣的步驟： (1)根據(jù)已經(jīng)掌握的信息，將總體分成互不重疊的層； (2)根據(jù)總體中的個體數(shù)N和樣本容量n計算抽樣比 k＝； (3)確定第i層應(yīng)該抽取的個體數(shù)目ni＝Nik(Ni為第i層所包含的個體數(shù))，使得各ni之和為n； (4)在各層中，按步驟(3)中確定的數(shù)目在各層中隨機地抽取個體，合在一起得到容量為n的樣本． 練一練 1．某城市有210家百貨商店，其中大型商

4、店20家，中型商店40家，小型商店150家．為了掌握各商店的營業(yè)情況，計劃抽取一個容量為21的樣本，按照分層抽樣方法抽取時，各種百貨商店分別要抽取多少家？寫出抽樣過程． 解：第一步：樣本容量與總體容量的比為＝；第二步：確定各種商店要抽取的數(shù)目：大型商店：20＝2(家)，中型商店：40＝4(家)，小型商店：150＝15(家)；第三步：采用簡單隨機抽樣在各層中分別抽取大型商店2家，中型商店4家，小型商店15家，綜合每層抽樣即得樣本. 2.相關(guān)部門對某食品廠生產(chǎn)的303盒月餅進(jìn)行質(zhì)量檢驗，需要從中抽取10盒，請用系統(tǒng)抽樣法完成對此樣本的抽取． [嘗試解答]　第一步　將303盒月餅用隨機的方

5、式編號． 第二步　從總體中剔除3盒月餅，將剩下的300盒月餅重新編號(分別為000,001，…，299)，并分成10段． 第三步　在第一段中用簡單隨機抽樣抽取起始號碼l. 第四步　將編號為l，l＋30，l＋230，…，l＋930的個體取出，組成樣本． 1．當(dāng)總體容量能被樣本容量整除時，分段間隔k＝；當(dāng)用系統(tǒng)抽樣抽取樣本時，通常是將起始數(shù)s加上間隔k得到第2個個體編號(s＋k)，再加k得到第3個個體編號(s＋2k)，依次進(jìn)行下去，直到獲得整個樣本． 2．當(dāng)總體容量不能被樣本容量整除時，可以先從總體中隨機剔除幾個個體，但要注意的是剔除過程必須是隨機的，也就是總體中的每個個體被剔除的機

6、會均等，剔除幾個個體后使總體中剩余的個體能被樣本容量整除，然后再按系統(tǒng)抽樣方法抽取樣本． 練一練 2．為了了解某地區(qū)今年高一學(xué)生期末考試數(shù)學(xué)學(xué)科的成績，擬從參加考試的15 000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績中抽取容量為150的樣本．請用系統(tǒng)抽樣寫出抽取過程． 解：(1)對全體學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行編號：1,2,3，…，15 000. (2)分段：由于樣本容量與總體容量的比是1∶100，所以我們將總體平均分為150個部分，其中每一部分包含100個個體． (3)在第一部分即1號到100號用簡單隨機抽樣抽取一個號碼，比如是56. (4)以56作為起始數(shù)，然后依次抽取156,256,356，…，14 95

7、6，這樣就得到容量為150的一個樣本. 講一講 3.選擇恰當(dāng)?shù)某闃臃椒?，并寫出抽樣過程． (1)有30個籃球，其中，甲廠生產(chǎn)的有21個，乙廠生產(chǎn)的有9個，現(xiàn)抽取10個作樣品； (2)有甲廠生產(chǎn)的30個籃球，其中一箱21個，另一箱9個，現(xiàn)取出3個作樣品； (3)有甲廠生產(chǎn)的300個籃球，抽取10個作樣品； (4)有甲廠生產(chǎn)的300個籃球，從中抽取30個作樣品． [嘗試解答]　(1)因總體是由差異明顯的幾部分構(gòu)成，可采用分層抽樣的方法抽?。? 第一步　確定抽取個數(shù)．因為＝，所以甲廠生產(chǎn)的應(yīng)抽取21＝7(個)，乙廠生產(chǎn)的應(yīng)抽取9＝3(個)； 第二步　用抽簽法分別抽取甲廠生產(chǎn)的籃球

8、7個，乙廠生產(chǎn)的籃球3個．這些籃球便組成了我們要抽取的樣本． (2)總體容量較小，用抽簽法． 第一步　將30個籃球編號，編號為00,01，…，29； 第二步　將以上30個編號分別寫在一張小紙條上，揉成小球，制成號簽； 第三步　把號簽放入一個不透明的袋子中，充分?jǐn)噭颍? 第四步　從袋子中逐個抽取3個號簽，并記錄上面的號碼； 第五步　找出與所得號碼對應(yīng)的籃球． (3)總體容量較大，樣本容量較小，適宜用隨機數(shù)法． 第一步　將300個籃球用隨機方式編號，編號為001,002，…，300； 第二步　在隨機數(shù)表中隨機的確定一個數(shù)作為開始，如第3行第5列的數(shù)“3”開始．任選一個方向作為讀數(shù)方

9、向，比如向右讀； 第三步　從數(shù)“3”開始向右讀，每次讀三位，凡不在001～300中的數(shù)跳過去不讀，遇到已經(jīng)讀過的數(shù)也跳過去不讀，便可依次得到241,242,232,283,039,101,158,272,266,166這10個號碼，這就是所要抽取的10個樣本個體的號碼． (4)總體容量較大，樣本容量也較大，適宜用系統(tǒng)抽樣法． 第一步　將300個籃球用隨機方式編號，編號為000,001,002，…，299，并分成30段； 第二步　在第一段000,001,002，…，009這十個編號中用簡單隨機抽樣抽出一個(如002)作為起始號碼； 第三步　將編號為002,012,022，…，292的個

10、體抽出，組成樣本． 1．三種抽樣的適用范圍不同，各自的特點也不同，但各種方法間又有密切聯(lián)系．在應(yīng)用時要根據(jù)實際情況選取合適的方法． 2．三種抽樣中每個個體被抽到的可能性都是相同的． 練一練 3．某社區(qū)有700戶家庭，其中高收入家庭225戶，中等收入家庭400戶，低收入家庭75戶．為了調(diào)查社會購買力的某項指標(biāo)，要從中抽取一個容量為100戶的樣本，記作 ①；某中學(xué)高二年級有12名籃球運動員，要從中選出3人調(diào)查投籃命中率情況，記作②；從某廠生產(chǎn)的802輛轎車中抽取40輛測試某項性能，記作③.為完成上述三項抽樣，則應(yīng)采取的抽樣方法是(　　) A．①簡單隨機抽樣，②系統(tǒng)抽樣，③分

11、層抽樣 B．①分層抽樣，②簡單隨機抽樣，③系統(tǒng)抽樣 C．①簡單隨機抽樣，②分層抽樣，③系統(tǒng)抽樣 D．①分層抽樣，②系統(tǒng)抽樣，③簡單隨機抽樣 解析：對于①，總體由高收入家庭、中等收入家庭和低收入家庭差異明顯的三部分組成，而所調(diào)查的指標(biāo)與收入情況密切相關(guān)，所以應(yīng)采用分層抽樣； 對于②，總體中的個體數(shù)較少，而且所調(diào)查內(nèi)容對12名調(diào)查對象是平等的，應(yīng)采用簡單隨機抽樣； 對于③，總體中的個體數(shù)較多，且個體之間差異不明顯，樣本中個體數(shù)也較多，應(yīng)采用系統(tǒng)抽樣． 答案：B 【解題高手】【多解題】 一個單位有職工160人，其中有業(yè)務(wù)人員112人，管理人員16人，后勤服務(wù)人員32人，為了了解職工

12、的某種情況，要從中抽取一個容量為20的樣本，試確定業(yè)務(wù)人員、管理人員、后勤服務(wù)人員各抽取的人數(shù)是多少？ [解]　法一：三部分所含個體數(shù)之比為112∶16∶32＝7∶1∶2，設(shè)三部分各抽個體數(shù)為7x，x,2x，則由7x＋x＋2x＝20得x＝2.故業(yè)務(wù)人員、管理人員、后勤服務(wù)人員抽取的個體數(shù)分別為14,2和4. 法二：由16020＝8，所以可在各層人員中按8∶1的比例抽取，又因為1128＝14,168＝2,328＝4，所以業(yè)務(wù)人員14人，管理人員2人，后勤服務(wù)人員4人． 法三：因為共有職工160人，所抽取的人數(shù)為20，所以樣本容量與總體容量之比為＝，則業(yè)務(wù)人員應(yīng)抽取112＝14人，管理人員應(yīng)

13、抽16＝2人，后勤服務(wù)人員應(yīng)抽32＝4人. 1．簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣之間的共同點是(　　) A．都是從總體中逐個抽取 B．將總體分成幾部分，按事先確定的規(guī)則在各部分中抽取 C．抽樣過程中每個個體被抽取的機會相同 D．將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取 解析：選C 簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的共同點是：在抽樣過程中每個個體被抽取的概率是相同的． 　　2．(四川高考)某學(xué)校為了了解三年級、六年級、九年級這三個年級之間的學(xué)生視力是否存在顯著差異，擬從這三個年級中按人數(shù)比例抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則最合理的抽樣方法是(　　) A．抽簽法 B．系統(tǒng)

14、抽樣法 C．分層抽樣法 D．隨機數(shù)法 解析：選D 樣本由差異明顯的幾部分組成，抽取的比例由每層個體占總體的比例確定，即為分層抽樣法． 3．將一個總體分為A、B、C三層，其個體數(shù)之比為5∶3∶2，若用分層抽樣方法抽取容量為100的樣本，則應(yīng)從C中抽取的個體數(shù)為________． 解析：100＝20. 答案：20 4．將參加數(shù)學(xué)夏令營的100名同學(xué)編號為001,002，…，100.現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為25的樣本，且第一段中隨機抽得的號碼為004，則在046至078號中，被抽中的人數(shù)為________． 解析：抽樣距為4，第一個號碼為004，故001～100中

15、是4的整數(shù)倍的數(shù)被抽出，在046至078號中有048,052,056,060,064,068,072,076，共8個． 答案：8 5．某中學(xué)有教職工300人，分為教學(xué)人員、管理人員、后勤服務(wù)人員三部分，其組成比例為8∶1∶1.現(xiàn)用分層抽樣從中抽取容量為20的樣本，請寫出抽樣的過程． 解：抽樣過程如下： (1)確定抽樣比＝； (2)確定各層抽樣數(shù)目為＝16，＝2，＝2； (3)用系統(tǒng)抽樣法從教學(xué)人員中抽取16人，用簡單隨機抽樣法分別從管理人員和后勤服務(wù)人員中各抽取2人； (4)將上述各層所抽的個體合在一起即為所要抽取的樣本． 一、選擇題 1．某牛奶生產(chǎn)線上每隔30分鐘抽取一

16、袋進(jìn)行檢驗，該抽樣方法記為①；從某中學(xué)的30名數(shù)學(xué)愛好者中抽取3人了解學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)情況，該抽樣方法記為②.那么(　　) A．①是系統(tǒng)抽樣，②是簡單隨機抽樣 B．①是簡單隨機抽樣，②是簡單隨機抽樣 C．①是簡單隨機抽樣，②是系統(tǒng)抽樣 D．①是系統(tǒng)抽樣，②是系統(tǒng)抽樣 解析：選A 對于①，因為每隔30分鐘抽取一袋，是等間距抽樣，故①為系統(tǒng)抽樣；對于②，總體數(shù)量少，樣本容量也小，故②為簡單隨機抽樣． 2．(四川高考)交通管理部門為了解機動車駕駛員(簡稱駕駛員)對某新法規(guī)的知曉情況，對甲、乙、丙、丁四個社區(qū)做分層抽樣調(diào)查．假設(shè)四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為N，其中甲社區(qū)有駕駛員96人．若在甲、乙、丙

17、、丁四個社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12,21,25,43，則這四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)N為(　　) A．101 B．808 C．1 212 D．2 012 解析：選B 依題意得知，甲社區(qū)駕駛員的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的＝，因此有＝，解得N＝808. 3．(湖南高考)某工廠甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)了同一種產(chǎn)品，數(shù)量分別為120件，80件，60件．為了解它們的產(chǎn)品質(zhì)量是否存在顯著差異，用分層抽樣方法抽取了一個容量為n的樣本進(jìn)行調(diào)查，其中從丙車間的產(chǎn)品中抽取了3件，則n＝(　　) A．9 B．10 C．12 D．13 解析：選D 由分層抽樣可得，＝，解得n＝13.

18、4．下列抽樣中不是系統(tǒng)抽樣的是(　　) A．從標(biāo)有1～15號的15個球中，任選3個作為樣本．將15個球按從小號到大號排序，隨機選i0號作為起始號碼，以后選i0＋5，i0＋10(超過15則從1再數(shù)起)號入樣 B．工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品，在用傳送帶將產(chǎn)品送入包裝車間前，檢驗人員從傳送帶上每隔五分鐘抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗 C．進(jìn)行某一市場調(diào)查時，規(guī)定在商場門口隨機抽取一個人進(jìn)行詢問調(diào)查，直到調(diào)查到事先規(guī)定的調(diào)查人數(shù)為止 D．在報告廳對與會聽眾進(jìn)行調(diào)查，通知每排(每排人數(shù)相等)座位號為14的聽眾留下來座談 解析：選C 分析各選項中抽樣的特點，與系統(tǒng)抽樣的概念、特點進(jìn)行比較．A、D顯然是系統(tǒng)抽樣．B項

19、中，傳送帶的速度是恒定的，實際上是將某一段時間內(nèi)生產(chǎn)的產(chǎn)品分成一組，且可以認(rèn)為這些產(chǎn)品已經(jīng)排好，又總在某一位置抽取樣品，這正好符合系統(tǒng)抽樣的概念．選項C因事先不知道總體的個數(shù)，而且抽樣時不能保證每個個體等可能入樣，因此它不是系統(tǒng)抽樣． 5．某學(xué)校有職工140人，其中教師91人，教輔行政人員28人，總務(wù)后勤人員21人．為了了解職工的某種情況，要從中抽取一個容量為20的樣本．以下的抽樣方法中，依次為簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣順序的是(　　) 方法1：將140人從1～140編號，然后制作出編號1～140的形狀、大小相同的號簽，并將號簽放入同一箱子里均勻攪拌，然后從中依次抽取20個號簽，編號

20、與號簽相同的20個人被選出； 方法2：將140人分成20組，每組7人，并將每組7人按1～7編號，在第一組采用抽簽法抽出k號(1≤k≤7)，其余各組k號也被抽出，20個人被選出； 方法3：按20∶140＝1∶7的比例，從教師中抽出13人，從教輔行政人員中抽出4人，從總務(wù)后勤人員中抽出3人．從各類人員中抽取所需人員時，均采用隨機數(shù)法，可抽到20人． A．方法2，方法1，方法3 B．方法2，方法3，方法1 C．方法1，方法2，方法3 D．方法3，方法1，方法2 解析：選C 結(jié)合簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的定義判斷． 二、填空題 6．(浙江高考)某個年級有男生560人，女生4

21、20人，用分層抽樣的方法從該年級全體學(xué)生中抽取一個容量為280的樣本，則此樣本中男生人數(shù)為________． 解析：由分層抽樣得，此樣本中男生人數(shù)為560＝160. 答案：160 7．某學(xué)校高一、高二、高三三個年級共有學(xué)生3 500人，其中高三學(xué)生數(shù)是高一學(xué)生數(shù)的兩倍，高二學(xué)生數(shù)比高一學(xué)生數(shù)多300人，現(xiàn)在按的抽樣比用分層抽樣的方法抽取樣本，則應(yīng)抽取高一學(xué)生數(shù)為________． 解析：若設(shè)高三學(xué)生數(shù)為x，則高一學(xué)生數(shù)為，高二學(xué)生數(shù)為＋300，所以有x＋＋＋300＝3 500，解得x＝1 600.故高一學(xué)生數(shù)為800，因此應(yīng)抽取高一學(xué)生數(shù)為＝8. 答案：8 8．一個總體中有100個

22、個體，隨機編號為0、1、2、…、99，依編號順序平均分成10個小組，組號依次為1、2、3、…、10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為10的樣本，規(guī)定如果在第1組隨機抽取的號碼為m，那么在第k組中抽取的號碼個位數(shù)字與m＋k的個位數(shù)字相同．若m＝6，則在第7組中抽取的號碼是________． 解析：第k組的號碼為(k－1)10，(k－1)10＋1，…，(k－1)10＋9，當(dāng)m＝6、k＝7時，第k組抽取的號碼m＋k的個位數(shù)字為3，所以(7－1)10＋3＝63. 答案：63 三、解答題 9．為了調(diào)查某路口一個月的車流量情況，交警采用系統(tǒng)抽樣的方法，樣本距為7，從每周中隨機抽取一天，他正好抽取的是

23、星期日，經(jīng)過調(diào)查后做出報告．你認(rèn)為交警這樣的抽樣方法有什么問題？應(yīng)當(dāng)怎樣改進(jìn)？如果是調(diào)查一年的車流量情況呢？ 解：交警所統(tǒng)計的數(shù)據(jù)以及由此所推斷出來的結(jié)論，只能代表星期日的交通流量．由于星期日是休息時間，很多人不上班，不能代表其他幾天的情況． 改進(jìn)方法可以將所要調(diào)查的時間段的每一天先隨機地編號，再用系統(tǒng)抽樣方法來抽樣，或者使用簡單隨機抽樣來抽樣亦可． 如果是調(diào)查一年的交通流量，使用簡單隨機抽樣法顯然已不合適，比較簡單可行的方法是把樣本距改為8. 10．某單位最近組織了一次健身活動，活動分為登山組和游泳組，且每個職工至多參加其中一組．在參加活動的職工中，青年人占42.5%，中年人占47.

24、5%，老年人占10%.登山組的職工占參加活動總?cè)藬?shù)的，且該組中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.為了了解各組不同的年齡層的職工對本次活動的滿意程度，現(xiàn)用分層抽樣的方法從參加活動的全體職工中抽取容量為200的樣本．試求： (1)游泳組中，青年人、中年人、老年人分別所占的比例； (2)游泳組中，青年人、中年人、老年人分別應(yīng)抽取的人數(shù)． 解：(1)設(shè)登山組人數(shù)為x，游泳組中，青年人、中年人、老年人各占比例分別為a，b，c，則有＝47.5%，＝10%. 解得b＝50%，c＝10%. 故a＝1－50%－10%＝40%. 即游泳組中，青年人、中年人、老年人各占比例分別為40%、50%、10%. (2)游泳組中，抽取的青年人人數(shù)為20040%＝60； 抽取的中年人人數(shù)為20050%＝75； 抽取的老年人人數(shù)為20010%＝15.