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1、（新教材）北師大版精品數學資料【成才之路】高中數學 第一章 推理與證明綜合測試 北師大版選修2-2時間120分鐘，滿分150分一、選擇題(本大題共10個小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1由“正三角形的內切圓切于三邊的中點”可類比猜想：“正四面體的內切球切于四個面_”()A各正三角形內一點B各正三角形的某高線上的點C各正三角形的中心D各正三角形外的某點答案C解析正三角形的邊對應正四面體的面，即正三角形表示的側面，所以邊的中點對應的就是正三角形的中心故選C2不等式ab與同時成立的充要條件為()Aab0Ba0bC0 D0答案B解析a0b，故選B.3否定

2、結論“至多有兩個解”的說法中，正確的是()A有一個解 B有兩個解C至少有三個解 D至少有兩個解答案C解析至少有兩個解包含：有兩解，有一解，無解三種情況4已知f(n)，則()Af(n)中共有n項，當n2時，f(2)Bf(n)中共有n1項，當n2時，f(2)Cf(n)中共有n2n項，當n2時，f(2)Df(n)中共有n2n1項，當n2時，f(2)答案D解析f(n)f(n)中共有n2n1項f(2)5數列an中前四項分別為2，則an與an1之間的關系為()Aan1an6 B3Can1 Dan1答案B解析觀察前四項知它們分子相同，分母相差6，為等差數列6已知“整數對”按如下規(guī)律排成一列：(1,1)，(1

3、,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，則第60個數對是()A(7,5) B(5,7)C(2,10) D(10,1)答案B解析依題意，由和相同的整數對分為一組不難得知，第n組整數對的和為n1，且有n個整數對這樣前n組一共有個整數對注意到<60<.因此第60個整數對處于第11組的第5個位置，為(5,7)故選B.7設a、b、c都是正數，則a，b，c三個數()A都大于2B至少有一個大于2C至少有一個不大于2D至少有一個不小于2答案D解析abc(a)(b)(c)a、b、c都是正數，a2，b2，c2，當且僅當a1，b1，c1時取

4、等號abc6a，b，c至少有一個不小于2.8把1,3,6,10,15,21，這些數叫作三角形數，如圖所示，則第七個三角形數是()A27B28C29D30答案B解析第一個三角形數是1，第二個三角形數是123，第三個三角形數是1236，第四個三角形數是123410，因此，由歸納推理得第n個三角形數是1234n.由此可以得出第七個三角形數是28.9(2014·長安一中、高新一中、交大附中、師大附中、西安中學一模)設ABC的三邊長分別為a、b、c，ABC的面積為S，內切圓半徑為r，則r；類比這個結論可知：四面體PABC的四個面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內切球的半徑為r，四面體PAB

5、C的體積為V，則r()A BC D答案C解析將ABC的三條邊長a、b、c類比到四面體PABC的四個面面積S1、S2、S3、S4，將三角形面積公式中系數，類比到三棱錐體積公式中系數，從而可知選C證明如下：以四面體各面為底，內切球心O為頂點的各三棱錐體積的和為V，VS1rS2rS3rS4r，r.10(2015·陜西文，10)設f(x)ln x,0ab，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，則下列關系式中正確的是()Aqrp BqrpCprq Dprq答案C解析pf()ln ln (ab)；qf()ln ；r(f(a)f(b)ln (ab)，因為，由f(x)ln x是個遞增函數，f()f

6、()，所以qpr，故答案選C 二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分)11.(2014·廈門六中高二期中)在平面上，我們用一直線去截正方形的一個角，那么截下的一個直角三角形，按如圖所標邊長，由勾股定理有c2a2b2.設想正方形換成正方體，把截線換成如圖截面，這時從正方體上截下三條側棱兩兩垂直的三棱錐OLMN，如果用S1，S2，S3表示三個側面面積，S表示截面面積，那么類比得到的結論是_答案S2SSS解析類比如下：正方形正方體；截下直角三角形截下三側面兩兩垂直的三棱錐；直角三角形斜邊平方三棱錐底面面積的平方；直角三角形兩直角邊平方和三棱錐三個側面面積的平方和，結論S2SSS.

7、證明如下：如圖，作OE平面LMN，垂足為E，連接LE并延長交MN于F，LOOM，LOON，LO平面MON，MN平面MON，LOMN，OEMN，MN平面OFL，SOMNMN·OF，SMNEMN·FE，SMNLMN·LF，OF2FE·FL，S(MN·OF)2(MN·FE)·(MN·FL)SMNE·SMNL，同理SSMLE·SMNL，SSNLE·SMNL，SSS(SMNESMLESNLE)·SMNLS，即SSSS2.12f(n)1(nN*)，經計算得f(2)，f(4)2，f(8)，

8、f(16)3，f(32).推測：當n2時，有_答案f(2n)解析由前幾項的規(guī)律可得答案13.函數yloga(x3)1(a>0且a1)的圖像恒過定點A，若點A在直線mxny10上，其中mn>0，則的最小值為_答案8解析yloga(x3)1(a>0且a1)的圖像恒過定點A(2，1)又點A在直線mxny10上，2mn1.又mn>0，m>0，n>0.2mn12，當且僅當2mn，即m，n時取等號，mn.8.14若數列an中，a11，a235，a37911，a413151719，則a10_.答案1 000解析前10項共使用了12341055個奇數，a10為由第46個到第

9、55個奇數的和，即a10(2×461)(2×471)(2×551)1 000.15(2014·陜西文，14)已知f(x)，x0，若f1(x)f(x)，fn1(x)f(fn(x)，nN， 則f2014(x)的表達式為_答案解析f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f2014(x).應尋求規(guī)律，找出解析式三、解答題(本大題共6小題，共75分，前4題每題12分，20題13分，21題14分)16已知a>0，b>0，求證：.證明證法一：(綜合法)a>0，b>0，2，當且僅當ab時取等號，同理：2，當且僅當a

10、b時取等號22，即.證法二：(分析法)要證，只需證：abab，只需證：abab0，而a()b()()()20，當且僅當ab時取等號，所以.證法三：(反證法)假設當a>0，b>0時，<.由<，得<0，即<0，當a>0，b>0時，顯然不成立，假設不成立故.17在ABC中，ABAC，ADBC于D，求證：，那么在四面體ABCD中，類比上述結論，你能得到怎樣的猜想？并說明理由證明如圖(1)所示，由射影定理AD2BD·DC，AB2BD·BC，AC2BC·DC，.又BC2AB2AC2，.猜想：類比ABAC，ADBC猜想：四面體AB

11、CD中，AB、AC、AD兩兩垂直，AE平面BCD.則.如圖(2)，連結BE交CD于F，連結AF.ABAC，ABAD，AB平面ACD.而AF面ACD，ABAF.在RtABF中，AEBF，.在RtACD中，AFCD，故猜想正確18已知數列an，a15且Sn1an(n2，nN)(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表達式；(2)用數學歸納法證明an的通項公式分析利用不完全歸納法猜想歸納出an，然后用數學歸納法證明解題的關鍵是根據已知條件和假設尋找ak與ak1和Sk與Sk1之間的關系解析(1)由已知，得a2S1a15，a3S2a1a210，a4S3a1a2a3551020，an.(2)證明當n2時

12、，a25×2225，表達式成立當n1時顯然成立，下面用數學歸納法證明n2時結論亦成立假設nk(k2，kN)時表達式成立，即ak5×2k2，則當nk1時，由已知條件和假設有ak1Ska1a2ak55105×2k255×2k15×2(k1)2.故當nk1時，表達式也成立由可知，對一切n(n2，nN)都有an5×2n2.19.在圓x2y2r2(r>0)中，AB為直徑，C為圓上異于A，B的任意一點，則有kAC·kBC1.你能用類比的方法得出橢圓1(a>b>0)中有什么樣的結論？并加以證明解析類比得到的結論是：在橢圓

13、1(a>b>0)中，A，B分別是橢圓長軸的左右端點，點P(x，y)是橢圓上不同于A，B的任意一點，則kAP·kBP證明如下：設A(x0，y0)為橢圓上的任意一點，則A關于中心的對稱點B的坐標為B(x0，y0)，點P(x，y)為橢圓上異于A，B兩點的任意一點，則kAP·kBP·.由于A，B，P三點在橢圓上，兩式相減得，0，即kAP·kBP.故在橢圓1(a>b>0)中，長軸兩個端點為A，B，P為異于A，B的橢圓上的任意一點，則有kAP·kBP.20.已知二次函數f(x)ax2bxc(a>0)的圖象與x軸有兩個不同的交點

14、，若f(c)0，且0<x<c時，f(x)>0.(1)證明：是f(x)0的一個根；(2)試比較與c的大?。?3)證明：2<b<1.解析(1)證明：f(x)的圖象與x軸有兩個不同的交點，f(x)0有兩個不等實根x1，x2，f(c)0，x1c是f(x)0的一個根又x1x2，x2(c)，是f(x)0的一個根(2)解：假設<c.由>0，當0<x<c時，f(x)>0，知f()>0，與f()0矛盾，c，又c，>c.(3)證明：由f(c)0，得acb10，b1ac.又a>0，c>0，b<1.二次函數f(x)的圖象的對稱軸

15、方程為x<x2，即<.又a>0，b>2，2<b<1.21.等比數列an的前n項和為Sn，已知對任意的nN，點(n，Sn)均在函數ybxr(b>0且b1，b，r均為常數)的圖像上(1)求r的值；(2)當b2時，記bn2(log2an1)(nN)，證明：對任意的nN，不等式···>成立解析(1)因為對任意nN，點(n，Sn)均在函數ybxr(b>0且b1，b，r均為常數)的圖像上，所以Snbnr.當n1時，a1S1br，當n2時，anSnSn1bnr(bn1r)bnbn1(b1)bn1，又因為an為等比數列，所以r

16、1，公比為b，an(b1)bn1.(2)證明：當b2時，an(b1)bn12n1，bn2(log2an1)2(log22n11)2n，則，所以·······.下面用數學歸納法證明不等式：···>.當n1時，左邊，右邊，因為>，所以不等式成立假設當nk(kN)時，不等式成立，即····>.則當nk1時，左邊·····>·>，所以當nk1時，不等式也成立由可得，不等式對任何nN都成立，即···>恒成立