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1、新版數(shù)學北師大版精品資料第三章3.3第1課時 雙曲線及其標準方程一、選擇題1雙曲線1的焦距為()A3B4C3D4答案D解析c2a2b210212,則2c4,故選D2已知平面內(nèi)有一定線段AB,其長度為4,動點P滿足|PA|PB|3,O為AB的中點,則|PO|的最小值為()A1BC2D4答案B解析如圖,以AB為x軸,AB中點O為坐標原點建系|PA|PB|3P點軌跡是以A、B為焦點的雙曲線的右支由圖知|PO|最短為.3在方程mx2my2n中,若mn<0,則方程的曲線是()A焦點在x軸上的橢圓B焦點在x軸上的雙曲線C焦點在y軸上的橢圓D焦點在y軸上的雙曲線答案D解析方程mx2my2n可化為:1,
2、mn<0,>0,方程的曲線是焦點在y軸上的雙曲線4已知F1、F2為雙曲線C:x2y22的左、右焦點,點P在C上,|PF1|2|PF2|,則cosF1PF2()ABCD答案C解析本題考查雙曲線定義由|PF1|2|PF2|及|PF1|PF2|2知|PF2|2|PF1|4,而|F1F2|4,由余弦定理知cosF1PF2.5過雙曲線1的焦點且與x軸垂直的直線被雙線截取的線段的長度為()AB4CD8答案C解析a23,b24,c27,c,該直線方程為x,由得y2,|y|,弦長為.6設P為雙曲線x21上的一點,F(xiàn)1,F(xiàn)2是該雙曲線的兩個焦點,若|PF1|PF2|32,則PF1F2的面積為()A6
3、B12C12D24答案B解析由雙曲線定義知|PF1|PF2|2又|PF1|PF2|32,|PF1|6,|PF2|4,由雙曲線方程知a21,b212,c213,|F1F2|2c2,由|PF1|2|PF2|2|F1F2|2得PF1PF2,SPF1F2|PF1|·|PF2|×6×412.二、填空題7雙曲線x21的兩個焦點坐標是_答案(0,±)解析a22,b21,c23,c±,又焦點在y軸上8若方程1表示雙曲線,則實數(shù)k的取值范圍是_答案k>3或k<3解析當,即k>3時,方程表示焦點在x軸上的雙曲線;當,即k<3時,方程表示焦點
4、在y軸上的雙曲線所以若方程表示雙曲線,則實數(shù)k的取值范圍是k>3或k<3.總結(jié)反思錯解中得到k>3的結(jié)果是不完整的,這是由于對雙曲線標準方程理解不深刻,誤認為該方程僅表示焦點在x軸上的雙曲線,遺漏了焦點在y軸上的情況,事實上,若方程1表示雙曲線,則應有pq>0.三、解答題9求與雙曲線1共焦點,且過點(3,2)的雙曲線方程解析由于所求的雙曲線與已知雙曲線共焦點,從而可設所求的雙曲線方程為1.由于點(3,2)在所求的雙曲線上,從而有1.整理,得k210k560,k4或k14.又16k>0,4k>0,4<k<16.從而得k4.故所求雙曲線的方程為1.1
5、0若F1、F2是雙曲線1的兩個焦點,P在雙曲線上,且|PF1|·|PF2|32,求F1PF2的大小解析由雙曲線的對稱性,可設點P在第一象限,由雙曲線的方程,知a3,b4,c5.由雙曲線的定義,得|PF1|PF2|2a6.上式兩邊平方,得|PF1|2|PF2|2362|PF1|·|PF2|3664100,由余弦定理,得cosF1PF20.F1PF290°.總結(jié)反思在焦點三角形中,正弦定理、余弦定理、雙曲線的定義等是經(jīng)常使用的知識點另外,還經(jīng)常結(jié)合2a,運用平方的方法,建立它與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系,請同學們多加注意一、選擇題1對于常數(shù)m、n,“mn&
6、gt;0”是“方程mx2ny21的曲線是橢圓”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件答案B解析本題考查了充分必要條件及橢圓的標準方程的形式,由mn>0,若mn,則方程 mx2ny21表示圓,故mn>0/方程mx2ny21表示橢圓,若mx2ny21表示橢圓mn>0,故原題為必要不充分條件,充分理解橢圓的標準方程是解決問題的關(guān)鍵2已知點F1(4,0)和F2(4,0),曲線C上的動點P到F1、F2距離之差為6,則曲線C的方程為()A1B1(y>0)C1或1D1(x>0)答案D解析由雙曲線的定義知,點P的軌跡是以F1、F2為焦點,實軸長
7、為6的雙曲線的右支,其方程為:1(x>0)3已知雙曲線1的焦點為F1、F2,點M在雙曲線上,且MF1x軸,則F1到直線F2M的距離為()ABCD答案C解析求出M點的坐標,寫出直線MF2的方程,用點到直線的距離公式求解如圖,由1知,F(xiàn)1(3,0),F(xiàn)2(3,0)設M(3,y0),則y0±,取M(3,),直線MF2的方程為x6y0,即x2y30.點F1到直線MF2的距離為d.4已知雙曲線中心在原點且一個焦點為F1(,0),點P位于該雙曲線上,線段PF1的中點坐標為(0,2) 則雙曲線的方程是()Ay21Bx21C1D1答案B解析PF1的中點坐標為(0,2),P點坐標為(,4),2a
8、|PF1|PF2|642,a1又cb2()2124,方程為x21.二、填空題5已知雙曲線x2y21,點F1、F2為其兩個焦點,點P為雙曲線上一點,若PF1PF2,則|PF1|PF2|的值為_答案2解析本題考查了雙曲線的概念設|PF1|m,|PF2|n,根據(jù)雙曲線的定義及已知條件可得|mn|2a2,m2n24c28,2mn4,(|PF1|PF2|)2(mn)2(mn)24mn12,|PF1|PF2|2.充分利用PF1PF2, 將|PF1|PF2|2a,轉(zhuǎn)化到|PF1|PF2|是解決本題的關(guān)鍵6若雙曲線x2y21右支上一點P(a,b)到直線yx的距離是,則ab_.答案解析由條件知,或,a>0
9、且a>|b|,ab.三、解答題7.已知C為圓(x)2y24的圓心,點A(,0),P是圓上的動點,點Q在圓的半徑CP所在直線上,且·0,2.當點P在圓上運動時,求點Q的軌跡方程分析畫出圖形,由條件可得QM是AP的中垂線,先利用等腰三角形邊長相等進行轉(zhuǎn)化,然后利用雙曲線的定義即可求出點Q的軌跡方程解析圓(x)2y24的圓心為C(,0),半徑r2.·0,2,MQAP,點M是AP的中點,即QM是AP的中垂線,連接AQ,則|AQ|QP|.|r2,又|2>2,根據(jù)雙曲線的定義,點Q的軌跡是以C(,0),A(,0)為焦點,實軸長為2的雙曲線,由c,a1,得b21,因此點Q的軌
10、跡方程為x2y21.總結(jié)反思(1)本題是一個??嫉睦脠A錐曲線定義求解圓錐曲線方程的例子,用定義法求軌跡的方法小巧而精致,是近幾年來高考的重點和熱點(2)在本題的解答過程中,我們要有解題的預見性,從C(,0),A(,0)兩個點的對稱性,我們應該優(yōu)先考慮到圓錐曲線的定義,所以思維的入手點,應該去嘗試動點到兩個定點的距離之和或者是距離之差的絕對值,從而達到利用定義順利解題的目的8已知橢圓1(a1>b1>0)與雙曲線1(a2>0,b2>0)有公共焦點F1、F2,設P是它們的一個交點(1)試用b1,b2表示F1PF2的面積;(2)當b1b2m(m>0)是常數(shù)時,求F1PF2的面積的最大值解析(1)如圖所示,令F1PF2.因|F1F2|2c,則ababc2.即aabb.由橢圓、雙曲線定義,得|PF1|PF2|2a1,|PF1|PF2|2a2(令|PF1|>|PF2|),所以|PF1|a1a2,|PF2|a1a2,cos.所以sin.所以SF1PF2|PF1|·|PF2|sin(aa)·b1b2.(2)當b1b2m(m>0)為常數(shù)時SF1PF2b1b2()2,所以F1PF2面積的最大值為.